2019届高考理科数学专题---坐标系与参数方程

选修4-4坐标系与参数方程【理科数学】选修4-4：坐标系与参数方程考情精解读A考点帮∙知识全通关目录CONTENTS考纲解读命题规律命题分析预测考点1坐标系考点2参数方程考法1极坐标(方程)与直角坐标(方程)的互化考法2极坐标方程的应用考法3参数方程与普通方程的互化考法4参数方程的应用考法5极坐标方程与参数方程的综合应用B考法帮∙题型全突破理科数学选修4-4：坐标系与参数方程考情精解读考纲解读命题规律命题分析预测理科数学选修4-4：坐标系与参数方程1.理解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形的方程.4.了解参数方程,了解参数的意义.5.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.考纲解读命题规律核心考点考题取样考查内容（对应考法）1.极坐标方程2017全国Ⅱ,T222015全国Ⅰ,T23极坐标方程与直角坐标方程的互化,极坐标方程的应用(考法1,2)2.参数方程2017全国Ⅰ,T222014全国Ⅰ,T232013全国Ⅱ,T23参数方程与普通方程的互化,参数方程的应用(考法3,4)3.极坐标方程与参数方程的综合应用2017全国Ⅲ,T22参数方程与普通方程的互化,求轨迹方程,求极径(考法2,3,5)2016全国Ⅰ,T232016全国Ⅱ,T232015全国Ⅱ,T23极坐标方程与直角坐标方程的互化,参数方程与普通方程的互化,极坐标方程的应用(考法1,2,3,5)2016全国Ⅲ,T23极坐标方程与直角坐标方程的互化,参数方程与普通方程的互化,求最值(考法1,3,4,5)2014全国Ⅱ,T23极坐标方程与直角坐标方程的互化,参数方程与普通方程的互化,参数方程的应用(考法1,3,4,5)1.分析预测从近五年的考查情况来看,该选修主要考查极坐标(方程)与直角坐标(方程)的互化,参数方程与普通方程的互化,根据极坐标方程或参数方程求弦长、面积、最值等,其中利用直线参数方程中参数的几何意义求值,利用椭圆或圆的参数方程或点到直线的距离求最值是考查的重点,主要以解答题的形式出现,分值10分,难度中等.2.学科素养本讲主要考查考生的数学运算能力和转化与化归思想的应用.命题分析预测A考点帮∙知识全通关考点1坐标系考点2参数方程理科数学选修4-4：坐标系与参数方程考点1坐标系（重点）1.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:𝑥′=𝜆·𝑥(𝜆0),𝑦′=𝜇·𝑦(𝜇0)的作用下,点P(x,y)对应到点P'(x',y'),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系与点的极坐标如图所示,在平面内取一个定点O,叫作极点;自极点O引一条射线Ox,叫作极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.即极坐标系的四要素:极点、极轴、单位(长度单位、角度单位)以及正方向.设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫作点M的极径,记为ρ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫作点M的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫作点M的极坐标,记为M(ρ,θ).一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ∈R.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提:①直角坐标系的原点与极点重合;②x轴的正半轴与极轴重合;理科数学选修4-4：坐标系与参数方程③在两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式:设M是平面内任一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则极坐标与直角坐标的互化公式为𝑥=𝜌cos𝜃,𝑦=𝜌sin𝜃,可得𝜌2=𝑥2+𝑦2,tan𝜃=𝑦𝑥(𝑥≠0).注意把直角坐标化为极坐标时,一定要明确点所在的象限(即极角的终边的位置)和极角的范围,以便正确求出极角,否则点的极坐标将不唯一.理科数学选修4-4：坐标系与参数方程4.简单曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r的圆ρ=r(0≤θ2π)圆心为(r,0),半径为r的圆ρ=2rsinθ(0≤θπ)理科数学选修4-4：坐标系与参数方程曲线图形极坐标方程过极点,倾斜角为α的直线(1)θ=α(ρ∈R)或θ=π+α(ρ∈R),(2)θ=α和θ=π+α.过点(a,0),与极轴垂直的直线ρsinθ=a(0θπ)[续表]理科数学选修4-4：坐标系与参数方程考点2参数方程（重点）1.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,将参数方程化为普通方程需消去参数.(2)如果知道变量x,y中的一个与参数t的关系,例如,x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变量与参数t的关系y=g(t),那么𝑥=𝑓(𝑡),𝑦=𝑔(𝑡)就是曲线的参数方程.注意(1)在参数方程与普通方程的互化中,一定要注意变量的范围以及转化的等价性.(2)普通方程化为参数方程,参数方程的形式不唯一,即如果选用的参数不同,那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同.理科数学选修4-4：坐标系与参数方程2.直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y-y0=tanα(x-x0)圆x2+y2=r2椭圆双曲线抛物线y2=2px理科数学选修4-4：坐标系与参数方程B考法帮∙题型全突破考法1极坐标(方程)与直角坐标(方程)的互化考法2极坐标方程的应用考法3参数方程与普通方程的互化考法4参数方程的应用考法5极坐标方程与参数方程的综合应用理科数学选修4-4：坐标系与参数方程考法1极坐标(方程)与直角坐标(方程)的互化考法指导1.极坐标与直角坐标互化的方法(1)将点的直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)时,运用公式ρ=𝑥2+𝑦2,tanθ=𝑦𝑥(x≠0)即可.