第6章插值与逼近

要解决的问题：构造出既能反映f(x)的特征、又比较简单的函数来代替f(x)。第6章插值与逼近(Interpolationandapproximation)方法：插值法和拟合。),,,()(niyxii10设函数在区间上有定义，且已知在点)(xfy],[ba上的值，bxxxan10nyyy,,,10函数，)(x若存在一简单使称为插值节点（interpolationnode），包含节点的区间[a,b]称为插值区间（interpolationinterval），求插值函数的方法称为插值法.成立，就称为的插值函数(Interpolationfunction)，点)(x)(xfnxxx,,,10)(x只讨论插值函数为代数多项式的情形，即插值01()(),nnnxPxaaxax从几何上看，代数插值法就是确定曲线，使其通过给定的个点，并用它近似已知曲线.)(xPyn1nniyxii,,1,0),,()(xfy多项式插值的几何意义定理1在次数不超过的多项式集合中，满足插值条件的插值多项式是存在而且惟一的.n)(xPn注：该定理表明用什么方法求出的插值多项式结果都是一样的。1100)()(yxlyxl线性插值已知(x0,y0),(x1,y1)，求满足插值条件L1(x0)=y0,L1(x1)=y1的插值多项式L1(x).)()(0010101xxxxyyyxL变形：010010101))(()()(xxxxyyxxyxL10100101yxxxxyxxxx插值基函数0x1x)(1xl)(0xl1010特点:假定插值节点为，，，要求二次插值多项式2x1x0x),(2xL).2,1,0()(2jyxLjj几何上是通过三点的抛物线.)(2xL),(),,(),,(221100yxyxyx可以用基函数的方法求的表达式，)(2xL);,(,)(,)(2101000jxlxlj);2,0(,0)(,1)(111jxlxlj).1,0(,0)(,1)(222jxlxlj使它满足),(0xl),(1xl)(2xl是二次函数，且在节点上满足条件此时基函数二次插值多项式利用，，，)(0xl)(1xl)(2xl).()()()(2211002xlyxlyxlyxL显然，将,，代入上式,)(0xl)(1xl)(2xl))(())(()(20102102xxxxxxxxyxL))(())((2101201xxxxxxxxy.))(())((1202102xxxxxxxxy立即得到二次插值多项式).2,1,0()(2jyxLjj它满足条件得拉格朗日插值多项式将前面的方法推广到一般情形，讨论如何构造通过个节点的次插值多项式.1nnxxx10n)(xLn).,,,()(njyxLjjn10根据插值的定义应满足)(xLn),,,,(.,;,)(nkjjkjkxlkj1001就称这个次多项式为节点1nn)(,),(),(xlxlxln10上的次插值基函数.nxxx,,,10n插值基函数)())(()()())(()()(nkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxl110110).,,1,0(nk于是，满足插值条件的拉格朗日插值多项式可表示为)(xLn.)()(nkkknxlyxL0优点：形式对称，便于记忆，便于应用和编程。牛顿插值问题：利用插值基函数得到的拉格朗日插值多项式有何优缺点？优点：结构紧凑，便于理论分析，易于编程求解。缺点：当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化.问题：如何改进？))(()()(102010xxxxaxxaaxPn),()(10nnxxxxa（3.1）其中为待定系数，naaa,,10),,1,0()(njfxPjjn确定.为了克服这一缺点，可把插值多项式表示为如下便于计算的形式:可由个插值条件1n],,,,[],,,[],,[],[)(],,,[],,[],[)(],,[],[)(],[)()()(124321043214324344321032132332102122101100xxxxxfxxxxfxxxfxxfxfxxxxxfxxxfxxfxfxxxxfxxfxfxxxfxfxxfxxfxkk商四阶差商三阶差二阶差商一阶差商表差商计算可列差商表如下（表2-1）.差商表)](,[)()(0100xxxxfxfxNn))(](,,[10210xxxxxxxf),()](,,,[1010nnxxxxxxxf牛顿插值多项式显然，由前式确定的多项式满足插值条件，)(xNn且次数不超过，n).,,,(],,,[nkxxfakk100其系数为它就是形如（3.1）的多项式，,kkkfff1,1kkkfff,)/()/(212122kkkkkffhxfhxff分别称为在处以为步长的向前差分，向后差分)(xfkxh及中心差分.符号，，分别称为向前差分算子，向后差分算子及中心差分算子.差分多项式设函数在等距节点上的值为已知，这里为常数，称为步长.)(xfy),,1,0(0nkkhxxk)(kkxffh利用一阶差分可定义二阶差分为.kkkkkkffffff12122一般地可定义阶差分为m.kmkmkmfff111.111kmkmkmfff020000()()(1)(1)(1)1!2!!nnnNxNxthttttttnffffn称公式Newton向前差分插值公式这里的t=(x-x0/h).利用这些性质,可将Newton公式进一步简化为分段线性和二次插值，收敛性好，但光滑性不够理想。