第5讲插值与拟合方法

第五章插值与拟合方法32019年12月18日一般插值方法；样条函数与样条插值方法；磨光法与B样条函数；最小二乘拟合方法；应用案例分析与应用练习．42019年12月18日1.一般问题的提出实际中不知道函数)(xfy的具体表达式，由实验测量对于ixx有值),,2,1,0(niyyi，寻求另一函数)(x使满足：)()(iiixfyx。此问题称为插值问题，并称)(x为)(xf的插值函数；nxxxx,,,,210称为插值节点；),,2,1,0()(niyxii称为插值条件，即)()(iiixfyx，且)()(xfx。一、一般插值方法52019年12月18日设函数)(xfy在1n个相异点nxxxx,,,,210上的值为nyyyy,,,,210，要求一个次数≤n的代数多项式nnnxaxaxaaxP2210)(２.Lagrange插值公式使在节点ix上成立),,2,1,0()(niyxPiin，称此为n次代数插值问题，)(xPn称为插值多项式。可以证明n次代数插值是唯一的。一、一般插值方法62019年12月18日事实上:可以得到jnjniijinyxxxxxPji00)()(当1n时，有二点一次（线性）插值多项式：101001011)(yxxxxyxxxxxP当n=2时，有三点二次（抛物线）插值多项式：2120210121012002010212))(())(())(())(())(())(()(yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxP另外还有著名的Newton插值和Hermite插值等。２.Lagrange插值公式一、一般插值方法二、样条函数与样条插值定义:设给定区间],[ba的一个分划bxxxan10:，如果函数)(xs满足条件：1.样条函数的概念1)在每个子区间),,2,1](,[1nixxii上是k次多项式；2))(xs及直到k-1阶的导数在],[ba上连续。则称)(xs是关于分划△的一个k次多项式样条函数，nxxx,,,10称为样条节点，121,,,nxxx称为内节点，nxx,0称为边界节点，全体记作),(kSP，称为k次样条函数空间。72019年12月18日若),()(kSxsP，则)(xs是关于△的k次多项式样条函数。一般形式为：kjnjkjjjjkxxkjxxs011)(!!)(其中jjkjkjxxxxxxxx,0,)()(，j和j均为任意常数。82019年12月18日1.样条函数的概念类似地有三次样条：)3,()(!3!3!2)(1133322103PnjjjSxxxxxxs二次样条：对于],[ba上的分划bxxxan10:,则)2,()(!2!2)(11222102PnjjjSxxxxxs其中jjjjxxxxxxxx,0,)()(2292019年12月18日1.样条函数的概念2.样条函数插值（1）二次样条插值:二次样条函数)(2xs可分为两类插值问题：1).给定插值节点ix和相应的函数值),,2,1,0(niyi，以及端点0x(或nx)处的导数值0'y(或ny')，求)2,()(2PSxs使得)')('(')('),,2,1,0()(20022nniiyxsyxsniyxs或102019年12月18日二、样条函数与样条插值2.样条函数插值（1）二次样条插值:二次样条函数)(2xs可分为两类插值问题：2).给定插值节点ix和相应的导数值),,2,1,0(niyi，以及端点0x(或nx)处的函数值0y(或ny)，求)2,()(2PSxs使得))(()(),,2,1,0(')('20022nniiyxsyxsniyxs或112019年12月18日二、样条函数与样条插值确定三次样条)(3xs可有三类问题：1).求)3,()(3PSxs使满足条件：内点条件：3()(1,2,,1)iisxyin边界条件：),0(')(',)(33njyxsyxsjjjj2).求)3,()(3PSxs使满足条件：内点条件：3()(1,2,,1)iisxyin边界条件：),0('')('',)(33njyxsyxsjjjj122019年12月18日(2)三次样条插值3).求)3,()(3PSxs使满足条件：内点条件：)1,,2,1()(3niyxsii边界条件：3003()()3030(),()(0)(0)(0,1,2)nnkksxysxysxsxk132019年12月18日(2)三次样条插值三、Ｂ样条函数插值1.等距Ｂ样条函数对于任意)(xf定义步长为１的中心差分算子δ：)21()21()(xfxfxf，则000)21()21(xxx是一个单位方波函数，记00)(xx，o-1/2O1/2x)(0x142019年12月18日对)(0x进行磨光：)1(2)1(2121)()(1100212100212101xxxdttdttdtttdttxxxxxxxxx-1o1x1)(1x类似地可得:kkjjkjkjkxkCx21!)1()(101152019年12月18日1.