第5章-线性系统的频域分析法

第5章线性系统的频域分析法5.1频率特性一、基本概念频率特性的定义：()幅频特性相频特性的函数()s()sinrrtAt()sin()sscctAt对于线性定常系统()()crAAA1110122110()mmmmrnnnnbsbsbsbACsasasasas22()rARss()s()sinrrtAt()ct11101110()mmmmnnnnbsbsbsbsasasasa设121niiiABBsssjsj---闭环极点is121()(0)instjtjtiictAeBeBet瞬态分量()ttct稳态分量()ssct下面讨论频率特性与传递函数的关系对于稳定的系统，稳态响应分量即为系统的稳态响应。12lim()()jtjtsstctcteBBe其中212()()rsjAsjsBs()rAjjj()2rAjj即222()()rsjBAssjs()2rAjj又有()(())jjejj()()jjje()()()jjjje[()][()]()()()22jtjjtjrrssAActjejejj稳态响应[()][()]()2jtjjtjreeAjj()sin[()]rAjtj121()(0)instjtjtiictAeBeBet瞬态分量()ttct稳态分量()ssct()sin([)()]ssrctAjjt()sinrrAtt时的稳态响应：可见，对于一个稳定的线性定常系统，在其输入端施加一个正弦信号时，当动态过程结束后，其稳态输出（频率响应）是一个与输入信号同频率的正弦信号。由频率特性的定义()()()rrAjAjA幅频特性相频特性频率特性常用复数形式()()jAe()()j()()()()()()jjjsjAejejs包含了系统全部动态结构和参数信息，因此，频率特性也是系统的动态数学模型。()j系统微分方程频率特性传递函数sjspjpdpdt微分算子若输入信号r(t)=2sin2t，试求系统的稳态输出和稳态误差。单位负反馈系统的开环传递函数为)2(4)G(sss解:424)(1)()(2sssGsGs244)(2jj901(2)1ejjjj在正弦信号作用下，稳定的线性定常系统的稳态输出和稳态误差也是正弦信号，可以利用频率特性的概念来求解。1.求系统的稳态输出2即(2)1(2)90A()2(2)sin(2(2))2sin(290)ssctAtt首先判稳：系统稳定。2()240Dsss稳态输出为：例5-1误差传递函数为：422)(22esssss222()42ejjj451(2)2jejjej因此稳态误差为：()22sin(245)ssett2.求系统的稳态误差响应在正弦信号作用下求系统的稳态输出和稳态误差时，由于正弦输入R(s)的极点位于虚轴上，不符合拉氏变换终值定理的应用条件，不能利用拉氏变换的终值定理来求解，可以运用频率特性的概念来求解，需要注意的是，此时的系统应当是稳定的。二、频率特性曲线1()1sTs在工程分析和设计中，通常把频率特性画成一些曲线，从频率特性曲线出发进行研究。这些曲线包括：1.幅频特性和相频特性曲线()A、(）在直角坐标系中以频率ω为横坐标，分别以为纵坐标画出的幅频特性和相频特性随ω变化的曲线。例如1()1jjT()()arctgT21()1()AT()A()1T3T4T5T1009002T2.幅相特性曲线3.对数幅频、相频特性曲线()()jAe以频率ω为参变量，在复平面上的矢端变化曲线。()L、（）横坐标表示频率ω，按对数分度（对数坐标轴），纵坐标分别为的两条曲线，称为对数频率特性曲线又称为伯德图。()20lg()(,,)LAdbdB分贝1()1sTs例如()1()1()jjjTAe11()A1()0ImRe1022()A2()3对数坐标轴对数频率特性曲线的横坐标表示频率ω，并按对数分度.所谓对数分度，是指横坐标以lgω进行均匀分度，即横坐标对lgω来讲是均匀的，对ω而言却是不均匀的。频率ω每变化十倍,称为一个十倍频程。0.11100.40.80.2248十倍频程十倍频程20两倍频程两倍频程两倍频程十倍频程0lg110.60.90.31.310.9540.9030.8450.7880.6990.6020.4770.301010987654321lg半对数直角坐标-2-101230.010.111010010003020100-10-20-3020/20/dBdec分贝十倍频程()L例Tjj11)(2)(11)(TA)()(Tarctgω01/2T1/T2/T3/T4/T5/T∞A(ω)10.890.7070.450.320.240.200φ(ω)0°-26.6°-45°-63.5°-71.5°-76°-78.7°-90°L(ω)0-1.01-3-6.94-9.9-12.4-13.98-∞()20lg()LA()()Ldb100.151015200()()100.190045114.