计算方法考题B04(答案)

2004年计算方法（B）考试答案：2004-12-261、（4分）46579.22026,718281828.210ee，它们在浮点数系)8,8,8,10(F中浮点化数)(efl=.27182818E1，)(10efl=.22026466E5，在浮点数系)8,8,8,10(F中计算)()(10eflefl.22029184E5；2、（4分）若矩阵A非奇（即A的行列式非零），则总可以进行三角分解，即A可以分解成矩阵乘积LUA形式，其中L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵。此命题是否正确？否（填“是”或“否”）；3、（4分）)(tS是三次样条插值多项式，则在节点处：),()(iitytS而且)(tS连续，在内节点)1,,2,1(,niti处、)(tS、)(tS和)(tS连续。此结论是否正确？（填“是”或“否”）否；4、解线性方程组111411152125321xxx的Jacobi迭代收敛，取初值T)0,0,0()0(x，迭代k=18步，)(kx将满足410xxk；)8451.07lg,4771.03lg,3010.02lg,02788.09.1lg,2304.07.1lg,1139.03.1lg,07918.02.1lg,04139.01.1lg(答案：41,415151,,53,414151525152)0()1()1()0(xxx0xJqJ)0()1()(1xxxxqqkk,54101653,104153153kk,010680487.172219.07960.36990.04771.0)3010.0(455lg3lg2lg45k5、（6分）若)(xf的2阶导数存在，则差商],,[xbaf关于x的二阶导数可以用差商形式表示：],,[22xbafdxd=2],,,,[xxxbaf；6、（6分）数值积分的内插求积公式：niiixfAfQ0)()(中，baiidxxlA)(，此处),,1,0()(nixli是由全体节点),,1,0(nixi构成的Lagrange基本插值多项式，则niiA0=b-a；7、（6分）区间]1,1[上的求积公式])1()1([31])1()1([)(11ffffdxxf具有3阶代数精度；此公式的误差)1,1(,45)(2)4(f。8、（6分）求解常微分方程初值问题采用3阶Adams-Bashforth方法：]51623[12211iiiiifffhyy，通过误差估计，获知某步所得1iy的误差过大，需要步长减半，重新计算)2(21htyyii。请问：为此，需计算哪几个),(ytf值,,,121iiifff，若用插值法计算新的),(ytf值，需用哪几个点上的),(ytf值：321,,,iiiiffff；9、（10分）将下述矩阵方程的系数矩阵分解成矩阵乘积LU形式，其中L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵，并解此矩阵方程。16019125041856646327134310244332211yxyxyxyx1111205151052424117113043102314742424117113043102148926113153117113043102160185661946321257134043102yx121131311232101546643234252411331021123111121A10、用插值法求通过下述全部数据点的函数)(xf在2与3之间的根的近似值，x1.00002.00003.00004.0000)(xf-1.5000-0.20000.30000.7000答案：差商表：0.740.332.5-0.2220.55556-1.510.769230.68375-0.058273642.2)0()2.0)(3.0)(7.0(05827.0)3.0)(7.0(55556.0)7.0(5.24)(yyyyyyy-1.51-0.22.7692=13100.332.00.683750.742.50.55556-0.058273642.2454545.075.107692.100816.0)0(4)3.07.0)(2.07.0)(5.17.0()3.0)(2.0)(5.1(3)7.03.0)(2.03.0)(5.13.0()7.0)(2.0)(5.1(2)7.02.0)(3.02.0)(5.12.0()7.0)(3.0)(5.1()7.05.1)(3.05.1)(2.05.1()7.0)(3.0)(2.0()(LyyyyyyyyyyyyyL答：0)3642.2(f11、（10分）利用411dxx计算2ln，采用复化梯形求积公式。要使结果有至少5位有效数字，步长h应如何取？请给出此时的计算公式，及对应的误差估计。答案：)1,1.0(2ln4ln2112141dxx,要使结果有至少5位有效数字，误差界51021;32)(,1)(xxfxxf,复化梯形求积公式误差：2)(,)4,1(,102121223)(121421212ln522fhfhTn,因此，,102.042h取750,104.02nh,计算公式：574911021)(,]411121[42lnEihhi;若将题改：利用411dxx计算2ln，采用复化梯形求积公式，要使计算411dxx的结果有至少5位有效数字，步长h应如何取？请给出此时的计算公式，及对应的误差估计。)10,1(4ln141dxx，要使结果有至少5位有效数字，可确定误差界41021，复化梯形求积公式误差：xxhfhabE11214)(12224210212123hE，因此，取210h。计算公式：429911021,]411121[22ln2Eihhi12、（10分）方程23lnxx在3.0邻近有根x，请证明迭代23ln1kkxx总不收敛于x；其次，请对此迭代改善之，使新迭代在3.0邻近取初值必能收敛于x；解：由于迭代函数,1)(,23ln)(xxxx取包含根x的区间[0.1，1]，则)1,1.0(()()()()(,]1,1.0[xxxxxxxxx因此，]1,1.0[x迭代以后离x更远，因此不收敛。由于310)3.0(，取310，迭代3731023ln1)()(xxxxx，取初值0.3必收敛于根x。13、（10分）求常微分方程初值问题的数值方法的系数，使之具有尽可能高的精度：111kkkkkDhfChfByAyy并给出此公式的局部截断误差；)(2416121)(5)4(4321hOyhyhyhyhytykkkkkkkkAyAy)(24625)4(4321hOyhByhByhByBhByBykkkkkkkkyChChf)(625)4(4321hOyhDyhDyDhyDhDhfkkkkk方程组：612621211DBDBDCBBA得：2454DCBA公式：1112454kkkkkhfhfyyy误差：)(61)()]62245(241[)()]624(241[),(5)4(45)4(45)4(4hOyhhOyhhOyhDBhtEkkk14、（8分）用最速下降法解以下无约束最优：212122212222)(xxxxxxfMinx取初值T)0,0()0(x，用精确的一维搜索，迭代一步求)1(x；解：242222)(2121xxxxfx，所以22)()0(xf，取11)(0p求ttMintttttMintfMinttt42222)(202220)()(000px20t，得2211200)(1x。