为了得到光滑度更高的插值函数，引入样条插值函数。在数学上，它表现为近似于一条分段的三次多项式，它要求在节点处具有一阶和二阶连续导数。三次样条插值上是三次多项式，其中是给定节点，bxxxan10若函数且在每个小区间],,[)(baCxS2],[1jjxx则称是节点上的三次样条函数.)(xSnxxx,,,10若在节点上给定函数值jx),,,1,0)((njxfyjjjjyxS)(),,,1,0(nj（1）则称为三次样条插值函数.)(xS定义1并成立三次样条函数的概念),0()0(jjxSxS由于在上二阶导数连续，所以在节点)(xS],[ba)1,,2,1(njxj处应满足连续性条件),0()0(jjxSxS这些共有个条件，再加上本身还要满足的个插值条件，共有个条件，)(xS33n24n1n).0()0(jjxSxS（2）通常可在区间端点上各加一个条件],[banxbxa,0给定函数节点,55,11)(2xxxf),10,,1,0(5kkxk用三次样条插值求).(10xS取)()(10kkxfxS),5()5(),10,,1,0(10fSk).5()5(10fS直接上机计算可求出在表2-6所列各点的值.)(10xS例25376.013971.013793.05.20000.10000.10000.1019837.011366.011312.08.294090.092754.091743.03.010000.010000.010000.00.384340.082051.080000.05.010832.008426.008410.03.364316.062420.060976.08.022620.007606.007547.05.350000.050000.050000.00.120130.006556.006477.08.331650.036133.037175.03.105882.005882.005882.00.423535.029744.030769.05.188808.004842.005131.03.418878.023154.023585.08.157872.104248.004706.05.420000.020000.020000.00.280438.103758.004160.08.424145.016115.015898.03.203846.003846.003846.00.5)()(11)()(111010210102xLxSxxxLxSxx6表2现将三种插值结果画在一起：实际中遇到的问题：（1）反映变量之间内在规律的函数关系f(x)，往往是通过实验或观测得到的一张函数表，其表达式未知；（2）函数存在解析表达式，但由于形式过于复杂而不易使用；因此需要构造出既能反映f(x)的特征、又比较简单的函数来代替f(x)。插值法是解决此类问题的一类方法。第6章插值与逼近(Interpolationandapproximation)1100)()(yxlyxl一、线性插值与二次插值已知(x0,y0),(x1,y1)，求满足插值条件L1(x0)=y0,L1(x1)=y1的插值多项式L1(x).)()(0010101xxxxyyyxL变形：010010101))(()()(xxxxyyxxyxL10100101yxxxxyxxxx插值基函数0x1x)(1xl)(0xl1010特点:假定插值节点为，，，要求二次插值多项式2x1x0x),(2xL).2,1,0()(2jyxLjj几何上是通过三点的抛物线.)(2xL),(),,(),,(221100yxyxyx可以用基函数的方法求的表达式，)(2xL);,(,)(,)(2101000jxlxlj);2,0(,0)(,1)(111jxlxlj).1,0(,0)(,1)(222jxlxlj使它满足),(0xl),(1xl)(2xl是二次函数，且在节点上满足条件此时基函数二次插值多项式.))((12010xxxxA接下来讨论满足上式的插值基函数的求法.以求为例，)(0xl由插值条件，它应有两个零点及，1x2x),)(()(210xxxxAxl可由插值条件定出1)(00xl其中为待定系数，A于是.))(())(()(2010210xxxxxxxxxl可表示为.))(())(()(2010210xxxxxxxxxl同理.))(())(()(2101201xxxxxxxxxl.))(())(()(1202102xxxxxxxxxl利用，，，)(0xl)(1xl)(2xl).()()()(2211002xlyxlyxlyxL显然，将,，代入上式,)(0xl)(1xl)(2xl))(())(()(20102102xxxxxxxxyxL))(())((2101201xxxxxxxxy.))(())((1202102xxxxxxxxy立即得到二次插值多项式).2,1,0()(2jyxLjj它满足条件得二、拉格朗日插值多项式将前面的方法推广到一般情形，讨论如何构造通过个节点的次插值多项式.1nnxxx10n)(xLn).,,,()(njyxLjjn10根据插值的定义应满足)(xLn先定义次插值基函数.n为构造，)(xLn),,,,(.,;,)(nkjjkjkxlkj1001就称这个次多项式为节点1nn)(,),(),(xlxlxln10上的次插值基函数.nxxx,,,10n定义6.2若次多项式在个节点n),,,()(njxLj101nnxxx10上满足条件于是，满足插值条件的拉格朗日插值多项式可表示为)