2020高考数学选修4-4坐标系与参数方程2参数方程课件文

第二节参数方程【知识重温】一、必记4个知识点1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上①任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：x＝ft，y＝gt.并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在②这条曲线上，那么方程叫做这条曲线的参数方程，t叫做参变数，简称③参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做④普通方程．2．直线的参数方程过定点P0(x0，y0)且倾斜角为α的直线的参数方程为⑤x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)，则参数t的几何意义是⑥有向线段P0P的数量．3．圆的参数方程圆心为(a，b)，半径为r，以圆心为顶点且与x轴同向的射线，按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径成的角α为参数的圆的参数方程为⑦x＝a＋rcosα，y＝b＋rsinαα∈[0,2π)．4．椭圆的参数方程以椭圆的离心角θ为参数，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的参数方程为⑧x＝acosθ，y＝bsinθθ∈[0,2π)．二、必明1个易误点在曲线方程之间的互化时，要做到互化准确，不重不漏，保持转化前后的等价性．考向一参数方程与普通方程的互化[自主练透型]1．[2018·天津卷]已知圆x2＋y2－2x＝0的圆心为C，直线x＝－1＋22t，y＝3－22t(t为参数)与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为________．解析：将直线的参数方程化为普通方程，为y＝－x＋2.联立方程组y＝－x＋2，x2＋y2－2x＝0，可求得A，B两点的坐标分别为(1,1)，(2,0)．故|AB|＝2.又圆心C到直线AB的距离d＝22，故S△ABC＝12×2×22＝12.答案：122．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x＝t，y＝t－a(t为参数)过椭圆C：x＝3cosφ，y＝2sinφ(φ为参数)的右顶点，求常数a的值．解析：直线l的普通方程为x－y－a＝0，椭圆C的普通方程为x29＋y24＝1，∴椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，则3－a＝0，∴a＝3.悟·技法参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，不要忘了参数的范围.考向二参数方程的应用[互动讲练型][例1][2018·全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝1＋tcosα，y＝2＋tsinα(t为参数)．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．解析：(1)曲线C的直角坐标方程为x24＋y216＝1.当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.又由①得t1＋t2＝－42cosα＋sinα1＋3cos2α，故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.悟·技法(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．(2)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数方程为t1，t2.①弦长l＝|t1－t2|；②弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；③|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.[变式练]——(着眼于举一反三)1．[2017·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝3cosθ，y＝sinθ，(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝a＋4t，y＝1－t，(t为参数)．(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为17，求a.解析：(1)曲线C的普通方程为x29＋y2＝1.当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0，由x＋4y－3＝0，x29＋y2＝1，解得x＝3，y＝0或x＝－2125，y＝2425.从而C与l的交点坐标为(3,0)，－2125，2425.(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cosθ，sinθ)到l的距离为d＝|3cosθ＋4sinθ－a－4|17.当a≥－4时，d的最大值为a＋917.由题设得a＋917＝17，所以a＝8；当a＜－4时，d的最大值为－a＋117.由题设得－a＋117＝17，所以a＝－16.综上，a＝8或a＝－16.考向三极坐标方程与参数方程的综合问题[互动讲练型][例2][2017·全国卷Ⅲ]在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为x＝2＋t，y＝kt，(t为参数)，直线l2的参数方程为x＝－2＋m，y＝mk，(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－2＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．解析：(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y＝1k(x＋2)．设P(x，y)，由题设得y＝kx－2，y＝1kx＋2，消去k得x2－y2＝4(y≠0)，所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，联立ρ2cos2θ－sin2θ＝4，ρcosθ＋sinθ－2＝0得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．故tanθ＝－13，从而cos2θ＝910，sin2θ＝110.代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M的极径为5.悟·技法涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.[变式练]——(着眼于举一反三)2．[2019·山西联考]在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝4cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，直线l的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝2.(1)求直线l的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C交于点A，B，求线段AB的长．解析：(1)因为ρsinθ＋π4＝22ρsinθ＋22ρcosθ＝2，ρsinθ＝y，ρcosθ＝x，所以直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.(2)把曲线C的参数方程x＝4cosθ，y＝4sinθ化为普通方程可得x2＋y2＝16，故曲线C是以原点为圆心，以4为半径的圆，设半径为r，圆心到直线l的距离d＝22＝2，所以|AB|＝2r2－d2＝214，即线段AB的长为214.