复变函数与积分变换期末考试试卷(A卷)

复变函数与积分变换第1页共6页复变函数与积分变换期末考试试卷（A卷）一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1．下列复数中，位于第四象限的复数是（）A.4+3iB.-3-3iC.-1+3iD.5-3i2．下列等式中，不成立的等式是（）A.z·z=Re(z·z).arg(3)arg()Bii.rg(3)arg(3)CA2.||Dzzz3．不等式||3z所表示的区域为（）A.圆的外部B.上半平面C.角形区域D.圆的内部4．积分||322zdzz的值为（）A.8iB.2C.2iD.4i5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（）.zAze.sinzBze.tanzCze.Re()sinDzz6．在复平面上，下列命题中，错误．．的是（）A.cosz是周期函数B.ze是解析函数.cossinizCeziz2.||Dzz7．在下列复数中，使得22zei成立的是（）.ln224iAzi.ln424iBzi.ln22Czi.ln42Dzi8．设C为正向圆周1||z,则积分coszcedzz等于（）A．2πB．2πiC．0D．－2π9．设C为正向圆周||2z,则21(1)Cdzzi等于（）A.i21B.0C.i2D.2i10．以下关于级数的命题不正确的是（）复变函数与积分变换第2页共6页A.级数0327nni是绝对收敛的B.级数212(1)nninn是收敛的C.级数01(1)2nnnin是收敛的D.级数212nnin是收敛的11．已知31zi，则下列正确的是（）312.2iAze364.2iBze7312.2iCze63.2iDze12．下列关于幂级数的叙述，不正确的是（）A.在收敛圆内，幂级数绝对收敛B.在收敛圆外，幂级数发散C.在收敛圆周上，可能收敛，也可能发散D.在收敛圆周上，条件收敛13．0z是函数sinzezz的（）A.本性奇点B.一级极点C.二级极点D.可去奇点14．coszzz在点z处的留数为（）A..BC.1D.-115．关于0Imlimzzz下列命题正确的是（）A.0B.不存在C.1D.1二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）16.sincos33zi复数的三角形式为____________.17.已知22()()()fzxayxibxyy在复平面上可导，则ab_________.18.设函数)(zf=03zttedt，则)(zf等于____________.19.幂极数nn2n1(-1)zn的收敛半径为_______.20.设121,13zizi，求12zz____________.三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）21．设C为从原点到2＋3i的直线段，计算积分[(2)]CIxyixydz复变函数与积分变换第3页共6页22.设2()cos4zefzzz.(1)求)(zf的解析区域，（2）求).(zf23.将函数1()(1)(2)fzzz在点0z处展开为泰勒级数.24.将函数112()(1)zefzz在圆环0|1|z内展开成洛朗级数.四、综合题（共4小题，每题8分，共32分）25．已知22(,)2uxyxyx，求一解析函数()(,)(,)fzuxyivxy，并使(0)2fi。26.计算2||2(1)(1)(3)zdzzzz.27.求函数1,10()1,010,tftt其它的傅氏变换。28．求函数()cos3ftt的拉氏变换复变函数与积分变换期末试卷答案一、选择题1．D.2.C.3.A4.D5.B6.D7.A8.C9.B10.D11.B12.D13.C14.A15.B二、填空题16．cossin66zi,17.1,18.3(1)zzzee,19.1,20.13(31)4i复变函数与积分变换第4页共6页三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）21．设C为从原点到2＋3i的直线段，计算积分[(2)]CIxyixydz解：设曲线C的参数方程为:(23)01.Czitt2分120[(2)](266)(23)CIxyixydztttiidt2分1223100(46)(23)(23)(22)|ttiidtitti2分102.i1分22.设2()cos4zefzzz.(1)求)(zf的解析区域，（2）求).(zf解：(1)由方程240z得2z，2分故)(zf的解析区域为\{2,2}C.1分(2)2()cos4zefzzz1分222(4)(2)sin(4)zzezezzz2分所以222(42)()sin.(4)zezzfzzz1分23.将函数1()(1)(2)fzzz在点0z处展开为泰勒级数.解：111()(1)(2)(2)(1)fzzzzz1分11(1)2(1)2zz1分00122nnnnzz3分复变函数与积分变换第5页共6页1002nnnnnzz1分||1.z1分24.将函数112()(1)zefzz在圆环0|1|z内展开成洛朗级数.解：ze的泰勒展式为0!nznzen，2分且为函数的孤立奇点，1分故11ze的罗朗展式为11011!nznzen，2分所以11220111()(1)(1)!nznezfzzzn1分201!(1)nnnz.1分四、综合题（共4小题，每题8分，共32分）25．已知22(,)2uxyxyx，求一解析函数()(,)(,)fzuxyivxy，并使(0)2fi。解：由柯西－黎曼方程得2,vuyxy1分所以0(,)2()2().xvxyydxCyxyCy2分2()22,vuxCyxyx2分所以0()()2.yCyCydxCyC1分所以(,)22.vxyxyyC复变函数与积分变换第6页共6页从而22()2(22).fzxyxxyyCi又(0)2.fCii所以2.C1分所以22()2(222).fzxyxxyyi1分26.计算2||2(1)(1)(3)zdzzzz.解：由柯西积分定理得1分原式2112|1||1|2211(1)(3)(1)(3)22(1)(1)zzzzzzidzidzzz2分211122(1)(3)(1)(3)zziizzzz3分2212222(1)(3)16zziizz1分.8i1分27.求函数1,10()1,010,tftt其它的傅氏变换。解：()()itFftedt2分0110ititedtedt1分0110ititeeii2分11iieeii2分22cos.i1分28．求函数()cos3ftt的拉氏变换解：0()()stFsftedt2分复变函数与积分变换第7页共6页3300cos32ititststeeetdtedt2分(3)(3)001122ististedtedt1分111233sisi2分2.9ss1分