第5章回归方程

1第5章回归方程的函数形式5.1如何度量弹性：对数线性模型5.2线性模型与对数线性模型的比较5.3多元对数线性回归模型5.4如何测度增长率：半对数模型5.5线性对数模型：解释变量是对数形式2第5章回归方程的函数形式5.6双曲线模型5.7多项式回归模型5.8不同函数形式小结5.9小结本章讨论以下几种回归模型：（1）双对数模型（2）半对数模型（3）倒数模型（4）多项式回归模型（5）过原点的回归模型35.1如何度量弹性：双对数线性模型数学分数与家庭收入：双对数（double-log)模型/对数线性(log-linear)模型对（5-5）式可变换为：)55...(lnln21tttuXBBY)65...(*21*tttuXBBY)15(2BiiAXY45.1如何度量弹性：对数线性模型若（5-6）式满足古典线性回归模型的基本假定，则用OLS估计方法得到BLUE。（5-6）式的重要特性：斜率B2度量了Y对X的弹性。X变动1%导致Y变动百分之B2双对数模型又称为不变弹性模型。对数线性模型的假设检验与一般线性模型相同。55.1如何度量弹性：对数线性模型弹性的定义：E=需求函数及其对数变形后的图形见图5-1a和图5-2b.YX*YX*XY100XX100YY%X%Y斜率的变动的变动65.1如何度量弹性：对数线性模型7例5.1数学成绩一例在（3-46）式中，我们给出了数学成绩函数，数学成绩和家庭收入之间是近似线性关系的，因为并非所有的样本点都恰好落在直线上。下面，我们看一下，如果用对数线性模型拟合表5-1给出的数据，情况又会怎样？图5-2描绘了（5-8）所表示的回归直线。双对数模型的假设检验就假设检验而言，线性模型与双对数模型并没有什么不同。8DependentVariable:LOG(Y)Method:LeastSquaresSample:110Includedobservations:10VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C4.8877130.15729231.074050LOG(X)0.1258050.0147848.5095340R-squared0.900513Meandependentvar6.221059AdjustedR-squared0.888077S.D.dependentvar0.130161S.E.ofregression0.043545Akaikeinfocriterion-3.25318Sumsquaredresid0.015169Schwarzcriterion-3.19266Loglikelihood18.26589F-statistic72.41217Durbin-Watsonstat1.573399Prob(F-statistic)0.00002895.2线性模型与对数线性模型的比较选择什么函数形式是一个经验型的问题。选择模型的规律：1）根据数据作图，判断模型形式（只适用于双变量情况）。2）不能仅仅根据选择模型。不是判定系数越大，方程越好。3）线性模型的弹性系数随着需求曲线上的点的不同而变化，而对数线性模型在需求曲线上任何一点的弹性系数都相同。2r105.3多元对数线性回归模型三变量对数模型：其中，又称为偏弹性系数。B2是Y对X2的弹性（X3保持不变）。B3是Y对X3的弹性（X2保持不变）。在多元对数线性模型中，每一个偏斜率系数度量了在其他变量保持不变的条件下，应变量对某一解释变量的偏弹性。2B)105(lnlnln...33221iiiiuXBXBBY3B11例5.2柯布-道格拉斯生产函数（P105）在模型（5-10）中，令Y表示产出，X2表示劳动投入，X3表示资本投入。这样，式（5-10）就是一个生产函数----反映产出与劳动力和资本投入之间的关系的函数，即柯布-道格拉斯函数（C-D函数）。表5-2给出了1955-1974年间墨西哥的产出Y，（GDP度量，以1960年不变价，单位为百万比索）、劳动投入X2（用总就业人数度量，单位为千人），资本投入X3（用固定资本度量，以1960年不变价，单位为百万比索）的数据。12例5.2柯布-道格拉斯生产函数13例5.2柯布-道格拉斯生产函数1415例5.2柯布-道格拉斯生产函数将（5-11）式中两个弹性系数相加，得到一个重要的经济参数-----规模报酬参数。它反映了产出对投入的比例变动。两个弹性系数和为1-----规模报酬不变。两个弹性系数和大于1-----规模报酬递增。两个弹性系数和小于1-----规模报酬递减。16例5.3对能源的需求（P107）表5-3给出了1960-1982年间7个OECD国家的总最终能源需求指数（Y）、实际GDP（X2）、实际能源价格（X3）的数据。所有指数均以1970年为基准（1970=100）。17例5.3对能源的需求18例5.3对能源的需求195.4如何测度增长率：半对数模型经济学家、企业家和政府部门都很关注经济变量的增长率。半对数模型又称为增长模型，通常我们用这类模型来测度许多变量的增长率。20例5.41975-2007年间美国人口增长率（P108）我们现在要求在此期间的美国人口增长率（Y）。复利计算公式：其中，Y0----Y的初始值Yt----第t期的Y值r-----Y的增长率（复利率）将（5-13）式变形，对等式两边取对数，得：)135(....................)1(0ttrYY)145........(..........)1ln(lnln0rtYYt21例5.41970-1999年间美国人口增长率（P108）现令因此，模型（5-14）可表示为：若引入随机误差项，得到：形如（5-18）的回归模型称为半对数模型。