第9章-信号与系统奥本海姆课件(拉普拉斯变换).

第9章拉普拉斯变换TheLaplaceTransform1.双边拉普拉斯变换；2.双边拉普拉斯变换的收敛域；3.零极点图；4.双边拉普拉斯变换的性质；5.系统函数；6.单边拉普拉斯变换；本章基本内容：9.0引言Introduction傅里叶分析方法之所以在信号与LTI系统分析中如此有用，很大程度上是因为相当广泛的信号都可以表示成复指数信号的线性组合，而复指数函数是一切LTI系统的特征函数。傅里叶变换是以复指数函数中的特例，即以和为基底分解信号的。对于更一般的复指数函数和，也理应能以此为基底对信号进行分解。tjenjestenz通过本章及下一章，会看到拉氏变换和Ｚ变换不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不仅能适用于用傅里叶变换的方法可以解决的信号与系统分析问题，而且还能解决傅里叶分析方法不适用的许多方面。拉氏变换与Ｚ变换的分析方法是傅里叶分析法的推广，傅里叶分析是它们的特例。将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下一章要讨论的中心问题。9.1拉普拉斯变换复指数信号是一切连续时间LTI系统的特征函数。如果LTI系统的单位冲激响应为，则系统对产生的响应是:ste()htste()()stytHse()()stHshtedt其中显然当时，就是傅里叶变换。sjTheLaplaceTransform一.双边拉氏变换的定义：()()stXsxtedt称为的双边拉氏变换，其中()xtsj若，则有:0sj()()jtXjxtedt这就是的傅里叶变换。()xt即：CTFT是双边拉普拉斯变换在或是在σ，ω复平面上的jω轴上的特例。0()()[()]tjttjtXsxteedtxteedt[()]txteF[由于所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广，的拉氏变换就是的傅里叶变换。只要有合适的存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的信号在引入后满足该条件。即有些信号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。()xtte()txte()()atxteut例1.在此例中，要求，才有傅里叶变换：()xt0a01()atjtXjeedtaj(0)a求它的傅立叶变换和拉氏变换说明：一个连续信号如果存在傅立叶变换，这个信号必须绝对可积，即dttx)(dtetuedtetxsXstatst)()()(00dteedteetjtatjatjs)()(aasaj，11)(If时，0a可知0sReasastueatRe)(，1即例2.()()atxteut求信号的拉氏变换要求，信号才有傅立叶变换存在0a0dteedtetuesXtjtajsstat)()()(时，积分式才收敛要求0aaasajsX，11)()(即分析：1、比较例1和例2的两个信号，它们的拉氏变换的代数表示式是一样的，但使这个代数表示式成立的S域却不相同。结论：给出一个信号的拉氏变换时，代数表示式和使该表示式成立的变量s的范围都应给出。2、拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并非任何信号的拉氏变换都存在，也不是S平面上的任何复数都能使拉氏变换收敛。3、使拉氏变换积分收敛的复数S的范围，称为拉氏变换的收敛域，简记为ROC。（RegionofConvergence）4、不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达式，只是它们的收敛域不同。5、只有拉氏变换表达式连同相应的收敛域，才能和信号建立一一对应的关系。6、如果拉氏变换的ROC包含轴，则有j()()sjXjXs二.ROC的表示方法：（复平面)例1的ROC例2的ROC有理函数X(S)的ROC的性质：1）X(s)的ROC在s平面内由平行于轴的带状区域组成；sIm2）右边信号的ROC在s平面的右半部；3）左边信号的ROC在s平面的左半部；4）双边信号的ROC带状区域；0()tTxtedt若，则101()tTxtedt010100()()()()ttTTtTxteedtextedt1表明也在收敛域内，右边信号的ROC在极点的右边。若是右边信号,,在ROC内，则有绝对可积，即：00()txte()xtTt若是左边信号，定义于,在ROC内，，则100()xt(,T0101()()()TTtttxtedtxteedt100()()TTtextedt1表明也在收敛域内。左边信号的ROC在最左极点的的左边例1.0()()0()1[1]TatstTsatsaTXseedtedtesa()xtate0其它有极点sa考查零点，令()1saTe2sajkT得例2.()btxte()()()btbtxteuteut显然在也有一阶零点，由于零极点相抵消，致使在整个S平面上无极点。sa当时，上述ROC有公共部分，0b11()XssbsbRe[]bsb当时，上述ROC无公共部分，表明不存在。0b()Xs1(),bteutsbRe[]sb1(),bteutsbRe[]sbbjb三、零极点图前面的例子给出的拉氏变换式都是关于s的两个多项式之比，这种形式的拉氏变换称为有理拉氏变换。