能控性

线性控制系统的能控性主要内容•一.线性连续系统的能控性1.能控性的定义2.线性定常系统的状态能控性3.线性定常系统的输出能控性•二.线性定常离散系统的能控性1.离散系统能控性定义2.离散系统的能控性判据设若存在一分段连续控制向量u(t)，能在内将系统从任意状态转移到任意终态，则该系统完全能控。若系统至少有一个状态变量不能控时，则称该系统是状态不完全能控的。BuAxx],[0ftt)(0tx)(ftx一.线性连续系统的能控性1.能控性的定义例:取和作为状态变量,u—输入,y=--输出。Licucu+-uLLi1R3R2R4R(1)当3241RRRR状态能控(2)当3241RRRRu只能控制，不完全能控0cuLicu•说明：①任意初态(状态空间中任一点),零终态＝０能控②零初态任意终态xtx)(0)(ftx0)(0txxtxf)(能达2.线性定常系统的状态能控性（1）秩判据准则xAxBu设11nncBABABnrankSrankBABABnc状态完全可控的充要条件是能控性矩阵：S的秩为即：),,(nnpnRARuRx（n为系统维数）凯莱-哈密顿定理设n阶方矩阵A的特征多项式为1212100()nnnninniifIAaaaaa1na则矩阵A满足特征方程，即121210()0nnnnnfAAaAaAaAaI证明：由于同时，由于n阶伴随矩阵的每个元素都是的（n-1）阶多项式，故根据矩阵的性质，可将写为：1()()()()adjIABIAIAf()B()B121210()nnnnBBBBB①其中，为n阶矩阵。将①两边同时右乘得011,,nBBB()IA121210()()()()nnnnBIABBBBIA②()()()fIBIA将②两边同时右乘得()IA④③由③④得121210()()()nnnnBBBBIAfI121210nnnnBBBB121210nnnnBABABABA1121010()()nnnnnBBBABBABA左边=右边=121210nnnnnIaIaIaIaI因此，有121101100nnnnBIBBAaIBBAaIBAaI将上组式子依次右乘10,,,,nnAAAA得：1112112011nnnnnnnnnBAABABAaABABAaA⑤()()()fIBIA121210()()()()nnnnBIABBBBIA③④00BAaI将⑤组式子两边同时相加，得左边=0右边=121210nnnnnAaAaAaAaI1212100()nnnnnAaAaAaAaIfA推论1：矩阵A的K次幂（K≥n）可表示为A的n-1阶多项式。证明：由于当k=n+1时，即：A的n次幂可表示为A的n-1阶多项式。121210nnnnnAaAaAaAaI121210nnnnnAaAaAaAaI1121210knnnnnAAaAaAaAaA121211210210()nnnnnnnaaAaAaAaIaAaAaA2121212311010()()()nnnnnnnnnaaAaaaAaaaAaaI当K更大时（K≥n），亦依次类推，故推论成立。10nkmmmAA令111,0mnmmaaaa则10nkmmmAA（K≥n）推论2：可表示为A的n-1阶多项式。Ate10()nAtmmmetA10()nAtmmmetA22111111112(1)!!(1)!AtnnnnnneIAtAtAtAtAtnnn2211112(1)!nnIAtAtAtn121210212112123110101()!1[()()()](1)!nnnnnnnnnnnnnnnaAaAaAaItnaaAaaaAaaaAaaItn11010110121212122111112[1][]!(1)!!(1)!1[]2!!(1)!1[](1)!!(1)!nnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaattItttAnnnnaaaatttAnnaaatttAnnn证：10100()1!(1)!nnnaaatttnn111011()!(1)!nnnaaaattttnn21121221()2!!(1)!nnnaaaattttnn21111211()(1)!!(1)!nnnnnnnaaattttnnn令12101210()()()()()nAtnmnmmetItAtAtAtA则同理可证：10()nAtmmmetAdBuetttxetxfftAfttAf)()()()(00)(0秩判据证明：系统状态方程的解为：假设则由Hamilton定理推论0)(,00ftxtdBuetxAf)(0)0(10)(nmmmAAaedBuAatxmnmmf)()(0)0(10duatBAmfnmm)()(010puuuu21令duatumfm)()(0duatduatduatuuuupmfmfmfmpmmm)()(0)()(0)()(021211120(0)BmnmmmmpuuxAuCSmpmmuuu21(0),()CxutrankSn如果系统能控，则对任意已知都能求出的充要条件是[例]试判断下列系统的状态可控性。221002001401xxu(1)(2)110001010110xxu1010002102BAABBSc32nrankSc（1）该系统不可控。解：2101112102BAABBSc（2）32nrankSc该系统不可控。（2）能控标准型判别准则系统经线性非奇异变换后为A为对角型，则状态完全能控的充要条件为：Ｂ中不包含元素全为零的行。BuAxx线性定常系统ppubububxx1212111111ppubububxx2222121222pnpnnnnnubububxx2211显然，上述状态变量之间是完全解耦的，彼此无联系，只有通过输入u（t）直接控制每一个状态变量。若矩阵B中任何一行全为零，则对应的状态变量将不受输入u（t）的控制，因而系统不完全能控；反之则系统完全能控。uxxxxxx752100050007)1321321uxxxxxx750100050007)232132121321321570410100050007)3uuxxxxxx21321321570400100050007)4uuxxxxxx例:试确定如下几个经非奇异变换后的对角线规范型系统的可控性。1)可控3)可控2)不可控4)不可控（3）约当标准型判据准则uxJJJuBxAxk21A若为约当型，则状态完全能控的充要条件是：对应的每一个约当块的最后一行相应的阵中所有的行元素不全为零。例:试判断下列已经非奇异变换成约当规范型的系统的可控性。uxxxxxx340200040014)132132121321321030024200040014)2uuxxxxxx1)可控2)不可控3.线性定常系统的输出能控性设线性定常系统为其中，，，。输出能控性定义：若对任一输出y(t0)和另一输出y(tf)，存在一个有限的时间[t0,tf]和一个分段连续输入u(t)，能在[t0,tf]内使输出y(t0)转移到y(tf)，则称系统是输出能控的，否则称为输出不能控的。输出能控性判别准则：DuCxyBuAxxnRxqRypRuqDBCABCACABCBrankn12例：判断系统是否输出能控。解：rank[CBCABD]=rank[1-20]=1=q输出能控状态不能控uxx213214xy01214221rankAbbranksrankc二.线性定常离散系统的能控性1.离散系统能控性定义其中:)()()1(kBukAxkxnRkx)(PRku)(nnRAnpBR设线性定常离散系统的状态方程:若存在控制向量序列能在有限时间内，将系统从第k步的X(k)转移到至第n步的X(n)=0，则称系统在第k步上是能控的．如果系统在每一个第k步的所有状态X(k)是能控的，则称系统为完全能控。)1(),1(),(nkukuku[,]kTnT则系统状态完全能控的充要条件：rankSc=n其中：)()()1(kBukAxkx][1BAABBSnC设2.离散系统的能控性判据