第6章弯曲应力.

(StressesinBeams)(StressesinBeams)§6–1引言§6–2纯弯曲时的正应力§6–3横力弯曲时的正应力§6–4梁的切应力及强度条件第六章弯曲应力§6–5提高梁强度的主要措施(StressesinBeams)mmFSM一、弯曲构件横截面上的应力当梁上有横向外力作用时,一般情况下,梁的横截面上既又弯矩M,又有剪力FS.§6–1引言mmFSmmM弯矩M正应力只有与正应力有关的法向内力元素dFN=dA才能合成弯矩剪力FS切应力内力只有与切应力有关的切向内力元素dFS=dA才能合成剪力所以,在梁的横截面上一般既有正应力，又有切应力(StressesinBeams)三、分析方法平面弯曲时横截面纯弯曲梁(横截面上只有M而无FS的情况)平面弯曲时横截面横力弯曲(横截面上既有FS又有M的情况)简支梁CD段任一横截面上,剪力等于零,而弯矩为常量,所以该段梁的弯曲就是纯弯曲；AC、DB段横力弯曲。若梁在某段内各横截面的弯矩为常量,剪力为零,则该段梁的弯曲就称为纯弯曲，既有剪力又有弯矩就是横力弯曲。二、纯弯曲与横力弯曲FFaaCD++FF+F.a图6-1AB(StressesinBeams)Fig6-1纯弯曲与横力弯曲FFaaCD++FF+F.aAB(StressesinBeams)变形几何关系物理关系静力关系观察变形，提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式§6–2纯弯曲时的正应力(StressesinBeams)一、实验1、变形现象(StressesinBeams)试验现象横线仍为直线，仍与纵线正交靠顶部纵线缩短，靠底部纵线伸长纵线伸长区，截面宽度减小,纵线缩短区，截面宽度增大弯曲假设横截面变形后仍保持平面,仍与纵线正交－弯曲平面假设各纵向”纤维”,处于单向受力状态－单向受力假设（纯弯与正弯矩作用）(StressesinBeams)推论梁内存在一长度不变的过渡层－中性层横截面间绕中性轴相对转动中性轴⊥截面纵向对称轴(StressesinBeams)观察变形提出假设变形的分布规律变形几何关系物理关系静力关系应力的分布规律建立公式实验平面假设单向受力假设中性层、中性轴(StressesinBeams)dx图（b）yzxo应变分布规律直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比图（a）dx二、变形几何关系图（c）dzyxo’o’b’b’ybboo''bb()dyxbbdoo''oodyyddd)((StressesinBeams)三、物理关系所以Hooke’sLawMyzOx直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比应力分布规律?待解决问题中性轴的位置中性层的曲率半径ρ??EyE(StressesinBeams)观察变形提出假设变形的分布规律变形几何关系物理关系静力关系应力的分布规律建立公式实验平面假设单向受力假设中性层、中性轴y(StressesinBeams)yzxOMdAyσdA四、静力关系横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系这一力系简化，得到三个内力分量中性层的曲率半径ρ中性轴的位置待解决问题FNMzMy内力与外力相平衡可得dAdAdAzyAAAFddNNFyMzMAAyAzMddAAzAyMdd0(1)0(2)M(3)NdFyMdzMd(StressesinBeams)将应力表达式代入(1)式，得将应力表达式代入(2)式，得将应力表达式代入(3)式，得中性轴通过横截面形心zIEM1自然满足0dNAyEFA0dAAyE0dAAyzS0dAyzEMAy0dAAyzE0dAAyzyzIMAyyEMAzdMIEzMAyEAd2(StressesinBeams)观察变形提出假设变形的分布规律变形几何关系物理关系静力关系应力的分布规律建立公式实验平面假设单向受力假设中性层、中性轴中性轴过横截面形心EIz称为抗弯刚度(Flexuralrigidity)zEIM1yEyzIMy(StressesinBeams)纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:zIMyM为梁横截面上的弯矩y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩讨论(1)应用公式时,一般将M,y以绝对值代入.根据梁变形的情况直接判断的正负号.以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力(为正号).凹入边的应力为压应力(为负号).(2)最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处IyMzmaxmax则公式改写为WMmax引用记号——抗弯截面系数maxyIWz(StressesinBeams)（1）当中性轴为对称轴时矩形截面实心圆截面空心圆截面bhzyzdyzDdy322/64/2/34ddddIWz62/12/2/23bhhbhhIWzDdαDW)1(3243(StressesinBeams)zy（2）对于中性轴不是对称轴的横截面ycmaxytmaxM应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离和直接代入公式求得相应的最大正应力ytmaxycmaxzIMyσmaxcσmaxtIMyσzccmaxmaxIMyσzttmaxmax(StressesinBeams)一些易混淆的概念平面弯曲－对称截面梁，在纵向对称面承受横向外力时的受力与变形形式纯弯曲－梁或梁段各横截面的剪力为零弯矩为常数的受力状态中性轴－横截面受拉与受压区的分界线形心轴－通过横截面形心的坐标轴弯曲刚度EI－代表梁截面抵抗弯曲变形的能力抗弯截面系数Wz－代表梁截面几何性质对弯曲强度的影响中性轴与形心轴平面弯曲与纯弯曲截面弯曲刚度与抗弯截面系数(StressesinBeams)例1梁用№18工字钢制成,Me=20kN•m,E=200GPa。计算：最大弯曲正应力max,梁轴曲率半径解：1.工字钢一种规范化、系列化的工字形截面的标准钢材（GB706-88）45m1066.1zI34m1085.1zW№18工字钢：(StressesinBeams)2.