定积分在几何中的简单应用教学设计

《定积分在几何中的简单应用》教学设计设计教师：祁磊教学年级：高二年级课题名称：定积分在几何中的简单应用教材版本：人教版高中数学选修2-2授课时间：40分钟一．教学构思应用型的课题是培养学生观察、分析、发现、概括、推理和探索能力的极好素材。本节课通过创设情景、热身训练、问题探究、抽象归纳，巩固练习、应用提升等探究性活动，培养学生的数学创新精神和实践能力，使学生们掌握定积分解题的规律，体会数学学科研究的基本过程与方法。二．教学理念以学生发展为本。新型的师生关系；新型的教学目标；新型的教学方式；新型的呈现方式。三．教材分析定积分的应用是在学生学习了定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义之后，对定积分知识的总结和升华，通过用定积分解决一些简单的面积问题，初步感受定积分在解决数学问题与实际问题中的作用，体会导数与定积分之间的内在联系。四．教学目标【知识与技能目标】通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法。【过程与方法目标】探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。【情感、态度与价值观目标】探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；探究过程中对学生进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学生自主探究。五．教学重点难点【教学重点】应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。【教学难点】如何恰当选择积分变量和确定被积函数。六．教学方法教学方法是“问题诱导——启发讨论——探索结果”、“直观观察——抽象归纳——总结规律”的一种研究性教与学的方法，过程中注重“诱、思、探、练”的结合，从而引导学生转变学习方式。采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究地学习，形成师生互动的教学氛围。六教学过程师生活动设计意图（一）课前准备：复习定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义.（二）情景引入：展示精美的大桥油画，讲述古代数学家的故事及伟大发现：拱形的面积【课件展示】课题：定积分在几何中的简单应用油画图片问：桥拱的面积如何求解呢？答：……【学生活动】本环节安排学生讨论，自主发现解决问题方向——定积分跟面积的关系，（三）新课讲授：【热身训练】练习１．计算dxx2224２．计算22sindxx【学生活动】思考口答【课件展示】定积分表示的几何图形、练习答案.22222214dxx0sindxx培养学生复习的学习习惯。激发学生们的求知欲和探索欲，设下悬念，以激发学生的探索激情，为后面作开启性的铺垫。复习定积分的几何意义0yx教学过程【热身训练】练习３．用定积分表示阴影部分面积图1图2【学生活动】回忆并口答图1的答案；引导学生由X为积分变量的定积分类型来发现以Y为积分变量的另一种定积分类型。【得出结论】定积分表示曲边梯形面积的两种类型.【板书】配合学生探究的进展书写推理的过程.【课件展示】图1选择X为积分变量，曲边梯形面积为图2选择Y为积分变量，曲边梯形面积为【问题探究】【课件展示】探究由曲线所围平面图形的面积解答思路【学生活动】思考、探究、讨论【展示结论】培养学生用发展、联系的哲学思想解决问题培养学生乐于尝试、敢于创新的精神。abXA0yxyNMOabABCD)(1yfx)(2yfxxyNMOabABCD)(1xfy)(2xfydxxfdxxfsbaba)()(21dyygba)(1sdyygba)(2－教学过程【教师简单点评】探索到的结论一定可行吗？这就需要通过实践来检验。【例题实践】例１．计算由曲线2xy与xy2所围图形的面积．【师生活动】探究解法的过程.1.找到图形----画图得到曲边形.2.曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线.3.定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数.4.计算定积分.【板书】根据师生探究的思路板书重要分析过程.【课件展示】解答过程解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组22xyxy得到交点横坐标为0x及1xss曲边梯形OABCs曲边梯形OABDdxx10dxx10210310233132xx313132通过探究，发现并掌握数学学科研究的基本过程与方法巩固了学生的作图能力，在寻找曲边梯形的过程中提高了学生的想象能力。完成了一般理论和具体问题的有机结合，初步达到了识记的目标，突显了教学重点。A2ab曲边梯形（三条直边，一条曲边）abXA0y曲边形面积A=A1-A2ab1xyOABCD2xyxy211-1-1教学过程【例题实践】例２．计算由4xy与xy22所围图形的面积.【师生活动】讨论探究解法的过程1．找到图形----画图得到曲边形.2．曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线.3．