对数幅相曲线()L在直角坐标系中，以ω为参变量，以为横坐标，为纵坐标绘制的曲线。又称尼柯尔斯曲线。（）()()()()Ldb0510152009045()()Ldb100.151015200()()100.190045112.频率特性是正弦输入信号下，系统的稳态输出与输入的复数比，因此假定系统稳定。将定义扩展为输出的稳态分量与输入的复数比，频率特性也可用于不稳定系统。对于不稳定系统，频率特性只能从理论上获得，而无法由实验观察到。4.频率特性完全是由系统本身的结构和参数决定的。关于频率特性的几点说明：1.频率特性的概念只适用于线性定常系统。3.频率特性也可以从富氏变换的角度定义为系统输出量的富氏变换与输入量的富氏变换之比，。因此，可以利用频率特性求系统的时域响应。()()/()jCjRj()()()CjjRj5.2典型环节的频率特性比例环节积分环节微分环节惯性环节一阶微分环节振荡环节二阶微分环节不稳定环节延迟环节线性定常系统的开环传递函数可看作是由一些典型环节串联而成，掌握典型环节的频率特性是研究较为复杂系统的频率特性的基础。主要的典型环节包括：传递函数幅频特性和相频特性：对数幅频特性和相频特性：0)(lg20)(lg20)(KAL()GsK()GjK频率特性为()(),AGjK()0ReIm0幅相特性()()()()Ldb00对数频率特性20lgK()()A()00幅频、相频特性KK1.比例环节幅相特性：0()jGjKe传递函数1()Gss1()Gjj频率特性为：幅频特性和相频特性：2π)(1)(A()A()()9002．积分环节对数幅频特性和相频特性：1()20lg20lgπ()2L其对数幅频特性为一条斜率为-20dB/dec的直线，此线通过ω=1，L(ω)=0dB的点。幅相特性：21()jGje20/dBdec1()()90()()LdB0ReIm001()0dLB当时传递函数()Gss()Gjj频率特性为：幅频特性和相频特性：()π()2A()A()()9003．微分环节对数幅频特性和相频特性：()20lgπ()2L其对数幅频特性为一条斜率为20dB/dec的直线，此线通过ω=1，L(ω)=0dB的点。幅相特性：2()jGjje1()()90()()LdB0ReIm0020/dBdec积分环节和微分环节的传递函数互为倒数，它们的对数幅频特性和相频特性则对称于横轴。20/dBdec4.惯性环节传递函数1()1Gj=+jT频率特性1()1Gs=Ts+2()11()AT1()tgT幅相特性幅频特性相频特性11()1()jtgT2Gj=e+T对数幅频特性2()20lg()20lg1()LATω01/T2/T3/T4/T5/T∞A(ω)10.7070.450.320.240.200φ(ω)0°-45°-63.5°-71.5°-76°-78.7°-90°L(ω)0-3-6.94-9.9-12.4-13.98-∞幅频特性和相频特性：2()11()AT1()tgT()A()1T3T4T5T10002T90450.707ω由0→∞变化时，惯性环节频率特性的幅值由1变化到0，相角由0°变化到-90°。010A02A1142AT11()1()jtgT2Gj=e+T幅相特性：02A010A1142AT0ImRe()A()可以证明,惯性环节的幅相曲线为半圆。0112T1T2T对数幅频特性和相频特性：21()20lg1()()tgTLT2L000L1120lg342LT1(1T）100.151015200100.1900451L()(dB)()()TT1()0TL1()20lgTLT对数幅频曲线特点：2条渐近线工程上，对数幅频特性一般采用渐近线来近似表示。1()0L定义为交接频率（转折频率），对数幅频近似曲线表示如下：11T1()20lgLT两段近似曲线在交接频率ω1处相交。ω1也称为惯性环节的特征点。22122120lg1T()()20lg1T20lgT()L最大的误差发生在交接频率ω1处，其值为-3dB。对数幅频特性近似曲线：ΔL(ω)=准确值-近似值1(1T）100.151015200100.1900451L()(dB)()()TT5.一阶微分环节()1Gj=+jT频率特性2()1()AT1()tgT幅相特性幅频特性相频特性1()1()2jtgTGj=+Te对数幅频特性2()20lg()20lg1()LAT传递函数()1Gs=Ts+ω由0→∞变化时，其幅值由1变化到∞，而相角由0°变化到90°。()A()12()G(ω)11()()jtgTjjjTTeAe幅相特性：jT()A()0Im01Re实部始终为1G(ω)j对数幅频特性和相频特性：21()20lg1()()tgTLT2L000L134LT对数幅频特性近似曲线11()0()20lgLLT11T特征点（转折频率）精确曲线近似曲线()()Ldb100.115105200()()T1100.1090