线性矩阵不等式4

主要内容保性能控制时滞系统简介鲁棒跟踪问题基于LMI的保性能控制xA+AxB+wBu+DyCx12tABMFEE1,ME2EtFTttFFI不确定参数矩阵和是反映不确定性结构的常数矩阵，是时变的不确定矩阵，且满足。考虑如下线性不确定系统（5-1）ttuKx12txx+DwABKMFEEKA=x+DwyCx设计状态反馈控制律闭环系统可写为12tA=ABKMFEEK（5-3）（5-2）保性能控制的目的控制目的针对系统(5-1)，保性能控制目的是设计控制律(5-2)使得闭环系统(5-3)在任意非零初始值下状态都能趋于稳定，为此定义一个性能指标：TT0CJttttdtxQxuRu其中：Q为给定的对称半正定实矩阵，R为给定的对称正定实矩阵。(5-4)GuaranteedCost(保代价)保性能控制的设计思想设计思想*CJ*CCJJ*CJ考虑闭环系统(5-3)和性能指标(5-4)，如果存在控制器(5-2)和正数系统是渐进稳定的，且闭环性能指标值满足称为系统(5-3)的一个保性能控制器。，使得对所有允许的不确定性，闭环则称为系统(5-3)的一个性能上界，控制器(5-2)鲁棒保性能控制器设计为设计不确定系统(5-1)的鲁棒保性能控制器，先给出如下假设：twTTT.ttttwwxCCx假设5.1：干扰有界，且在其连续区域内满足假设要合理且容易满足定理5-1针对给定的性能指标(5-4),如果对所有满足FTFI的实矩阵F，若存在对称正定实矩阵P0,实矩阵K以及标量τ0,使得如下矩阵不等式成立则u(t)=Kx(t)为闭环系统(5-3)的鲁棒保性能控制律,相应的一个系统性能上界*00.TCJxPxTTTT0APPAQKRKCCPDDPI(5-5)TVxxPxTTTTTVxxAPPAxwDPxxPDw证明：定义闭环系统的Lyapunov函数为则有若要证明0VxTTTTTTTxAPPAxwDPxxPDwxQKRKxTTTTTTTxAPPAxwDPxxPDwxQKRKx0TTTTTTTxAPPAxwDPxxPDwxQKRKx0TTT0APPAQKRKPDDPT0xxwwTTT00APPAQKRKPDDPS-procedure（S-过程）存在对称矩阵P0,使得对满足wTwxTCTCx的所有x0和w，若要TTT00xxAPPAPBwwBP成立，当且仅当存在标量τ0和对称矩阵P0,使得TTT0APPA+CCPBBPITTT00APPAQKRKPDDP若要证明则根据S-过程，只需证，当假设5.1满足时，存在标量τ0和对称矩阵P0,使得TTTT0APPAQKRK+CCPDDPI即得定理成立的条件。TTTTTTTxAPPAxwDPxxPDwxQKRKxTTTTVxxQKRKx=xQxuRu0Vx，即闭环系统渐进稳定。()0CVdtJx¥?ò即闭环系统是可保性能的。T00000CVVVVVJxxxxxxPx=*T00CCJJxPx定理得证。(5-6)(5-7)对式(5-6)从0到∞积分，得定理5-2针对给定的性能指标(5-4),如果对所有满足FTFI的实矩阵F，若存在对称正定实矩阵P0,实矩阵K以及标量ε,τ,η0,使得如下LMI成立则u(t)=WV-1x(t)为闭环系统(5-3)的鲁棒保性能控制律,相应的一个系统性能上界*T10000.TCJxPxxVxTTTTT121212**000AVVABWWBDDMMQV+RW+EVEWICVI证明：由定理5.1，知TTTT0APPAQKRKCCPDDPI11{,},diagPIXP12tA=ABKMFEEK①对上式分别左乘和右乘矩阵②将代入③由引理3.1，引入标量ε，消去时变不确定参数阵F(t)④不等式两边数乘ε,消去ε-1,记1,,jjVXWKV⑤应用Schur补,即得定理5.2成立。时滞系统简介时滞系统的稳定性时滞现象普遍存在，是近几年研究的热点时滞系统的稳定性-ddtxAxAxd0表示滞后时间时滞独立的稳定性：系统的稳定性与时滞d无关时滞依赖的稳定性：系统稳定性与时滞相关稳定性条件较保守*dd时系统稳定先分析时滞独立稳定性,若不成功,再分析时滞依赖稳定性(6-1)时滞独立的稳定性条件定理6-1针对系统(6-1),若存在对称正定实矩阵P和S,使得则系统(6-1)是渐进稳定的。TT0ddAPPASPAAPS证明：定义Lyapunov函数如下TTtttdVdttxSxxPxxtVxtVx其中：,,0tt+dxx则，P和S是对称正定阵，正定。