定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数.问题：表示不出定积分.探讨：X为积分变量表示不到，那换成Y为积分变量呢？4．计算定积分.【板书】根据师生探究的思路板书重要分析过程.【课件展示】解答过程解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积解方程组22xyxy得到交点坐标为(2,-2)及(8,4)选ｙ为积分变量18216)82(21422dyyS【抽象归纳】解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤【学生活动】学生根据例题探究的过程来归纳【教师简单点评】帮助学生修改、提炼，强调注意注意选择y型积分变量时，要把函数变形成用y表示x的函数.【课件展示】解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤：1．画草图，求出曲线的交点坐标．2．将曲边形面积转化为曲边梯形面积．3．根据图形特点选择适当的积分变量．（注意选择y型积分变量时，要把函数变形成用y表示x的函数）4．确定被积函数和积分区间．5．计算定积分，求出面积.使学生懂得如何灵活选择积分变量，确定被积函数，通过该题突破教学难点。探索到的结果通过实践，学生都得到了一些解题心得，及时指导学生进行抽象归纳，便是探究的阶段小结，得到解题的一般方法。教学过程【巩固练习】练习４．计算由曲线xy2与4xy及x轴所围平面图形的面积．【学生活动】学生分组合作完成【成果展示】邀请同学们把自己的成果展示给大家，发现这道题目有多种解答方法，过程中解决学生在解题过程中暴露出来的各种问题。A:442128021dxxsssB:442122844021dxxdxxsssC:dxysss4022124)84(21【师生活动】此题为一题多解，解体的大方向分为选X做积分变量和选Y做积分变量.问：遇到一题多解时，你会想到什么？答：找最简单的解法.问：以次题为例，如何寻找最简解法？答：我们熟悉X做积分变量的类型；做辅助线时，尽量将曲边形转化成我们熟悉的平面图形，如三角形、矩形、梯形和曲边梯形组合的图形.【巩固练习】练习５．计算由曲线xysin与xycos及0x、2x所围平面图形的面积．趁学生们还沉浸在成功的喜悦之中，探索欲望高涨的时候，适时给学生扩大成就感的机会。所以准备了巩固练习，目的在于巩固解题方法、由一题多解锻炼学生的发散思维体现了对称的思想和分类思想，培养学22yx4xyxy2yＢＡＣ4xO8422S1S22S1S2x4yO8422S1S24xyO8422xhby0),2(hb教学过程【学生活动】学生独立思考【成果展示】邀请一位同学把自己的成果展示给大家21SSSdxxdxxS40401sincosdxxdxxS24242cossin【师生活动】解答思路清晰，表达正确问：此题还有其他解法吗？答：21SS所以只算一个S，取2倍就可以了.【教师点评】做的漂亮，解题时要注意发现题目的特征，联系我们以前的知识将问题化简后再解答，提高效率.【应用提升】如图，一桥拱的形状为抛物线，已知该抛物线拱的高为常数h，宽为常数b．求证：抛物线拱的面积bhs32【师生活动】探究解题方法1.建立平面直角坐标系确定抛物线方程2.求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤问：如何建立平面直角坐标系会使得抛物线方程的求解简单答：以抛物线的顶点为坐标原点建立坐标系.生的观察能力和分析思考问题的严密性，在此过程中进行了数学美育的渗透。把本节课的探究活动推向高潮，解决了前面设下的悬念的同时，实现了生活中的实际问题与抽象数学的完美结合。hb教学过程【学生活动】学生独立求解抛物线方程.【成果展示】投影学生练习如图建立平面直角坐标系，可设抛物线方程为)0(2aaxy，代抛物线上一点),2(hb入方程，则有2)2(bah解得24bha，所以抛物线方程为224xbhy.【教师点评】在投影中与全班同学一起点评学生的练习.【师生活动】探究、并在投影中完成该题问：所求图形有什么特点？答：左右对称；可以解答一半取2倍.【成果展示】在黑板上与学生共同完成设一半的面积为S，则有dxxbhhbsb)4(22222202032)34(22bxbhhb……bh32（四）．互动小结问：本节课我们做了什么探究活动呢？答：用定积分解曲边形面积。问：如何用定积分解决曲边形面积问题呢？答：1.画草图，求出曲线的交点坐标．2.将曲边形面积转化为曲边梯形面积．3.根据图形特点选择适当的积分变量．（注意选择y型积分变量时，要把函数变形成用y表示x的函数）4.确定被积函数和积分区间．5.计算定积分，求出面积．问：解答曲线所围的平面图形面积时须注意什么问题？答：选择最优化的积分变量；根据图形特点选择最优化的解题方法.巩固定积分解题的基本方法和步骤。提问式的课堂小结，目的在于调动学生积极参与梳理知识的过程，培养学生在探究之后整合知识的能力。教学过程问：体会到什么样的数学研究思路及方法呢？答：从问题出发，联系相关知识，探究出解决问题的思路，通过实践的检验得到一般方法，通过练习巩固，通过应用提升。（五）．作业课本Ｐ67Ａ组1．Ｐ68Ｂ组3．创新训练No.13作业即是探究活动的一种延续。教学设计定积分在几何中的简单应用选送学校：南海九江中学设计教师：林洁