第5章积分变换与复变函数问题的计算机求解

高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)1/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:02第5章积分变换与复变函数问题的计算机求解Laplace变换及其反变换Fourier变换及其反变换其他积分变换问题及求解Z变换及其反变换复变函数问题的计算机求解差分方程的求解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)2/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:025.1Laplace变换及其反变换Laplace变换及反变换定义与性质Laplace变换的计算机求解数值Laplace变换高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)3/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:025.1.1Laplace变换及反变换定义与性质Laplace变换的数学描述Laplace变换的性质线性性质其中，a与b均为标量高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)4/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:02Laplace变换的性质时域平移性质:s-域平移性质:微分性质：n阶微分高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)5/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:02当所有的初值为0时，那么积分性质零初始条件：多重积分：初值性质高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)6/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:02终值性质如果没有的极点，卷积性质：其中卷积算子*的定义:高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)7/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:02其他性质：Laplace反变换:其中，s大于函数F(s)奇点的实部高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)8/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:025.1.2Laplace变换的计算机求解Laplace变换问题的求解步骤：定义符号变量t，在定义时域函数直接调用laplace()函数采用默认的t为时域变量用户指定时域变量v和复域变量名u高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)9/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:02调用pretty()函数或latex()函数对结果进行进一步处理Laplace反变换：函数调用格式：采用默认的为时域变量用户指定时域变量和复域变量名高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)10/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:02例5.1给定函数求它的Laplace变换MATLAB求解语句化简答案结果高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)11/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:02例5.2给定求它的Laplace变换对结果求反变换，看看能不能还原Laplace变换Laplace反变换高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)12/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:02例5.3求下列函数的Laplace反变换直接求解高精度数值解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)13/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:02例5.4给定推导和之间的关系和与两者之间的比较误差是什么？高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)14/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:02考虑到初值条件:回忆公式高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)15/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:02例5.5试推导出的微分公式MATLAB求解语句函数8阶导数的Laplace变换高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)16/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:02例5.6对求MATLAB求解语句：分子多项式合并同类项：结果：高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)17/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:025.1.3Laplace变换问题的数值求解为什么要研究数值求解原函数过于复杂，没有解析解无需解析表达式，得到图形即可时Laplace反变换数值解工具JurajValsa函数调用方法一般不建议给出otherpars，采用默认值注意，函数本身bug，初始时刻不能为0高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)18/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:02例5.7例5.3中的例子，现在求数值解前面的解析解（可读性差）可读性差的原因是代数方程没有解析解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)19/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:02数值求解参数对精度的影响运算速度高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)20/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:02复杂系统的输出计算系统框图用数值方法计算输出输出信号系统复杂，如分数阶系统，解析解不能求出输入为复杂信号，不能求其Laplace变换输入信号只给出数据点，没有函数高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)21/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:02例5.8不能求解析解的问题（分数阶模型）感兴趣区间解析解不存在（无穷级数）数值求解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)22/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:02输入信号的Laplace数值变换使用定义式数值积分求取MATLAB新版本的integral数值积分函数已知数据点，采用插值方法第8章详细介绍插值，这里用interp1函数高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)23/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:02系统输出数值求取的函数编写函数（利用INVLAP）高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)24/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:02接上页调用格式高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)25/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:02例5.9前面的系统输入信号求解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)26/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:02如果输入信号不知道函数，只已知数据假设数据点由前面函数以0.2为步距生成需要在积分中用插值方法得出输入计算量大，速度慢其他快速方法的探索？高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)27/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:025.2Fourier变换及其反变换Fourier变换及反变换定义与性质Fourier变换的计算机求解Fourier正弦和余弦变换离散Fourier正弦、余弦变换快速Fourier变换——数值方法高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)28/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:025.2.1Fourier变换及反变换定义与性质Fourier变换的定义：Fourier反变换的定义：高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)29/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:02Fourier变换的性质线性性质：其中a与b均为标量平移性质：复域平移性质：高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)30/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:02微分性质：n阶微分的Fourier变换积分性质n重积分的Fourier变换高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)31/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:02尺度变换性质卷积性质：高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)32/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:025.2.2Fourier变换的计算机求解Fourier变换的函数调用格式按默认变量进行Fourier变换将的函数变换成的函数高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)33/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:02Fourier反变换的函数调用格式按默认变量进行Fourier反变换将的函数变换成的函数高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)34/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:02例5.10给定写出该函数的Fourier变换式Fourier变换Heaviside函数、手工化简Fourier反变换高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)35/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:02例5.11给定试求出其Fourier变换Fourier变换手工化简结果：高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)36/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:02例5.12给定，求Fourier变换数学手册结果使用fourier()命令高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)37/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:02使用直接积分方法注意：MATLAB不是对任一个函数都能求其Fourier变换的高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)38/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:025.2.3Fourier正弦和余弦变换Fourier正弦正反变换的一般定义为Fourier余弦正反变换的一般定义为高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)39/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:02求解Fourier正弦正反变换求解Fourier余弦正反变换早期版本还直接调用Maple中的函数高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)40/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:02例5.13给定试求出其余弦Fourier变换MATLAB求解命令高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide1(of132)41/13012/19/2019星期六,2008-9-6,13:09:02例5.13给定用Maple中的函数求其Fourier余弦变换和Four