TTTT22dttttt-dttt-dt-VdxPAxxPAxxSxxSxx关于时间的导数是：TTTddttt-dt-dxAPPASPAASxPxx定理得证。时滞独立系统的特定李氏函数2TTTabaabb12TTTabaXabXb12TTTaMbbaMbXaMbbXb数学补充1122TTTTTTTabaMbXaMbbXbbMbXXMaaMXMXIXXMIbb时滞依赖的稳定性条件定理6-2如果存在对称正定实矩阵P、Q、V和实矩阵W以及标量,使得如下矩阵不等式成立则对所有的滞后时间0,,ddTTTTT*****0*00ddddddddA+APPA+AWAAWAWQVAAVAAVW+PV0d系统(6-1)是渐进稳定的。证明：定义Lyapunov函数如下123ttttVVVVxx+x+xT1tVttxxPx其中：0TT2ttdddtVddxxAXAxT3tttdVdxxQx时滞依赖系统的特定李氏函数TTTTTTT122ddddttttxAXAxxAXMPx+xPMX+IXXxPAM+IPxxttdt-t-d=dxxxTT122ttddt-ddVtttddtxxPA+AxxPAx1tVx由于-tddt-ddttttddA+Axx-xAAxAxttdt-d=t-dxxx关于时间的导数是：定义,dabtAxPx，可得22TTbaab利用数学补充第四式将上式代入到1tdVdtx中，可得1TTT1TTTT2tddttdddt-dtddVdttdttddxxA+AP+PA+APMX+IXXM+IPxxPMXAx+xAXAx2tVxTTTT2ttddddtddVdttddtxxAXAxxAXAxTT3tdVttt-dt-ddtxxQxxQx3tVx和关于时间的导数是：0TT2ttdddtVddxxAXAxT3tttdVdxxQx因此123TT2T1TTTTTTT1112T12222tttttdddddt-dddddVVVVdtdtdtdttdttttttt-dt-dttt-dt-ddxxxxxA+AP+PA+AW+PVW+PxxWA+xAVAx+xQxxQxxxXXxxXXx因此T2T111TTTTTTT122TT2dddddddddddddddW=XMP,V=XXA+AP+PA+AW+PVW+PAAVAA+Q+WAAW+AAVAAAAWXQVAXAA定理得证。基于LMI的跟踪控制问题定义所谓跟踪问题，就是讨论系统在满足什么条件下可找到适当的控制律来实现y(t)跟踪yr(t)的目标，满足lim()()0rtytyt控制方案rxxe通常考虑增广系统，若系统维数超过3时，优势不明显.研究思路缺陷之处：必须考虑增广系统，系统阶数成倍增长，可能引发LMI不可解等问题的出现；结论：不适合高维数系统控制器的设计；方案：引入前馈，避免增广。鲁棒跟踪控制器的设计考虑如下线性不确定系统,tttttttxAxBuyxxC系统的不确定参考信号rty由下述参考模型生成00rrrrrttxAxxxrrrttyCx定义误差变量设计目标是在rrrteyyCxCxtu的作用下有limlim0rttttteyy假设存在实常数矩阵G，使得rttuHxu设计如下控制律rttxGxx并定义rttyyy,,uxy其中为偏离理想跟踪的控制、状态、及输出偏差。rttxGxxrxxGxrrrrrrrrrxxGxAxBuGAxAGxxBHxuGAxAGBHGAxAxBu+ruHxurxGxxryyyrrrrrrrryyyCxCxCGxxCxCGCxCxryyyruHxurxGxxryyyryyy,rrttxAGBHGAxAxBu+xrryCGCxCx0y假设7-1存在实常数矩阵nn，使得,tttxx不确定范数有界定理7-1若假设7-1成立，存在实矩阵G,H满足rAGBHGArCGC且针对给定的常数λ0,存在对称正定实矩阵P，实矩阵K,使得如下不等式成立TT22101ABKPPABKPPI则uKx为被控系统的鲁棒镇定控制律，且y(t)渐进跟踪yr(t)。证明rAGBHGArCGC,rrttxAGBHGAxAxBu+xrryCGCxCx此时有若存在实矩阵G,H满足,ttxAxBuxyCx思路：若0,0则有xy设计状态反馈控制器uKx,ttA+Bxxx则闭环系统可描述为A若存在对称正定实矩阵P，选取如下Lyapunov函数22T011,tVtdxPx+xxVt对时间的导数为22TT22TTTTTT2211,112,