第5章非平稳序列的随机分析

第五章非平稳序列的随机分析本章结构差分运算ARIMA模型Auto-Regressive模型异方差的性质方差齐性变化条件异方差模型5.1差分运算差分运算的实质差分方式的选择过差分差分运算的实质差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方法Cramer分解定理在理论上保证了适当阶数的差分一定可以充分提取确定性信息差分运算的实质是使用自回归的方式提取确定性信息diitiditdtdxCxBx0)1()1(差分方式的选择序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分就可以实现趋势平稳序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶或三阶）差分就可以提取出曲线趋势的影响对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期长度的差分运算，通常可以较好地提取周期信息例5.1【例1.1】1964年——1999年中国纱年产量序列蕴含着一个近似线性的递增趋势。对该序列进行一阶差分运算考察差分运算对该序列线性趋势信息的提取作用1tttxxx差分前后时序图原序列时序图差分后序列时序图例5.2尝试提取1950年——1999年北京市民用车辆拥有量序列的确定性信息差分后序列时序图一阶差分二阶差分例5.3差分运算提取1962年1月——1975年12月平均每头奶牛的月产奶量序列中的确定性信息差分后序列时序图一阶差分1阶－12步差分过差分足够多次的差分运算可以充分地提取原序列中的非平稳确定性信息但过度的差分会造成有用信息的浪费例5.4假设序列如下考察一阶差分后序列和二阶差分序列的平稳性与方差ttatx10比较一阶差分平稳方差小二阶差分（过差分）平稳方差大111tttttaaxxx21122ttttttaaaxxx212)()(tttaaVarxVar22126)2()(ttttaaaVarxVar5.2ARIMA模型ARIMA模型结构ARIMA模型性质ARIMA模型建模ARIMA模型预测疏系数模型季节模型ARIMA模型结构使用场合差分平稳序列拟合模型结构tsExtsEVarEBxBtsstttttd,0,0)(,)(0)()()(2，ARIMA模型族d=0ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)P=0ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)q=0ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)d=1,P=q=0ARIMA(P,d,q)=randomwalkmodel随机游走模型(randomwalk)模型结构模型产生典故KarlPearson(1905)在《自然》杂志上提问：假如有个醉汉醉得非常严重，完全丧失方向感，把他放在荒郊野外，一段时间之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？tsExtsEVarExxtsstttttt,0,0)(,)(0)(21，ARIMA模型的平稳性ARIMA(p,d,q)模型共有p+d个特征根，其中p个在单位圆内，d个在单位圆上。所以当时ARIMA(p,d,q)模型非平稳。例5.5ARIMA(0,1,0)时序图0dARIMA模型的方差齐性时，原序列方差非齐性d阶差分后，差分后序列方差齐性0d2110)()()0,1,0(txVarxVarARIMAttt模型2)()()0,1,0(ttVarxVarARIMA模型ARIMA模型建模步骤获得观察值序列平稳性检验差分运算YN白噪声检验Y分析结束N拟合ARMA模型例5.6对1952年——1988年中国农业实际国民收入指数序列建模一阶差分序列时序图一阶差分序列自相关图一阶差分后序列白噪声检验延迟阶数统计量P值615.330.01781218.330.10601824.660.13442拟合ARMA模型偏自相关图建模定阶ARIMA(0,1,1)参数估计模型检验模型显著参数显著ttBxB)70766.01(99661.4)1(48763.56)(tVarARIMA模型预测原则最小均方误差预测原理Green函数递推公式jdpjdpjj1122112111预测值)()(111111tltltlltltltx)(let)(ˆlxt22121)1()]([0)]([lttleVarleE例5.7已知ARIMA(1,1,1)模型为且求的95％的置信区间ttBxBB)6.01()1)(8.01(5.41tx3.5tx8.0t123tx预测值等价形式计算预测值69.5)1(ˆ8.0)2(ˆ8.1)3(ˆ59.58.0)1(ˆ8.1)2(ˆ46.56.08.08.1)1(ˆ1ttttttttttxxxxxxxxx12126.08.08.1)6.01()8.08.11(tttttttxxxBxBB计算置信区间Green函数值方差95％置信区间36.18.08.12.16.08.11212896.4)1()]3([22221eVar)75.9,63.1()))3((96.1)3(ˆ,))3((96.1)3(ˆ(eVarxeVarxtt例5.6续：对中国农业实际国民收入指数序列做为期10年的预测疏系数模型ARIMA(p,d,q)模型是指d阶差分后自相关最高阶数为p，移动平均最高阶数为q的模型，通常它包含p+q个独立的未知系数：如果该模型中有部分自相关系数或部分移动平滑系数为零，即原模型中有部分系数省缺了，那么该模型称为疏系数模型。