第5章两自由度系统的振动

1第5章两自由度系统的振动应用单自由度系统的振动理论，可以解决机械振动中的一些问题。但是，工程中有很多实际问题必须简化成两个或两个以上自由度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征。多自由度系统的振动特性与单自由度系统的振动特性有较大的差别，例如，有多个固有频率、主振型、主振动和多个共振频率等。本章主要介绍研究两自由度系统机械振动的基本方法。如图5-1所示。平板代表车身，它的位置可以由质心C偏离其平衡位置的铅直位移z及平板的转角来确定。这样，车辆在铅直面内的振动问题就被简化为一个两自由度的系统。5.1双质量弹簧系统的自由振动5.1.1运动微分方程图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。略去摩擦力及其它阻尼，以它们各自的静平衡位置为坐标x1、x2的原点，物体离开其平衡位置的位移用x1、x2表示。两物体在水平方向的受力图如图5-2(b)所示，由牛顿第二定律得00)(2212222212111xkxkxmxkxkkxm(5-1)这就是两自由度系统的自由振动微分方程。习惯上写成下列形式00212211dxcxxbxaxx(5-2)显然此时2212121,,mkdcmkbmkka但对不同的系统，式(5-2)中各系数的意义并不相同。图5-1车辆模型图5-2两自由度的弹簧质量系统25.1.2固有频率和主振型根据微分方程的理论，设方程(5-2)的解，即两自由度无阻尼自由振动系统的解为)sin()sin(2211ptAxptAx(5-3)或写成以下的矩阵形式)sin(2121ptAAxx(5-4)将式(5-4)代入式(5-2)，可得代数齐次方程组002122AApdcbpa(5-5)保证式(5-5)具有非零解的充分必要条件是式(5-5)的系数行列式等于零，即0)(222pdcbpap展开后为0)(24bcadpdap(5-6)式(5-6)唯一确定了频率p满足的条件，通常称为频率分程或特征方程。它是2p的二次代数方程，它的两个特征根为)(22222,1bcaddadapbcdada222(5-7)由于式(5-7)确定的2p的两个正实根仅取决于系统本身的物理性质，与运动的初始条件无关，因此p称为系统的固有频率。较小的一个称为第一阶固有频率，较大的一个称为第二阶固有频率。5.2.2主振型将固有频率p1和p2分别代入式(5-5)的任一式，可得到对应于它们的振幅比32222)2(1)2(222121)1(1)1(21pdcbpaAApdcbpaAA(5-8)以上二式说明，虽然振幅的大小与振动的初始条件有关，但当系统以任一阶固有频率作同步谐振动时，振幅比却和固有频率一样只决定于系统本身的物理性质。同时联系到式(5-3)不难看出两个质量块任意瞬时位移的比值12xx也同样是确定的，并且等于振幅比，即：2)2(1)2(21)1(1)1(2,xxxx(5-9)其它各点的位移则都可以由1x和2x所决定。这样在振动过程中，系统各点位移的相对比值都可由振幅比确定。也就是说，振幅比决定了整个系统的振动形态，因之称为主振型。与1p对应的振幅比1称为第一阶主振型，与2p对应的振幅比2称为第二阶主振型。将式(5-7)中的p1、p2之值带入式(5-8)，得022102212221bcdadabbcdadab(5-10)这表明，系统以频率1p振动时，质量m1与m2按同一方向运动；以频率2p振动时，总是按相反的方向运动。系统以某一阶固有频率按其相应的主振型运动，称为系统的主振动。第一阶主振动为)sin()sin()sin(11)1(1111)1(2)1(211)1(1)1(1tpAtpAxtpAx(5-11)第二阶主振动为)sin()sin()sin(22)2(1222)2(2)2(222)2(1)2(1tpAtpAxtpAx(5-12)可见系统作主振动时，各点同时经过平衡位置和最大偏离位置，以确定的频率和振型作简谐振动。但必须指出，并非任何情况下系统都可能作主振动。根据微分方程理论，两自由度系统的自由振动微分方程(5-1)的通解，是它的两个主振动的线性组合，即)sin()sin()()sin()sin()(22)2(1211)1(11)2(2)1(2222)2(111)1(1)2(1)1(11tpAtpAxxtxtpAtpAxxtx(5-13)上式可以写成如下的矩阵形式，即4)sin()sin(22)2(12)2(111)1(11)1(121tpAAtpAAxx(5-14)式中21)2(1)1(1,,,AA由运动的初始条件确定。所以一般情况下，系统的自由振动是两个不同频率的主振动的叠加，其结果不一定是简谐振动。例5-1试求图5-3(a)所示两个自由度系统振动的固有频率和主振型。已知各弹簧的弹簧常量k1＝k2＝k3＝k，物体的质量m1＝m，m2＝2m。解：（1）建立运动微分方程式分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取两物体离开其平衡位置的距离x1、x2为广义坐标，两物体沿x方向的受力图如图5-3(b)所示，它们的运动微分方程分别为02202212211kxkxxmkxkxxm若写成(5-2)的标准形式，则mkdmkcmkbmka,2,,2所以mkmkmkmkmkbcdadap23232)2(2322222222,1解出，mkpmkp366.2,634.02221。