注意，在满足OLS基本假定的条件下，能够用OLS方法来估计模型（5-18）。根据表5-4提供的数据，得到如下回归结果：)155(ln....................................01YB)165.........(....................)1ln(2rB)175(ln2tBBYtt)185(ln21ttutBBY22DependentVariable:LOG(Y)Method:LeastSquaresSample:19752007Includedobservations:33VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C12.267080.0016147601.8010T0.0107488.28E-05129.77940R-squared0.998163Meandependentvar12.4498AdjustedR-squared0.998104S.D.dependentvar0.104024S.E.ofregression0.00453Akaikeinfocriterion-7.89747Sumsquaredresid0.000636Schwarzcriterion-7.80677Loglikelihood132.3082F-statistic16842.68Durbin-Watsonstat0.106187Prob(F-statistic)0235.4.1（瞬时）单利增长率与复利增长率由(5-16)式，b2=B2的估计值=ln(1+r)因此：antilog(b2)=(1+r)即：1+r=exp（b2）于是r=antilog(b2)-1即：r=exp（b2）-1=exp（0.0107）-1=1.0108=0.0108(r是复利增长率)b2是瞬时增长率，r是复合增长率。245.4.2线性趋势模型线性趋势模型：Yt=B1+B2t+ut(5-23)即Y对时间t的回归，其中t按时间先后顺序计算。时间t称为趋势变量。255.4.2线性趋势模型根据表5-4提供的数据，拟合的回归方程如下：t=(287.4376)(73.6450)r2=0.9943回归结果表明，在样本区间内，美国人口每年绝对增长为2.757（百万）。因此，在此期间，美国人口有一个向上的趋势。tYt7570.26731.209ˆ265.5线性对数模型：解释变量是对数形式线性对数模型（lin-logmodel)：应变量是线性形式而解释变量是对数形式。线性对数模型常用于研究解释变量每变动1%，相应应变量的绝对变化量的情形。27例5.5美国个人消费与服务支出间的关系（1970-2006年）（P111）假定联储很关注服务支出的变动对个人消费的影响。现考虑下面模型：其中，Y=个人消费，X=服务支出。与对数线性模型相比，对数线性模型中的应变量是对数形式，解释变量是线性形式。在解释线性对数模型之前，先给出模型（5-25）的回归结果：）（24-5ln221tttuXBBY28例5.5个人总消费支出与服务支出的关系（1976-2006年）29例5.5美国个人消费与服务支出间的关系（1970-2006年）（P111）t=(-13.71)(16.13)r2=0.881斜率系数1884度量了总消费支出的对数增加一个单位，服务支出的绝对变化。回顾一下：对数形式的变化称为相对变化。因此，模型（5-25）中的斜率度量了：式（5-26）也可写为：式（5-27）表明，Y的绝对变化量等于乘以的相对变化量。因而，若每变化0.01个单位（或1%），则Y的绝对改变量为0.01（B2）)255(ln22.18448.12564ˆttXY）（的相对变化量的绝对变化量2652XXYXYB)275(2XXBYXX305.6双曲线模型双曲函数模型：该模型的显著特征：随着X的无限增大，Y将逐渐接近B1渐进值（asymptoticvalue)或极限值。)285...(121iiiuXBBY315.6双曲线模型325.6双曲线模型在图5-3a中，若Y表示生产的平均固定成本（AFC），也即总固定成本除以产出，X代表产出，则根据经济理论，随着产出的不断增加，AFC将逐渐降低，最终接近其渐进线。图5-3b描绘了恩格尔消费曲线（Engelexpenditurecurve)：消费者对某一商品的支出占其总收入或总消费支出的比例。该商品有以下特征（1）收入有一个临界值（2）消费有一个满足水平。图5-3c描绘了菲利普斯曲线(Philipscurve)。Y表示英国货币工资变化的百分比，X表示失业率。33例5.61958-1969年美国的菲利普斯曲线（P113）34例5.61958-1969年美国的菲利普斯曲线模型（5-29）拟合了表5-6给出的数据，回归结果如下：t=(-0.2572)(4.3996)r2=0.6594图5-4a给出了该回归线。)295(15880.202594.0ˆttXY35例5.61958-1969年美国的菲利普斯曲线36例5.61958-1969年美国的菲利普斯曲线作为比较，我们给出根据相同数据得到的线性回归结果：t=(6.4625)(-3.2605)r2=0.5153比较这两个模型可以看出，双曲函数模型比线性模型更好地拟合了样本数据。需要根据具体情况选择合适的模型。经济理论对选择适当的模型有很大的帮助。)305(7883.00147.8ˆttXY37例5.7共同基金收取的咨询费表5-7给出了美国共同基金支付给投资顾问管理资产的费用。从图5-6可以看出，基金的净资产越高，咨询费就越低。因此选择模型如下：根据表5-7的数据，回归得到方程。)315()1(ˆ21iiXBBYDependentVariable:YMethod:LeastSquaresSampl