在[0,2π]范围内,由tanθ=𝑦𝑥(x≠0)求θ时,要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限.如果允许θ∈R,再根据终边相同的角的意义,表示为θ+2kπ(k∈Z)即可.(2)将点的极坐标(ρ,θ)化为直角坐标(x,y)时,运用公式x=ρcosθ,y=ρsinθ即可.直角坐标方程极坐标方程2.极坐标方程与直角坐标方程互化的方法理科数学选修4-4：坐标系与参数方程示例1(1)化圆的直角坐标方程x2+y2=r2(r0)为极坐标方程;(2)化曲线的极坐标方程ρ=8sinθ为直角坐标方程.思路分析利用极坐标、直角坐标转换公式可以把直角坐标方程转化为极坐标方程,也可将极坐标方程转化成直角坐标方程.解析(1)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入x2+y2=r2(r0),得ρ2cos2θ+ρ2sin2θ=r2,即ρ=r.所以,以极点为圆心、r为半径的圆的极坐标方程为ρ=r(0≤θ2π).理科数学选修4-4：坐标系与参数方程(2)解法一把ρ=𝑥2+𝑦2,sinθ=𝑦𝜌代入ρ=8sinθ,得𝑥2+𝑦2=8·𝑦𝑥2+𝑦2,化简得x2+y2-8y=0,即x2+(y-4)2=16.解法二方程ρ=8sinθ两边同时乘以ρ,得ρ2=8ρsinθ,因为ρ2=x2+y2,ρsinθ=y,所以x2+y2-8y=0,即x2+(y-4)2=16.点评极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式.在解决此类问题时考生要注意两个方面:一是准确应用公式,二是注意方程中的限制条件.理科数学选修4-4：坐标系与参数方程突破攻略极坐标与直角坐标的互化,常用方法有代入法、平方法等,还经常用到同乘以(除以)ρ等技巧.理科数学选修4-4：坐标系与参数方程考法2极坐标方程的应用考法指导求解与极坐标有关问题的主要方法(1)直接法:直接利用极坐标系求解,可与数形结合思想配合使用;(2)间接法:转化为直角坐标系,用直角坐标求解.若结果要求的是极坐标,还应将直角坐标化为极坐标.示例2[2017全国卷Ⅱ,22,10分][理]在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为(2,π3),点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.思路分析(1)设出点M和点P的极坐标,用代入法求出点P的极坐标方程,再化为直角坐标方程即可;(2)设出点B的极坐标,根据三角形的面积公式列出△OAB面积的关系式,运用三角函数知识求最值即可.理科数学选修4-4：坐标系与参数方程解析(1)设点P的极坐标为(ρ,θ)(ρ0),点M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ10).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=4cos𝜃.由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程为ρ=4cosθ(ρ0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB0),由题设知|OA|=2,ρB=4cosα,于是△OAB的面积S=12|OA|·ρB·sin∠AOB=4cosα·|sin(α-π3)|理科数学选修4-4：坐标系与参数方程=2|sin(2α-π3)-32|≤2+3.当α=-π12时,S取得最大值2+3.所以△OAB面积的最大值为2+3.理科数学选修4-4：坐标系与参数方程考法3参数方程与普通方程的互化考法指导1.将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程时,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消参方法.常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等,对于含三角函数的参数方程,常利用同角三角函数基本关系式消参,如sin2θ+cos2θ=1等;(2)将参数方程化为普通方程时,要注意参数的取值范围对普通方程中点的坐标的影响,注意两种方程的等价性,避免产生增解的情况.2.将普通方程化为参数方程的方法只要适当选取参数t,确定x=f(t),再代入普通方程,求得y=g(t),即可化为参数方程𝑥=𝑓(𝑡),𝑦=𝑔(𝑡).注意参数t的意义和取值范围.选取参数的原则:(1)曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且相对简单;(2)当参数取某一个值时,可以唯一确定x,y的值.一般地,与时间有关的问题,常取时间作为参数;与旋转有关的问题,常取旋转角作为参数.此外也常常用线段的长度,直线的倾斜角、斜率、截距等作为参数.理科数学选修4-4：坐标系与参数方程示例3设直线l的参数方程为𝑥=3+𝑡cos𝛼,𝑦=4+𝑡sin𝛼(t为参数,α为倾斜角),圆C的参数方程为𝑥=1+2cos𝜃,𝑦=−1+2sin𝜃(θ为参数).(1)若直线l经过圆C的圆心,求直线l的斜率;(2)若直线l与圆C交于两个不同的点,求直线l的斜率的取值范围.思路分析(1)将直线l和圆C的参数方程化成普通方程,求出圆心坐标并代入直线方程即可求得直线l的斜率.(2)思路一是利用圆心到直线的距离小于半径即可求得直线l的斜率的取值范围;思路二是将直线的参数方程代入圆的普通方程,利用判别式大于0即可求得tanα的取值范围,即斜率的取值范围.理科数学选修4-4：坐标系与参数方程解析(1)由已知得直线l经过的定点是P(3,4),而圆C的圆心是C(1,-1),所以,当直线l经过圆C的圆心时,直线l的斜率为k=52.(2)解法一由圆C的参数方程𝑥=1+2cos𝜃,𝑦=−1+2sin𝜃,得圆C的圆心是C(1,-1),半径为2.由直线l的参数方程𝑥=3+𝑡cos𝛼,𝑦=4+𝑡sin𝛼(t为参数,α为倾斜角),得直线l的普通方程为y-4=k(x-3)(斜率存在),即kx-y+4-3k=0.理科数学选修4-4：坐标系与参数方程当直线l与圆C交于两个不同的点时,圆心到直线的距离小于圆的半径,即|5−2𝑘|𝑘2+12,解得k2120.即直线l的斜率的取值范围为(2120,+∞).解法二将圆C的参数方程𝑥=1+2cos𝜃,𝑦=−1+2s