第4章流体动力学(传)

第四章流体动力学基础流体动力学概述流体动力学是研究流体在外力作用下的运动规律即研究流体动力学物理量和运动学物理量之间的关系的科学。建立粘性流体运动的动量守恒方程，即纳维--斯托克斯方程在重力场中不可压缩理想流体一维定常流动量方程--伯努利方程，继而推广到实际总流，得到黏性流体恒定总流的能量方程。将动量守恒定律用于恒定总流得到恒定总流的动量方程。回顾一下已经学过的微分方程：第二章静力学中，根据力的平衡关系推导出的关于压强分布的欧拉平衡微分方程01pf第三章运动学中，根据质量守恒定律推导的连续微分方程()()()0yxzuuutxyz第一节粘性流体运动的纳维—斯托克斯方程将动量守恒定律应用于运动着的粘性流体质点上，可得到诸流动参数之间的关系，即粘性流体运动的纳维—斯托克斯方程，该方程是于1827年和1845年由Navier和Stokes分别从不同角度独立得到。111xxxyyyzzzdvpfvdtxdvpfvdtydvpfvdtz上式即为不可压缩粘性流体的运动微分方程。即：纳维—斯托克斯方程（简称N—S方程）写成矢量形式有：21dvvvvfpvdtt拉普拉斯算符：2222222xyz具体推导如下：在流场中任取一空间点M(x,y,z)，并以该点为一顶点作一微小正六面体。在过M点的三个正交面MBDC，MCEA和MAFB上则作用着应力Px，Py，Pz，又可分出Pij9个应力分量，即一点的应力状态由这9个分量来描述。一、关于应力xxxyxzyxyyyzzxzyzzpppPpppppp式中Pxx，Pyy，Pzz为正应力分量，其余6个为切应力分量。Pij中第一个下角标表示其作用面的法线方向，第二个下角标表示其作用方向。在这9个应力分量中，只有6个应力分量是独立的，即：,,,,xxyyzzxyyxxzzxyzzyppppppppp流体中一点的应力完全由这9个分量确定。对于理想流体而言，应力为正压力。而对于实际流体而言，应力存在法向应力和切向应力。xxxyxzyxyyyzzxzyzzpppPpppppp二、应力形式的动量方程,,xyzppp作用于流体微团上的表面力还有GEAF，GFBD和GDCE三个面上的应力，这些力也可分解成各自作用面上的法向和切向分量。xyxxxzxxxxyxzppppipdxjpdxkpdxxxxyxyyyzyyxyyyzppppipdyjpdykpdyyyyzyzxzzzzxzyzzppppipdzjpdzkpdzzzz将牛顿第二定律应用于运动着的粘性流体质点，以X方向为例：Fmaxxxxppdxxyxyxppdyyzxzxppdzzxxpzxpyxpozxy作用于该流体微团沿X轴方向的合力为：yxxxxxxxxyxyxyxzxxxzxzxzxxxppFpdxdydzpdydzpdydxdzpdxdzxypppppdzdxdypdxdyfdxdydzfdxdydzzxyz惯性力:xxdvdmadxdydzdt根据牛顿第二定律:xxFdma可得到X方向的运动方程:yxxxxzxxpdvppdxdydzfdxdydzdtxyz可得到X方向的运动方程:同理可得:将上式整理后得:1yxxxxzxxpdvppfdtxyz1yyxyyyzydvpppfdtxyz1zyzxzzzzppdvpfdtxyz上述方程即为粘性流体运动应力形式的动量方程。方程中未知量有：速度V（3个），应力（6个），共9个未知量。上述方程3个，再加上1个连续性方程，故方程组不封闭，需补充5个关系式。1yxxxxzxxpdvppfdtxyz1yyxyyyzydvpppfdtxyz1zyzxzzzzppdvpfdtxyz三、广义牛顿内摩擦定律（本构方程：反映物质宏观性质的数学模型）广义牛顿内摩擦定律（本构方程）反应了应力和应变率之间存在的制约关系，这是建立流体动力学方程的基础。Stokes提出了适用于牛顿流体的如下三条假设：（1）流体是各向同性的，也就是说流体的物理性质与方向无关，只是坐标位置的函数；（2）应力张量是应变率张量的线性函数，与旋度无关。（3）静止流体中，切应力为零，正应力的值为流体的静压。