第4章模拟信号的数字化.

1第四章模拟信号的数字化4.1引言两类信源：模拟信号、数字信号模/数变换的三步骤：抽样、量化和编码最常用的模/数变换方法：脉冲编码调制(PCM)24.2模拟信号的抽样4.2.1低通模拟信号的抽样通常是在等间隔T上抽样理论上，抽样过程＝周期性单位冲激脉冲模拟信号实际上，抽样过程＝周期性单位窄脉冲模拟信号抽样定理：若一个连续模拟信号s(t)的最高频率小于fH，则以间隔时间为T1/2fH的周期性冲激脉冲对其抽样时，s(t)将被这些抽样值所完全确定。模拟信号s(t)模拟信号的抽样3抽样定理的证明：设：s(t)－最高频率小于fH的信号，T(t)－周期性单位冲激脉冲，其重复周期为T，重复频率为fs=1/T则抽样信号为：设sk(t)的傅里叶变换为Sk(f)，则有：式中，Sk(f)－sk(t)的频谱S(f)－s(t)的频谱(f)－T(t)的频谱(f)是周期性单位冲激脉冲的频谱，它可以求出等于：)()()()(kTsttstsTk)()()(ffSfSknsnffTf)(1)(4将代入，得到由上式看出：由于S(f-nfs)是信号频谱S(f)在频率轴上平移了nfs的结果，所以抽样信号的频谱Sk(f)是无数间隔频率为fs的原信号频谱S(f)相叠加而成。因已经假设s(t)的最高频率小于fH，所以若上式中的频率间隔fs2fH，则Sk(f)中包含的每个原信号频谱S(f)之间互不重叠，如图所示。这样就能够从Sk(f)中分离出信号s(t)的频谱S(f)，并能够容易地从S(f)得到s(t)；也就是能从抽样信号中恢复原信号，或者说能由抽样信号决定原信号。这里，恢复原信号的条件是：2fH称为奈奎斯特(Nyquist)速率。与此相应的最小抽样时间间隔称为奈奎斯特间隔。)(1)()(1)(snsknffSTnfffSTfSnsnffTf)(1)()()()(ffSfSkHsff25由抽样信号恢复原信号的方法：从频域看：当fs2fH时，用一个截止频率为fH的理想低通滤波器就能够从抽样信号中分离出原信号。从时域中看，当用抽样脉冲序列冲激此理想低通滤波器时，滤波器的输出就是一系列冲激响应之和，如图所示。这些冲激响应之和就构成了原信号。理想滤波器是不能实现的。实用滤波器的截止边缘不可能做到如此陡峭。所以，实用的抽样频率fs必须比2fH大较多。例如，典型电话信号的最高频率限制在3400Hz，而抽样频率采用8000Hz。64.2.2带通模拟信号的抽样带通信号的频带限制在fL和fH之间，即其频谱低端截止频率明显大于零。要求抽样频率fs：式中，B－信号带宽，n－小于fH/B的最大整数，0k1。由图可见，当fL=0时，fs＝2B，当fL很大时，fs2B。图中的曲线表示要求的最小抽样频率fs，但是这并不意味着用任何大于该值的频率抽样都能保证频谱不混叠。)1(222nkBnkBBfs3BB2B4B5B6BfL0fs74.2.3模拟脉冲调制脉冲振幅调制PAM脉冲宽度调制PDM脉冲位置调制PPM（a)基带信号(b)PAM信号(c)PDM信号(d)PPM信号图4.2.6模拟脉冲调制84.3抽样信号的量化4.3.1量化原理量化的目的：将抽样信号数字化。量化的方法：设s(kT)－抽样值，若用N位二进制码元表示，则只能表示M=2N个不同的抽样值。共有M个离散电平，它们称为量化电平。用这M个量化电平表示连续抽样值的方法称为量化。例：见图，图示为均匀量化。图4.3.1抽样信号的量化iiiqmkTsmqkTs)(,)(1当94.3.2均匀量化设：模拟抽样信号的取值范围：a～b量化电平数＝M则均匀量化时的量化间隔为：量化区间的端点为：若量化输出电平qi取为量化间隔的中点，则有量化噪声＝量化输出电平和量化前信号的抽样值之差信号功率与量化噪声之比（简称信号量噪比）Mabv/)(viamiMimmqiii,...,2,1,2110求量化噪声功率的平均值Nq：式中，sk为信号的抽样值，即s(kT)sq为量化信号值，即sq(kT)f(sk)为信号抽样值sk的概率密度E表示求统计平均值M为量化电平数求信号sk的平均功率：由上两式可以求出平均量化信噪比。baMimmkkikkkqkqkqiidssfqsdssfssssEN12221)()()()(])[(viami2vviaqibakkkkdssfssES)()(2211【例4.1】设一个均匀量化器的量化电平数为M，其输入信号抽样值在区间[-a,a]内具有均匀的概率密度。试求该量化器的平均信号量噪比。解：∵∴或（dB）avMvadsavviasdsaqsdssfqsNMiMiviaviakkMimmkikMimmkkikqiiii24122121)2(21)()()(3121)1(2121211avM2122vNqaakkvMdsasS222)(12212MNSqMNSdBqlg20124.3.3非均匀量化均匀量化的缺点：量化噪声Nq是确定的。但是，信号的强度可能随时间变化，例如语音信号。当信号小时，信号量噪比也就很小。非均匀量化可以改善小信号时的信号量噪比。非均匀量化原理：用一个非线性电路将输入电压x变换成输出电压y：y=f(x)当量化区间划分很多时，在每一量化区间内压缩特性曲线可以近似看作为一段直线。因此，这段直线的斜率可以写为或设x和y的范围都限制在0和1之间，且纵座标y在0和1之间均匀划分成N个量化区间，则有区间间隔为：∴ydxdyxyydydxxNy1dydxNydydxx113由有为了保持信号量噪比恒定，要求：xx即要求：dx/dyx或dx/dy=kx,式中k=常数由上式解出：为了求c，将边界条件(当x=1时，y=1)，代入上式，得到k+c=0，即求出：c=-k，将c值代入上式，得到由上式看出，为了保持信号量噪比恒定，在理论上要求压缩特性为对数特性。