应力计算3.变形计算mkN0.20eMMMe=20kN•m，E=200GPa，求max与45m1066.1zI34m1085.1zWMPa1.108maxzWMzEIM1m166MEIz(StressesinBeams)课堂讨论：纯弯曲梁横截面为什么是平截面？作业布置：P129习题6.1.3(StressesinBeams)当梁上有横向力作用时,横截面上既又弯矩又有剪力.梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲。横力弯曲时,梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力使横截面发生翘曲,横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力,纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立.一、横力弯曲虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异,但进一步的分析表明,工程中常用的梁,纯弯曲时的正应力计算公式,可以精确的计算横力弯曲时横截面上的正应力.等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为WxMz)(§6–3横力弯曲时的正应力(StressesinBeams)二、公式的应用范围1、在弹性范围内3、平面弯曲4、直梁2、具有切应力的梁5hl三、强度条件：梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力1、数学表达式][maxmaxWM(StressesinBeams)2、强度条件的应用][maxMW(2)设计截面][maxWM(3)确定许可载荷(1)强度校核][maxWM对于铸铁等脆性材料制成的梁,由于材料的][][ct且梁横截面的中性轴一般也不是对称轴,所以梁的maxmaxct(两者有时并不发生在同一横截面上)要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力][maxtt][maxcc(StressesinBeams)例题2螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长3a＝150mm，压板材料的弯曲许用应力[σ]＝140MP.试计算压板传给工件的最大允许压紧力F.ACBFa2a20φ30φ14FRAFRB+Fa解(1)作出弯矩图的最大弯矩为Fa(2)求惯性矩，抗弯截面系数cm07.112)cm2)(cm4.1(12)cm2)(cm3(33zIcm07.11cmcm07.14maxyIWzz(3)求许可载荷][maxzWMkN3][][aWFWFazz(StressesinBeams)80y1y22020120z例题3T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示.铸铁的抗拉许用应力为[t]=30MPa,抗压许用应力为[c]=160MPa.已知截面对形心轴Z的惯性矩为Iz=763cm4,y1=52mm,校核梁的强度.F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m(StressesinBeams)RARBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m-+4kN2.5kN解kN52.RAkN510.RB最大正弯矩在截面C上最大负弯矩在截面B上mkN5.2MCmkN4MBB截面][MPa2.271maxtzBtIyM][MPa2.462maxczBcIyMC截面][MPa8.282maxtzCtIyM80y1y22020120z(StressesinBeams)例4.图示矩形截面简支梁，材料容许应力[σ]＝10MPa，已知q＝4KN/m，若采用截面高宽比为h/b＝5/3，试求梁横截面尺寸h和b？解：作梁的弯矩图，+82qll/2弯矩的极值822maxqlMMlx=8KN.m(StressesinBeams)463max1081010108MWZ621223maxbhhbhyIWZZ43108542535bWbhz12.0251085434bm3∵m3m=12mm∴h=20mm(StressesinBeams)一、梁横截面上的剪应力1、矩形截面梁§6–4梁的切应力及强度条件（1）两个假设(a)剪应力与剪力平行；(b)剪应力沿截面宽度均匀分布(即矩中性轴等距离处剪应力相等)(StressesinBeams)mnnmxyzobdxm’m’hn(2)分析方法(a)用横截面m-m,n-n从梁中截取dx一段.两横截面上的弯矩不等.所以两截面同一y处的正应力也不等.(b)假想地从梁段上截出体积元素mB1在两端面mA1,nB1上两个法向内力不等.ABB1A1mnxzyym’q(x)F1F2mmnnxdxyABA1B1FN2FN1(StressesinBeams)mnnmxyzoyABA1B1bdxm’m’hnττ’(c)在纵截面上必有沿x方向的切向内力dFs’.故在此面上就有切应力τABB1A1mnxzyym’FN1FN2dFS’根据假设横截面上距中性轴等远的各点处剪应力大小相等.各点的剪应力方向均与截面侧边平行.取分离体的平衡即可求出.(StressesinBeams)ABB1A1mnxzyym’FN1FN2dFS’(3)公式推导假设m-m,n-n上的弯矩为M和M+dM.两截面上距中性轴y1处的正应力为1和2.A*为距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积*d11NAAFAyIMAIMyAzAzdd**11*zzSIM*22Ndd*zzASIMMAF式中：为面积A*对中性轴的静矩.*d1*AzAySAd1(StressesinBeams)化简后得*1NzzSIMF*2NdzzSIMMFxbFdd''S由平衡方程0xF0d'S1N2NFFFbISxMzz*ddSddFxMbISFzzS*`ABB1A1mnxzyym’FN1FN2dFS’Ad1(StressesinBeams)b矩型截面的宽度bISFzzS*yA*z整个横截面对中性轴的