第4章变形率和旋率

第4章变形率和旋率38第4章变形率和旋率有限变形：与t有关，t作为参变量。——变形几何学现在把时间考虑进去，研究变形的速度问题。对时间求导数：两种描述法对时间求导数有区别，速度是求物质导数，固定KX，对时间求偏导数——变形运动学。§4.1物质变形梯度的物质导数Lagrange描述法：),(tXxxKkk（物质）变形梯度张量：GradkkKKxXFiIxFxX物质导数：()|KXtFF（“KX|”表示保持KX不变）2(,)(GradttttXxXXxxXXvvX§4.2速度梯度张量变形梯度张量的物质导数vvxFGFXxX（1）定义：vGx称为速度梯度张量gradvlkklvG,由（1），可得：1GFF,klklvGee速度梯度张量第4章变形率和旋率39ⅢXⅠXⅡX1x2x3xdXdx0tttdxtG比F用处更大。§4.3线元dx的物质导数初始构形中的线元dX，现时构形中的线元dxddxFX求：dx对时间的物质导数：(d)(d)ddxFXFXGFX则(d)dxGx反映了线元的变化速度。空间线元的物质导数等于速度梯度与空间线元的点积。§4.4G的加法分解F用极分解，1F存在而G用加法分解，1G不一定存在GDΩ分解对称部分和反对称部分T1()2DGGT1()2ΩGG)(21,,kllkklvvD)(21,,kllkklvvΩ变形率张量：D整旋率张量：Ω（物质旋率）(d)ddxDxΩx1．变形率张量D。二阶对称张量，有三个相互垂直的主方向(1,2,3)n，主值D(aDDnn((dddDxDxDxnnnn由上式看出，D为变形率张量，D为n方向变形速率，n为变形率标架。2．旋率张量Ω，反对称张量，只有三个独立的分量第4章变形率和旋率40*dddΩxxωx写为只要：，，21，则上式成立。ω称为轴矢量，转动角速度。§4.5变形速度张量Euler描述法：222)d(dd)d()d(LxxLllkkl求物质导数：lkkllkkllkklxxxxxxtltLltdddd)dd(dd)d(dd)dd(dd222,ddkkKKxxX,,,,,dddddkkKKkKKkllKKkllxxXvXvxXvx则22,,Td(dd)()ddd12dd(())22ddkllkklklkllLvvxxtDxxDGGxDx或写成)(21,,kllkvv称为Euler变形速度张量。D（前面称为变形率张量），有了Euler变形速度张量便可知)dd(dd22Llt。线元ld的伸长率：lkklxxDltlltdd2)d(ddd2)d(dd2除以2)d(2l，则：lkkllkklnnDlxlxDlltddddd)d(dd（其中kn，ln分别为ld在k和l方向的方向余弦）知道D后，任何dx的单位长度的变化率可用D表示出来。Lagrange描述法：2Td(d)2ddd2dd(dd)ltxDxXFDFXxFX（*）第4章变形率和旋率41Larange变形速度张量为：TEFDF另推：Green变形张量：C2222ddddddd(dld)dddddKLKLKLKLKLKLlLCXXXXLCXXtXCX（**）比较（*）与（**）式，Green变形张量的物质导数T22CEFDF§4.6应变速度张量Lagrange描述法：Green应变张量：1()2ECI求物质导数：T12ECFDFLagrange应变速度张量：=Lagrange变形速度张量。另推：TTT111()()222ECFFFFFFTTTTTT1()21()2FGFFGFFGGFFDFEuler描述法：Euler型应变张量：11()2eIB（Almansi应变张量）（前面：1B称为Cauchy变形张量）11T1()()BFF求物质导数：1-T1-T111()[()()]22eBFFFF1FFI，则110FFFF则11FFG同样：TTTFGF第4章变形率和旋率42则：T111[]2eGBBG又12BeI则：TT1()()2eGGGeeGT()DGeeGEuler应变速度张量e与Euler变形速度张量不同。即使0D，e也不一定为零。若0D（即线元长度不变化）则TGGΩ（只有旋率张量）0e（应变仍存在）eΩeeΩ不为零。§4.7各种旋率张量1.主旋率张量T1()2ΩGG——物质旋率,,1()2klklkllkvv2.Lagrange旋率张量设123,,eee固定在空间的标架——绝对标架eF的极分解：FQUFVQU的主方向123M,M,M也构成标架——Lagrange标架，U是变化的，则对应的Lagrange标架也变化，该变化引起的旋转变化率称为Lagrange旋率。LMQe(QL是一个正交张量，只是标架转动)Td()dLLLtMQeQQM（T()LeQM）T()LLLΩQQ称为Lagrange旋率张量。可证LΩ是反对称张量LQ是正交张量，即T()LLQQILΩ是反对称张量。3.Euler旋率张量V的三个主方向，123mmm构成Euler标架，m1x2x3x1M2M3M3e2e1eTTT()()0()0LLLLLLQQQQΩΩ第4章变形率和旋率43EmQi（EQ正交张量）Td()dEEEtmQeQQmT()EEEΩQQ称为Euler旋率张量。4.伸长率标架旋率（变形率）变形率：D也有三个方向123nnn构成一个标架nDnQeTddd()dDDDDttnQenQeQQnT()DDDΩQQ称为伸长率标架旋率。5.相对旋率张量：RΩEuler标架相对于Lagrange标架的转动速度。M表示Lagrange标架，m表示Euler标架。Q：表示从Lagrange标架到Euler标架的转动（与极分解Q相同）mQM求相对运动，视M为不动的标架（实际上在动）相对旋率：TRΩQQQ为正交张量，RΩ为反对称张量。§4.8主旋率和相对旋率的关系T1()2ΩGG——物质旋率TRΩQQ();FQUVQ相对旋率F的极分解：FQUFQUQU又FGF则11GFF(QUQU)F第4章变形率和旋率44又1T11TUFUFQQ则T1TGQQQUUQ1TRΩQUUQ同理：TT1T()RGΩQUUQ∴T11T1122RΩ(GG)ΩQ(UUUU)Qt：时间在动力学中确定与时间有关。在静力学中，该时间概念有的所不同，认为荷载增量，应变增量，变形增量，——增量理论，就提出了有变形率、应变率问题，借用时间t来考虑增量问题，其实不与时间紧密相关。