几何变换之对称

1几何变换之对称轴对称图形——等腰三角形【例1】已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60o，求三角形三个内角的度数．【巩固】已知BD是等腰ABC一腰上的高，且50ABDo，求ABC三个内角的度数．【例2】(08年宣武初三一模考试)已知ABC中，90A，67.5B.请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形.（请你利用下面给出的备用图，画出两种．．不同的分割方法.只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）.CBACBA【巩固】在ABC中，ABAC．若过ABC一个顶点的直线可将ABC分成两个等腰三角形，求ABC各内角的度数．【巩固】(08年大兴初三一模考试)已知菱形ABCD中，72A，请设计两种不同的分法，将菱形ABCD分割成四个三角形，使得分割成的每个三角形都是等腰三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，例如第20题图，不要求写出画法，不要求证明.）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法.363636181854727272第20题图54DCBAABCD分法3ABCD分法2ABCD分法1【例3】MON是一个钢架，10MONo，在其内部添加一些钢管BC，CD，DE，EF，FG，…添加的钢管长度都与OB相等．⑴当添加到第五根钢管时，求FGM的度数．⑵假设OM、ON足够长，能无限地添加下去吗?如果能，请说明理由．如果不能，则最多能添加几根?DNMFEOCBG【巩固】(初二第12届希望杯1试)如图，ABC中，30Ao，CD是BCA的平分线，ED2是CDA的平分线，EF是DEA的平分线，DFFE，求B.ABCDEF【例4】ABC中，AMAN，CNCP，ABAQ，CBCG．试比较MNP与GBQ的大小．RPNMGCQBA【巩固】已知ABC中ACB90o，点D、E在AB上，且ADAC，BEBC，求DCE.RPNMGCQBA【例5】ABC中，AMAN，CNCP，ABAQ，CBCG．试比较MNP与GBQ的大小．【巩固】已知ABC中ACB90o，点D、E在AB上，且ADAC，BEBC，求DCE.【例6】在正方形ABCD所在平面上找一点P，使APB是等腰直角三角形，这样的点P你能发现几个?请作出这些点．（P6）（P5）P4P3P2BCP1DA【巩固】如图，在正方形ABCD所在平面上找点P,使PAB、PBC、PCD、PDA同时为等腰三角形，这样的点P你能发现几个?请作出这些点．P2BCP1DA【巩固】把正方形改成正三角形．已知如图，在正ABC所在平面上找点P使PAB、PBC、3PCA同时为等腰三角形，作出这些点．P3P2ABCP1【例7】如图，点P为等腰三角形ABC的底边BA的延长线上的一点，PECA的延长线于点E，PFBC于点F，ADBC于点D．PE、PF、AD之间存在着怎样的数量关系?ABCEDPF【巩固】如图，点P为正三角形ABC内任意一点，PEAC于点E，PFBC于点F，PGAB于点G，ADBC于点D．PE、PF、PG、AD之间存在怎样的数量关系?ABCDEGPF【例8】点P为正三角形ABC外的一点，且PEAC于点E，PFBC于点F，PGAB于点G，ADBC于点D此时PE、PF、PG、AD之间存在怎样的数量关系?⑴ABCDEGPFABCDE⑵GPF【巩固】P为等腰三角形ABC的底边AB上的任意一点，PEAC于点E，PFBC于点F，ADBC点D，如图，求证：PEPFAD．4ABCEDPF轴对称与折叠问题【例9】(09甘肃省兰州市)如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是【例10】如图所示，AD为ABC的中线，45ADC，把ADC沿AD对折，点C落在点C的位置，则BC和BC之间的数量关系为___________．ABCDC'【巩固】（2004南平）已知：如图，在△ABC中，BC=8，AD是BC边上的高，D为垂足，将△ABC折叠使点A与点D重合，则折痕EF的长为_________．【例11】如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果8AB，10BC，求EC的长．BDCAEFA．B．C．D．5【巩固】（09湖南衡阳）如图，矩形纸片ABCD中，4AB，3AD，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（）A．1B．43C．32D．2ABCDGA'【例12】如图，矩形纸片ABCD，3AB，4BC，沿对角线BD折叠（使ABD和EBD落在同一平面内），求ABD和EBD重叠部分的面积．BDCAEM【例13】（09浙江义乌）如图，在矩形ABCD中，3AB，1AD，点P在线段AB上运动，设APx，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原．⑴当0x，折痕EF的长为；当点E与点A重合时，折痕EF的长为；⑵求出当2x时四边形DEPF的周长；温馨提示：用草稿纸折折看，或许对你有所帮助哦！ABCDEFPO【例14】⑴（09福建省莆田市）如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B处，点A落在点A处．若AEa、ABb、BFc，请写出a、b、c之问的一个等量关系_________．⑵(09湖北荆门)如图，RtABC中，90ACB，50A，将其折叠，使点A落在边CB上A处，折痕为CD，则ADB()A．40B．