对于电话信号，ITU制定了两种建议，即A压缩律和压缩律，以及相应的近似算法－13折线法和15折线法。dydxNydydxx1xNdydxckyxlnkkyxlnxkyln1114A压缩率式中，x为压缩器归一化输入电压；y为压缩器归一化输出电压；A为常数，决定压缩程度。A律中的常数A不同，则压缩曲线的形状不同。它将特别影响小电压时的信号量噪比的大小。在实用中，选择A等于87.6。11,ln1ln110,ln1xAAAxAxAAxy1513折线压缩特性－A律的近似A律是平滑曲线，用电子线路很难准确地实现，但很容易用数字电路来近似实现。13折线特性就是近似于A律的特性。图中x在0～1区间中分为不均匀的8段。1/2至1间的线段称为第8段；1/4至1/2间称为第7段；1/8至1/4间称为第6段；依此类推，直到0至1/128间的线段称为第1段。纵坐标y则均匀地划分作8段。将这8段相应的座标点(x,y)相连，就得到了一条折线。除第1和2段外，其他各段折线的斜率都不相同：折线段号12345678斜率16168421½¼对交流信号，正负第1和2段斜率相同，故共有13段折线。16A律和13折线法比较i876543210y=1-i/801/82/83/84/85/86/87/81A律x值01/1281/60.61/30.61/15.41/7.791/3.931/1.98113折线法01/1281/641/321/161/8¼½1x=1/2i折线段号12345678折线斜率16168421½¼从表中看出，13折线法和A=87.6时的A律压缩法十分接近。17压缩律和15折线压缩特性A律中，选用A=87.6有两个目的:1.使曲线在原点附近的斜率＝16，使16段折线简化成13段；2.使转折点上A律曲线的横坐标x值1/2i(i=0,1,2,…,7)。若仅要求满足第二个目的：仅要求满足当x=1/2i时，y=1–i/8，则可以得到律：15折线：近似律1ln1lnxy25512255125625512568/iiyx1815折线法的转折点坐标和各段斜率i012345678y=i/801/82/83/84/85/86/87/81x=(2i-1)/25501/2553/2557/25515/25531/25563/255127/2551斜率2551/81/161/321/641/1281/2561/5121/1024段号12345678由于其第1段和第2段的斜率不同，不能合并为一条直线，故考虑交流电压正负极性后，共得到15段折线。1913折线法和15折线法比较比较13折线特性和15折线特性的第一段斜率可知，15折线特性第一段的斜率（255/8）大约是13折线特性第一段斜率（16）的两倍。所以，15折线特性给出的小信号的信号量噪比约是13折线特性的两倍。但是，对于大信号而言，15折线特性给出的信号量噪比要比13折线特性时稍差。这可以从对数压缩式(4.3-22)看出，在A律中A值等于87.6；但是在m律中，相当A值等于94.18。A值越大，在大电压段曲线的斜率越小，即信号量噪比越差。20非均匀量化和均匀量化的比较现以13折线法为例作一比较。若用13折线法中的（第1和第2段）最小量化间隔作为均匀量化时的量化间隔，则13折线法中第1至第8段包含的均匀量化间隔数分别为16、16、32、64、128、256、512、1024，共有2048个均匀量化间隔，而非均匀量化时只有128个量化间隔。因此，在保证小信号的量化间隔相等的条件下，均匀量化需要11比特编码，而非均匀量化只要7比特就够了。214.4脉冲编码调制4.4.1脉冲编码调制（PCM）的基本原理抽样量化编码例：见右图3.1530113.964100方框图：76543213456760111001011101111103.153.965.006.386.806.42抽样值量化值二进制符号抽样保持量化编码解码低通滤波编码器解码器模拟信号输入PCM信号模拟信号输出224.4.2自然二进制码和折叠二进制码折叠二进制码的特点：有映像关系，最高位可以表示极性，使编码电路简化；误码对小电压影响小，可减小语音信号平均量化噪声。量化值序号量化电压极性自然二进制码折叠二进制码15141312111098正极性111111101101110010111010100110001111111011011100101110101001100076543210负极性01110110010101000011001000010000000000010010001101000101011001112313折线法中采用的折叠码共8位：c1至c8c1：极性c2～c4：段落码－8种段落斜率c5～c8：段内码－16个量化电平段落序号段落码c2c3c481117110610151004011301020011000量化间隔段内码c5c6c7c815111114111014110112110011101110101091001810007011160110501014010030011200101000100000244.4.3PCM系统的量化噪声在4.3.2节中，已求出：均匀量化时的信号量噪比为S/Nq=M2当采用N位二进制码编码时，M=2N,故有S/Nq=22N由抽样定理，若信号为限制在fH的低通信号，则抽样速率不应低于每秒2fH次。对于PCM系统，这相当于要求传输速率2NfHb/s，