qp,,,,,11pjj1,qkk1,疏系数模型类型如果只是自相关部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为为非零自相关系数的阶数如果只是移动平滑部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为为非零移动平均系数的阶数如果自相关和移动平滑部分都有省缺，可以简记为),),,,((1qdppARIMAm)),,(,,(1nqqdpARIMA)),,(,),,,((11nmqqdppARIMAmpp,,1nqq,,1例5.8对1917年－1975年美国23岁妇女每万人生育率序列建模一阶差分自相关图偏自相关图建模定阶ARIMA((1,4),1,0)参数估计模型检验模型显著参数显著ttBBxB433597.026633.011)1(季节模型简单季节模型乘积季节模型简单季节模型简单季节模型是指序列中的季节效应和其它效应之间是加法关系简单季节模型通过简单的趋势差分、季节差分之后序列即可转化为平稳，它的模型结构通常如下ttttITSxttdDBBx)()(例5.9拟合1962——1991年德国工人季度失业率序列差分平稳对原序列作一阶差分消除趋势，再作4步差分消除季节效应的影响，差分后序列的时序图如下白噪声检验延迟阶数统计量P值643.840.00011251.710.00011854.480.00012差分后序列自相关图差分后序列偏自相关图模型拟合定阶ARIMA((1,4),(1,4),0)参数估计ttBBxBB4428132.044746.011)1)(1(模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟阶数统计量P值待估参数统计量P值62.090.71915.480.00011210.990.3584-3.410.00012t41拟合效果图乘积季节模型使用场合序列的季节效应、长期趋势效应和随机波动之间有着复杂地相互关联性，简单的季节模型不能充分地提取其中的相关关系构造原理短期相关性用低阶ARMA(p,q)模型提取季节相关性用以周期步长S为单位的ARMA(P,Q)模型提取假设短期相关和季节效应之间具有乘积关系，模型结构如下tSStDSdBBBBx)()()()(例5.10:拟合1948——1981年美国女性月度失业率序列差分平稳一阶、12步差分差分后序列自相关图差分后序列偏自相关图简单季节模型拟合结果延迟阶数拟合模型残差白噪声检验AR(1,12)MA(1,2,12)ARMA((1,12),(1,12)值P值值P值值P值614.580.00579.50.023315.770.00041216.420.088314.190.115817.990.0213结果拟合模型均不显著222乘积季节模型拟合模型定阶ARIMA(1,1,1)×(0,1,1)12参数估计ttBBBx)77394.01(78978.0166137.011212模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟阶数统计量P值待估参数统计量P值64.500.2120-4.660.0001129.420.400223.030.00011820.580.1507-6.810.0001结果模型显著参数均显著221121乘积季节模型拟合效果图5.3Auto-Regressive模型构造思想首先通过确定性因素分解方法提取序列中主要的确定性信息然后对残差序列拟合自回归模型，以便充分提取相关信息ttttSTxtptptta11Auto-Regressive模型结构1,0),(,)(,0)(211iaaCovaVaraEaSTxitttttptptttttt对趋势效应的常用拟合方法自变量为时间t的幂函数自变量为历史观察值tkktttT10tktkttxxT110对季节效应的常用拟合方法给定季节指数建立季节自回归模型ttSSlmtlmttxxT10例5.6续使用Auto-Regressive模型分析1952年－1988年中国农业实际国民收入指数序列。时序图显示该序列有显著的线性递增趋势，但没有季节效应，所以考虑建立如下结构的Auto-Regressive模型1,0),(,)(,0)(,3,2,1,211iaaCovaVaraEatTxitttttptpttttt趋势拟合方法一：变量为时间t的幂函数方法二：变量为一阶延迟序列值1tx,3,2,1,5158.41491.66ttTt,3,2,1,0365.1ˆ1txxtt趋势拟合效果图残差自相关检验检验原理回归模型拟合充分，残差的性质回归模型拟合得不充分，残差的性质1,0),(jEjtt1,0),(jEjttDurbin-Waston检验（DW检验）假设条件原假设：残差序列不存在一阶自相关性备择假设：残差序列存在一阶自相关性0:0),(:010HEHtt111:(,)0:0ttHEHDW统计量构造统计量DW统计量和自相关系数的关系nttntttDW12221)(12DWDW统计量的判定结果正相关相关性待定不相关相关性待定负相关04LdUd2Ld4Ud4例5.6续检验第一个确定性趋势模型残差序列的自相关性。,3,2,1,5158.41491.66ttxttDW检验结果检验结果检验结论检验结果显示残差序列高度正自相关。DW统计量的值P值0.13781.421.530.0001LdUdDurbinh检验DW统计量的缺陷当回归因子包含延迟因变量时，残差序列的DW统计量是一个有偏统计量。在这种场合下使用DW统计量容易产生残差序