30C．20D．10⑶（09河北）如图，等边ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将ADE沿直线DE折叠，点A落在点A处，且点A在ABC外部，则阴影部分图形的周长为cm．6ABCDEFA'B'AA'BCDABCDEA'几何证明中的轴对称【例15】已知等腰直角ABC中，90BAC，BD是角平分线，CEBD，交BD延长线于点E．求证：2BDCE．AECDB【例16】在ABC中，AD平分A，CDAD，D为垂足，G为BC的中点，求证：DGCB．ACDGB【例17】在ABC△中，E为BC边的中点，DEBC⊥于E点，交AC于D点，求证：ABAC．CEDBA【巩固】在ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线．P是AD上任意一点．求证：ABACPBPCPDCBAABCDEP【巩固】如图所示，在ABC中，ABAC，AD是BC边上的高，点P在ABD内部，求证：APBAPC.7PDCBA【例18】在ABC中，ABAC，60120A，P为ABC内部一点，PCAC，120PCAA，求CBP的度数.PCBA【例19】如图所示，在四边形ABCD中，BCCD，60BCAACD，求证：ADCDAB.DCBA【巩固】已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50o，求三角形三个内角的度数．【巩固】(08年宣武初三一模考试)已知ABC中，90A，67.5B.请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形.（请你利用下面给出的备用图，画出两种．．不同的分割方法.只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）.CBACBA【巩固】(2001年河南省中考题)在ABC中，AD平分BAC，ABBDAC．求：:BC的值．ADCB8【巩固】已知正方形ABCD的面积是216cm，P是正方形外一点，APB是等腰直角三角形，求APBS△.【例20】(第24届澳大利亚数学奥林匹克竞赛试题)如图所示，在ABC中，2ACBABC，P为三角形内一点，APAC，PBPC，求证：3BACBAP.PCBA【例21】（2009年学而思杯）如图：E、A、C三点在同一条直线上，三角形ABC和三角形CDE是顶角相等的等腰三角形，其中BC和CD为等腰三角形的底边，F是AE的中点，P是BC边的中点，Q是CD边的中点．⑴求证：FPFQ；⑵求证：PFQA．QPFEDCBA【巩固】如图所示，已知在ABC中，6AB，3AC，120BAC，BAC的平分线交BC于D，求AD之长．CBADDCBA【巩固】如图所示，在ABC中，60B，100A，E为AC的中点，80DEC，D是BC边上的点，1BC，求ABC的面积与CDE的面积的两倍的和．EDCBA【例22】(2001年波罗的海地区数学奥林匹克竞赛试题)如图所示，在ABC中，A的平分线交BC于点D，已知2BDDCAD，且45ADB，求ABC的各个内角．9ABCD【例23】如图所示，P为ABC边BC上的一点，且2PCPB，已知45ABC，60APC，试求ACB的度数.CPBA【例24】如图所示，在四边形ABCD中，30AB，48AD，14BC，40CD，90ABDBDC，求四边形ABCD的面积.48401430ABCD【巩固】在凸四边形ABCD中，105ADBABC,75CBD.如果15ABCD厘米，求四边形ABCD的面积.ABCD【例25】(第3届英国数学奥林匹克竞赛试题)如图所示，在ABC中，ABAC，BE、CF为ABC的两条高，求证：ABCFACBE.10EFCBA【例26】(1993年圣彼得堡数学奥林匹克竞赛试题)已知点M是四边形ABCD的BC边的中点，且120AMD,证明：12ABBCCDAD.ABCDM【例27】(2001年波罗的海地区数学奥林匹克竞赛试题)设M是凸四边形ABCD的边BC的中点，135AMD，求证：22ABBCCDAD.MDCBA【例28】(1997年罗马尼亚数学奥林匹克竞赛试题)如图所示，在四边形ABCD中，ABCD∥，ACBD，求证：(1)ADBCABCD；(2)ADBCABCD.DCBA【例29】如图所示，P为ABC边BC上的一点，且2PCPB，已知45ABC，60APC，试求ACB的度数.CPBA11【巩固】如图，已知ABC，线段BE、CF分别平分ABC、ACB、AGBE，AHCF，H、G为垂足，求证：GHBC∥．HGFCBAE【例30】已知在ABC中，90A，B的平分线交AC于E，交BC边上的高AH于D，过D作DFBC∥交AC于F，求证：AEFC．HFDCBAE【例31】如图，已知ABC，12，2ABAC，ADBD．求证：DCAC．21BADC【例32】如图，在RtABC中，AD是斜边BC上的高，BE是ABC的平分线，AD交BE于O，EFAD于F，求证：AFOD．BAQFEDCO21【例33】如图，在ABC中，3ABAC，A的平分线交BC于D，过B作BEAD，垂足为E，求证：ADDE．DCBAE【例34】在RtABC的斜边AB上分别取两点D、E，使ADAC，BEBC，DFCE，F为垂足，求证：DFCF．12DCBAE【例35】（2009年全国初中数学联赛）已知ABC中，90ACB，AB边上的高线CH与ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点PM、QN的中点分别为E、F．求证：EFAB∥．QPEFMNHCBA【例36】（2008年全国初中数学竞赛天津赛区初赛）如图，在ABC中，已知40B，30BAD．若ABCD，则ACD的大小为_________（度）．CDBA