等距Ｂ样条函数可以证明：)(xk是分段k次多项式，且具有1k阶连续导数，其k阶导数的间断点为)1,,2,1,0(21kjkjxj，则)(xk是对应于110:kxxx的k次多项式样条函数。称其为基本样条函数，简称为k次Ｂ样条。162019年12月18日1.等距Ｂ样条函数由归纳法可证明：)(xf的k次磨光函数可以表示为22)()(1)(1,hxthxdttfhtxhxfkhk样条节点为)1,,2,1,0(21kjkjxj，即节点是等距的，故)(xk又称为等距Ｂ样条函数。172019年12月18日1.等距Ｂ样条函数三、Ｂ样条函数插值2.一维等距Ｂ样条函数设已知曲线上一组点,jjxy，其中ihxxi0(0,0,1,2,,)hjn，则相应的样条磨光曲线为10()nkjkjkxxsxcjh最常用的是2k或３的情况，此时既有较好的精度，又有良好的保凸性。该样条也可用于近似均匀分划的情形，可能在0x和nx处误差大。为保证在0x，nx处的精度，可适当向左右延拓几个节点。182019年12月18日三、Ｂ样条函数插值3.二维等距Ｂ样条函数如果已知双参数曲面),(yxfz，且对于二维等距节点jyihxyxii00,,)0,(h上的值为),,2,1,0;,,2,1,0(mjnizij，则有磨光曲面为：1100(,)nmijklikjlxxyysxycijh其中lk,可以不同，常用的也是3,2,lk的情形，是一种具有良好保凸性的光滑曲面。192019年12月18日202019年12月18日已知某函数)(xfy的一组测试数据),,2,1)(,(niyxii，要寻求一个函数)(x，使)(x对上述测试数据的误差较小，则)()(xfx。。。。。。。。。。xyo)()(xfxy),,2,1)(,(niyxii四.数据拟合方法1．数据拟合问题的一般提法２．线性最小二乘拟合问题设给定一组数据),,2,1)(,(niyxii和正数),,2,1(niwi，求一广义多项式mkkkxax0)()(使得目标函数21)(niiiiyxwS达到最小，则称)(x为数据),(iiyx),,2,1(ni关于权系数),,2,1(niwi的最小二乘拟合函数.由于)(x关于待定系数ia是线性的，故此问题又称为线性最小二乘问题。四.数据拟合方法212019年12月18日３．正规方程组要求210)(niimkikkiyxawS的最小值，则0kaS，实际中由正规方程组解出maaaa,,,,210，则得mkkkxax0)()(。亦即),,2,1,0()()()(101mkxywaxxwniikiijmjniikiji是未知量为maaaa,,,,210的线性方程组，称为正规方程组。四.数据拟合方法222019年12月18日４．一般线性最小二乘拟合问题设),,,(21nxxxfy的一组数据),,,,(21iniiiyxxx),,2,1(mi和一组线性无关的函数Nknkxxx021),,,(，对于一组正数m，使得2021),,,(miniiiiixxxywS达到最小。其中Naaaa,,,,210由正规方程组确定。求函数Njnjjnxxxaxxx02121),,,(),,,(四.数据拟合方法232019年12月18日正规方程组为),,2,1,0(),(),(0NkyaNjkjkj此处iniiikmiikniiikminiiijikjyxxxwyxxxxxxw),,,(),(),,,(),,,(),(21121121四.数据拟合方法242019年12月18日４．一般线性最小二乘拟合问题５．非线性最小二乘拟合设),,,(21nxxxfy的一组数据),,,,(21iniiiyxxx),,2,1(mi，要求一个关于),,2,1,0(Njaj的函数),,,;,,,(1021Nnaaaxxx,对一组正数m使得函数21102110),,,;,,,(),,,(miNniiiiiNaaaxxxywaaaS达到最小，则称为非线性最小二乘问题，是一个非线性函数的极小化问题。四.数据拟合方法252019年12月18日xi123456789yi1.782.242.743.744.455.316.928.8510.97近年来我国的电信事业发展迅速，现已成世界第一电信大国。据统计某市的在过去近９年中通信工具的拥有量如下表（单位为万台）：试研究该市通信工具的发展规律)(xfy。262019年12月18日应用案例1：通信工具的发展趋势问题的提出：272019年12月18日解将数据描点如图：类似于指数函数的图形，不妨设bxaey，用线性方法求解xaabxay10lnln，对应的数据有：Oxy..........246810108642.........应用案例1：通信工具的发展趋势xi123456789lnyi0.2500.3500.4380.5730.6480.7250.8400.9471.040取函数：91210lniiiyxaaS正规方程组为919110919110ln)(ln)(iiiiiiiiiiyxxxaayxaaOxlny..........246810.........1.00.80.60.40.2即962.3428545811.54591010aaaa，则09845.