因此，系统的第一阶和第二阶固有频率为mkmkpmkmkp538.1.366.2,796.0634.021（3）求主振型将21p、22p分别代入式(5-26)，得图5-4振型图图5-3两自由度系统5732.21732.0122)2(1)2(2221)1(1)1(21bpaAAbpaAA主振型为732.21,732.01)2(1)2(2)2()1(1)1(2)1(AAAAAA系统的振型图如图5-4所示。图(a)表明在第一主振型中二物体的振动方向是相同的；图(b)表明在第二主振型中二者的振动方向是反相的，并且弹簧上的A点是不动的，这样的点称为节点。例5-2在图示5-3所示系统中，已知kkkkkmmm4,,23121，求该系统对以下两组初始条件的响应：（1）t＝0，x10＝1cm，0201020xxx；（2）,cm1,010xt0,cm1201020xxx。解：系统的的运动微分方程分别为054045212211kxkxxmkxkxxm若写成(5-2)的标准形式，则,4,5mkcbmkda所以mkmkbcdadap4522222,1解出，mkpmkp9,2221。对应的两个主振型为1122)2(1)2(2221)1(1)1(21bpaAAbpaAA将初始条件（1）代入式(5-10)，解得0coscos0coscos0sinsin1sinsin222)2(1111)1(12022)2(111)1(1102)2(121)1(11202)2(11)1(110pApAxpApAxAAxAAx6因此，2π,2π,21,2121)2(1)1(1AA所以cm)(3cos21cos21cos21cos21)(cm)(3cos21cos21cos21cos21)(212211tmktmktptptxtmktmktptptx这表明，其响应为频率p1、p2的两种主振动的线性组合。再将初始条件（2）代入式(5-10)，得2π,1,2,02)2(11)1(1AA所以)cm(3coscos)(),cm(3coscos)(2221tmktptxtmktptx这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因此，系统按第二主振型以频率p2作谐振动。5.2拍振现象图5-5（a）表示两个摆长，质量相同的单摆，中间以弹簧相连，形成两自由度系统。图5-5双摆拍振取1、2表示摆的角位移，逆钟向转动为正，每个摆的受力如图5-5（b）。根据刚体绕定轴转动方程，当1、2角位移很小时，得到摆做微小振动的微分方程)(122112kamglml,)(122222kamglml用与前面类似的分析方法，得到系统的第一阶和第二阶固有频率为lgp1，2222mlkalgp系统的第一阶和第二阶主振型为11，12mgmgO1O2ka(2-1)21kalmma)b)7于是得到第一主振动)sin(11)1()1(1tp,)sin(11)1()1(2tp第二主振动)sin(22)2()2(1tp,)sin(22)2()2(2tp在任意初始条件下，系统振动的一般解)2(1)1(11)sin(11)1(tp)sin(22)2(tp)2(2)1(22)sin(11)1(tp)sin(22)2(tp如果初始条件是：t=0时，01)0(，0)0()0()0(212，代入上式得到0)2()1(21，221因此得到双摆作自由振动的规律)cos(cos22101tptp,)cos(cos22102tptp如果弹簧的刚度k很小，即222mlka＜＜lg这时21,pp相差很少，将上式写成tpptpp2cos2cos121201，tpptpp2sin2sin121202令12Δppp212pppa则上式为tptpacos2Δcos01,tptpasin2Δsin02这表明，两个摆的运动可以看作是频率为ap的简谐运动，但其振幅不是常数，而是缓慢变化的简谐函数tp2Δcos0和tp2Δsin0，这种现象称为拍振。pTBΔπ2称为拍的周期。由于pΔ较小，所以拍的周期一般较长。此外，两个拍振之间相位角差为2π，就是说，当t=0时，左边的摆以0开始摆动，右边的不动；随后，左边摆的振幅逐渐减小，右边摆的振8幅逐渐增大。当BTt21时，左边的摆停止，右边的摆达到0，再经过BT21，即BTt时，右边的摆停止，左边的摆达到0。这种循环，每隔一个拍振周期重复一次。可以看到，两个摆的动能也从一个摆传递到另一个摆，循环传递，使它们持续地振动。图5-6双摆拍振tt05.2cos05.0cos1,tt05.2sin05.0sin2的时间历程5.3坐标的耦联5.3.l耦联与非耦联如前所述，一般情况下两自由度系统的振动微分方程组的形式为00212211dxcxxbxaxx可见在质点m1和m2的运动方程式中，都含有坐标x1和x2。这表明，两个质点的运动不是互相独立的，它们彼此受另一个质点的运动的影响。像这样表示振动位移的两个以上坐标出现在同一个运动方程式中时，就称这些坐标之间存在静力耦联或弹性耦联。另外，与上式情况不同，当一个微分方程式中出现两个以上的加速度项时，称为在坐标之间有9动力耦联或惯性耦联。某个系统中是否存在耦联取决于用以表示运动的坐标的选择方法，而与系统本身的特性无关。一般说来，为了表示