1、切向应力与变形速度的关系变形包括线变形和角变形（剪变形）。线变形运动是由速度分量在它方向上变化率决定的，即角变形运动是由速度分量在垂直于它的方向上的变化率决定的。,,,yxzvvvxyz牛顿切应力公式：dvdn上式说明切应力与流体微团的角变形速率成正比。在三元流动中，三个坐标平面内的角变形速度分别为：,,yyxxzzvvvvvvxyyzzx推广牛顿粘性公式至三元流动中，则可得切应力与角变形速度的关系式：yxxyyxyzyzzyxzxzzxvvppxyvvppyzvvppzx(1)(3)(2)2、法向应力与变形速度的关系223223223xxxyyyzzzvppvxvppvyvppvz式中：;yxzvvvvxyz表示速度场的散度。p为粘性流体的动压力。1()3xxyyzzpppp223223223xxxyyyzzzvppvxvppvyvppvz222xxxyyyzzzvppxvppyvppz0v(4)(6)(5)对于理想流体或静止流体，则有：xxyyzzpppppp对于不可压缩流体，0v满足连续方程至此，连续方程、三个运动微分方程以及（1）~（6）个补充方程，共10个方程，求解10个未知数（3个速度分量、6个应力分量以及动压力P），所以方程组封闭，理论上可求解。yxxyyxyzyzzyxzxzzxvvppxyvvppyzvvppzx222xxxyyyzzzvppxvppyvppz1yxxxxzxxpdvppfdtxyz1yyxyyyzydvpppfdtxyz1zyzxzzzzppdvpfdtxyz0v连续方程对于不可压缩流体四、纳维—斯托克斯方程（简称N—S方程）将应力和变形速度间的关系式代入应力方程（以X方向为例）：1yxxxxzxxpdvppfdtxyz223xxxvppvxyxyxxzzxvvpxyvvpzx12231xxxyxxzdvvfpvdtxxvvvvyxyzxz1223113xxxyxxzxxdvvfpvdtxxvvvvyxyzxzpfvvxx同理可得Y和Z方向的运动微分方程：131313xxxyyyzzzdvpfvvdtxxdvpfvvdtyydvpfvvdtzz2,vv拉普拉斯算符：2222222xyz131313xxxyyyzzzdvpfvvdtxxdvpfvvdtyydvpfvvdtzz上式即为粘性流体的运动微分方程(对单位质量流体而言)，适用于一切牛顿流体。左边为单位质量流体的惯性力；右边依次为单位质量流体的质量力、压力和粘性力。对于不可压缩流体，由于，则有：0v111xxxyyyzzzdvpfvdtxdvpfvdtydvpfvdtz上式即为不可压缩粘性流体的运动微分方程。即：纳维—斯托克斯方程（简称N—S方程）写成矢量形式有：21dvvvvfpvdtt不可压缩粘性流体的N-S方程在直角坐标系下的形式为：222222222222111xxxxxxxxxyzxyyyyyyyyxyzyzzzzzxyzzdvvvvvvvvpvvvfdttxyzxxyzdvvvvvvvvpvvvfdttxyzyxyzdvvvvvpvvvfdttxyzz222222zzzvvvxyz在上述方程中，未知数有4个：3个运动方程，再加1个连续方程，共4个方程，故方程组封闭，原则上可求解。,,,xyzvvvp不可压缩粘性流体的N-S方程在柱坐标系下的形式为：22222222121121rrrrrrzrrrrrzzzzzrzzzvvvvvvvvpvvfvtrrrzrrrvvvvvvvvvpvvfvtrrrzrrrvvvvvpvvfvtrrzz式中:22222211rrrrrz,,rz,,rzvvv----空间点的柱坐标;----速度的三个坐标分量。不可压缩粘性流体的N-S方程在球坐标系下的形式为：2222222222222sin21222cotsincotsin1122cossinsinrrrrrrrrrrrvvvvvvvvvtrrrrvvvpfvvrrrrrvvvvvvvvvtrrrrvvpfvrrrr222222cotsin1122cossinsinsinsinrrrvvvvvvvvvvvvtrrrrrvvvpfvrrrr