即()Xs令分子多项式的根称为的零点，用表示令分母多项式的根称为的极点，用表示()Xs的零极点图：在s平面标出的零点和极点。()Xs()Xs例：画出的零极点图))(()(2112312sssssssX()Xs在有限S平面内，的零点和极点可以完全表征的代数表示式。（常数因子除外）()Xs例：已知的零、极点分布如图，且写出的表示式。)1()1)(2(5)(sssssX零极点图及其收敛域可以表示一个最多与真实的相差一个常数因子。因此，零极点图是拉氏变换的图示方法。()Xs()XsM例：画出的零极点图))(()(2102125222ssssssX)31)(31)(2()32)(4()(jsjsssssX例：21()321112Xsssss可以形成三种ROC：1)ROC：此时是右边信号。2)ROC：此时是左边信号。3)ROC：此时是双边信号Re[]2sRe[]1s2Re[]1s()xt()xt()xtj12PropertiesoftheLaplaceTransform1212()()()()axtbxtaXsbXs则ROC包括12RR9.2拉氏变换的性质拉氏变换与傅氏变换一样具有很多重要的性质。这里只着重于ROC的讨论。1.线性（Linearity）：11()(),xtXs1ROC:R22()(),xtXs2ROC:R若112()1,11sXsssROC:121(),1XssROC:112()()1xtxtt而ROC为整个S平面•当与无交集时，表明不存在。1R2R()Xs例4.1()txtteut2()txteut例5:)()()(tuetuetxtt2322212sstuetRe)(，111sstuetRe)(，由线性性质：11223ssssXRe)(，2.时移性质（TimeShifting）:()(),xtXsROC:R若00()(),stxttXseROC不变则3.S域平移（Shiftinginthes-Domain）:()(),xtXsROC:R若表明的ROC是将的ROC平移了一个。()Xs0()Xss则00()(),stxteXss例.(),txteut1(),1Xss123()1(2)3ttxteeutXss显然ROC:34.时域尺度变换（TimeScaling）:ROC:R()(),xtXs若1()()sxatXaa则1a01a例.1()(),1txteutXss12()2ttxeut求的拉氏变换及ROC12(),1212Xsss1ROC:2可见：若信号在时域尺度变换，其拉氏变换的ROC在S平面上作相反的尺度变换。()(),xtXsROC:R特例5.共轭对称（Conjugation）性：()(),xtXsROC:R若()(),xtXsROC:R则()()XsXs如果是实信号，且在有极点（或零点），则一定在也有极点或零点。这表明：实信号的拉氏变换其复数零、极点必共轭成对出现。()xt()Xs0s()Xs0s当为实信号时，有：()xt()()xtxt由此可得以下结论：6.卷积性质:（ConvolutionProperty）11()(),xtXs1ROC:R22()(),xtXs2ROC:R若1212()()()()xtxtXsXsROC:12RR包括则121RR显然有:例.11(),1Xss21(),23sXsss1ROC:1R2ROC:2R121()(),23XsXsss2,ROC扩大原因是与相乘时，发生了零极点相抵消的现象。当被抵消的极点恰好在ROC的边界上时，就会使收敛域扩大。2()Xs1()Xs7.时域微分:（DifferentiationintheTimeDomain）()(),dxtsXsdt()(),xtXsROC:RROC包括R,有可能扩大。若则8.S域微分:（Differentiationinthes-Domain）()(),xtXs()(),dXstxtds若则ROC:RROC:R例.求的拉氏变换9.时域积分:（IntegrationintheTimeDomain）()(),xtXsROC:R若()()()txdxtut1()()txdXss则证明：1()()txdXss(0)lim()sxsXs初值定理：10.初值与终值定理:（TheInitial-andFinal-ValueTheorems)不包含冲激或高阶奇异函数条件(因果信号）：)(,)(,txttxt0000lim()lim()tsxtsXs终值定理：例：已知因果信号的拉氏变换求和()xt))()(()(3211522ssssssX()()()xtxtut0t()0xt时，且在不包含奇异函数。0tProof:将在展开为Taylor级数有：()xt0t2()()(0)(0)(0)(0)()2!nnttxtxxtxxutn对上式两边做拉氏变换：()21111()(0)(0)(0)nnXsxxxsss()101(0)nnnxslim()(0)ssXsx0000()()()()ststststdxtedtedxtdtxtesextdt是因果信号，且在无奇异函数,()xt0t终值定理证:的实部可以大于零，因此s0()(0)stxtex除了在可以有一阶极点外，其它极点均在S平面的左半平面（即保证有终值）。故的ROC中必包含轴。表明()Xs0s()xt()sXsj0()(0)()stdxtedtxsXsdt当时，0s00()()lim()(0)sttdxtedtdxtxtxdt