全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案)

-1-全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂-2-DCBAEDFCBA线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．6)已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.-3-EDCBAPQCBA例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.EDCBA二、截长补短1、如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC2、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC。3、如图，已知在ABC内，060BAC，040C，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BPCDBA-4-DCBAP21DCBA4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC，求证：0180CA5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC三、平移变换例1AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为AP，△EBC周长记为BP.求证BP＞AP.例2如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+ACAD+AE.EDCBA-5-OEDCBAFEDCBA四、借助角平分线造全等1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.五、旋转例1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.EDGFCBA-6-NMEFACBA例2D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。（1）当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。例3如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且0120BDC，以D为顶点做一个060角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为；BCDNMA-7-DCBAEDFCBA参考答案与提示一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.解：延长AD至E使AE＝2AD，连BE，由三角形性质知AB-BE2ADAB+BE故AD的取值范围是1AD4例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD至G使FG＝2EF，连BG，EG,显然BG＝FC，在△EFG中，注意到DE⊥DF，由等腰三角形的三线合一知EG＝EF在△BEG中，由三角形性质知EGBG+BE故：EFBE+FC例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.EDCBA解：延长AE至G使AG＝2AE，连BG，DG,显然DG＝AC，∠GDC=∠ACD由于DC=AC，故∠ADC=∠DAC在△ADB与△ADG中，BD＝AC=DG，AD＝AD，∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC＝∠ADG故△ADB≌△ADG，故有∠BAD=∠DAG，即AD平分∠BAE-8-EDCBAPQCBA二、截长补短1、如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC解：（截长法）在AB上取中点F，连FD△ADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知DF⊥AB，故∠AFD＝90°△ADF≌△ADC（SAS）∠ACD＝∠AFD＝90°即：CD⊥AC2、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC解：（截长法）在AB上取点F，使AF＝AD，连FE△ADE≌△AFE（SAS）∠ADE＝∠AFE，∠ADE+∠BCE＝180°∠AFE+∠BFE＝180°故∠ECB＝∠EFB△FBE≌△CBE（AAS）故有BF＝BC从而;AB＝AD+BC3、如图，已知在△ABC内，060BAC，040C，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP解：（补短法,计算数值法）延长AB至D，使BD＝BP，连DP在等腰△BPD中，可得∠BDP＝40°从而∠BDP＝40°＝∠ACP△ADP≌△ACP（ASA）-9-DCBAP21DCBA故AD＝AC又∠QBC＝40°＝∠QCB故BQ＝QCBD＝BP从而BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC，求证：0180CA解：（补短法）延长BA至F，使BF＝BC，连FD△BDF≌△BDC（SAS）故∠DFB＝∠DCB，FD＝DC又AD＝CD故在等腰△BFD中∠DFB＝∠DAF故有∠BAD+∠BCD＝180°5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC解：（补短法）延长AC至F，使AF＝AB，连PD△ABP≌△AFP（SAS）故BP＝PF由三角形性质知PB－PC＝PF－PCCF＝AF－AC＝AB－AC三、平移变换例1AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为AP，△EBC周长记为BP.求证BP＞AP.解：（镜面反射法）延长BA至F，使AF＝AC，连FEAD为△ABC的角平分线,MN⊥AD知∠FAE＝∠CAE-10-OEDCBA故有△FAE≌△CAE（SAS）故EF＝CE在△BEF中有：BE+EFBF=BA+AF=BA+AC从而PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+AC+BC=PA例2如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+ACAD+AE.证明：取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN.∵BD=CE,∴DM=EM,∴△DMN≌△EMA(SAS),∴DN=AE,同理BN=CA.延长ND交AB于P,则BN+BPPN,DP+PAAD,相加得BN+BP+DP+PAPN+AD,各减去DP,得BN+ABDN+AD,∴AB+ACAD+AE。四、借助角平分线造全等1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD，DC+AE=AC证明(角平分线在三种添辅助线,计算数值法)∠B=60度,则∠BAC+∠BCA=120度;AD,CE均为角平分线,则∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD;∠AOC=120度.在AC上截取线段AF=AE,连接OF.又AO=AO;∠OAE=∠OAF.则⊿OAE≌ΔOAF(SAS),-11-FEDCBAOE=OF;AE=AF;∠AOF=∠AOE=60度.则∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD;又CO=CO;∠OCD=∠OCF.故⊿OCD≌ΔOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.解：(垂直平分线联结线段两端)连接BD，DCDG垂直平分BC，故BD＝DC由于AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，故有ED＝DF故RT△DBE≌RT△DFC（HL）故有BE＝CF。AB+AC＝2AEAE＝（a+b）/2BE=(a-b)/2五、旋转例1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.证明：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABG则GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE，AF=AG，所以三角形AEF全等于AEG所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90所以∠EAF=45度例2D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。(1)当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。(2)若AB=2，求四边形DECF的面积。EDGFCBA-12-解：(计算数值法)（1）连接DC，D为等腰RtABC斜边AB的中点，故有CD⊥AB，CD＝DACD平分∠BCA＝90°，∠ECD＝∠DCA＝45°由于DM⊥DN，有∠EDN＝90°由于CD⊥AB，有∠CDA＝90°从而∠CDE＝∠FDA＝故有△CDE≌△ADF（ASA）故有DE=DF（2）S△ABC=2,S四DECF=S△ACD=1例3如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且0120BDC，以D为顶点做一个060角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为；解：(图形补全法,“截长法”或“补短法”,计算数值法)AC的延长线与BD的延长线交于点F，在线段CF上取点E，使CE＝BM∵△ABC为等边三角形，△BC