第9章多元函数微分法及其应用课本基础知识

本章目录第一节多元函数的基本概念第二节偏导数第三节全微分第四节多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导公式（第五节掌握的不是很好）第六节多元函数微分学的几何应用第七节方向导数与梯度第八节多元函数的极值及其解法第九节二元函数的泰勒公式几道比较好的题第一节多元函数基本概念1、基本了解一元函数()yfx的定义域是xR，是在一条数轴上看定义域那么在二元中，就是在一个平面上看定义域，有(,)zfxy（其中x，y互相没关系。如果有关系，那么y就可以被x表示，那么就成了一元函数了），定义为二元函数2(,)xyR2、多元函数的邻域二元邻域三元函数邻域3、内点4、外点5、边界点边界点：点的邻域既存在外点又存在内点边界点可以看成内点，也可以看成外点，看你怎么定义了。6、聚点邻域内存在内点则称为聚点。可见，边界点一部分也含内点，因此内点，边界点都是聚点。7、开集不包括边界点的内点；一元函数的开区间就是开集8、闭集包含了边界点的内点；一元函数的闭区间就是闭集9、特殊区间一元中有半开半闭的区间二元也是，如10、连通集连通集就是连在一起的区域。定义是，在定义域内两点可以用折线连起来连通集与非连通集，如：11、开区域：连通的开集；闭区域：连通的闭集12、有界点集这个圆的半径可以有限充分大。无界点集：找不到一个有限大的圆包含该区域。如平面第一象限就是无界的点集13、二元函数的定义域图像二元定义域要有x，y的范围。解出f1(x)yf2(x)(很多时候是y与x复合的函数，所以最好是化成y在一边看大于还是小于)14、二元函数的图像：空间曲面即z=f(x,y)15、多元函数极限的定义注意是去心的，去边界的圆域一元需要左极限等于右极限，二元就各个方向的极限都要相等了。趋近的方式有时候甚至是有技巧的，一般先用y=kx趋近，再试试y=kx^2。16、多元函数的连续性设在定义域内，若lim(,)(,)00(,)(,)00fxyfxyxyxy则称二元函数(,)fxy在(,)00xy点处连续。这个和一元是一样的，就是极限值等于该点处定义的值，则连续。如果要证明连续，只需用极限的定义语言证明两者相等边界点都是间断点。17、多元函数的有界性定理和介值定理同一元函数一样，有如下定义：①有界闭区域D内的连续的多元函数，必定有界，且存在最大最小值。②有界闭区域D内的连续的多元函数可以取得介于最大最小值之间的一切值。1、偏导数的定义多元函数的偏导数是对其中一元a来说的，把其余元看成不变量，求导得到的就是关于a的偏导数。（实质，求偏导数就是求一元函数的导数）定义：①00000000000(,)(,)(,)limxxyxxxxyyyyfxxyfxyzzfxyxx②00000(,)(,)limxxfxyfxyxx（这个是自己编的，不过后来发现是正确的）2、偏导数的物理意义上式表示，空间一曲面，与y=y0平面相交得一条曲线，曲线上的x0处的斜率即是上式表示的偏导数。0000(,),xxyyfxyxyxx表示在点处相对轴的倾斜度（tan）一元中，导数存在必然连续，但是二元中，偏导数存在不一定连续，这是因为，物理意义上讲，只能说当曲线在y=y0平面上趋近时，是连续的，但是多元函数连续的定义是任意方式趋近都存在一个值才连续。因此，偏导数存在不能说明多元函数连续。如图：3、高阶偏导数先对x求偏导，再对x求偏导，记为22(,)xxzfxyx先对x求偏导，再对y求偏导，记为2(,)xyzfxyxy（称为混合偏导）因此从记号上我们就可以看出求偏导的顺序。但是有趣的是，求偏导无论顺序怎样，结果却都是一样的。即，其实知道顺序也没用，高阶偏导的结果与先对谁求的顺序无关。（课本定理）1复习一元函数的微分微分创建之初就是为了求出增量的近似值。一元函数的微分有两个应用，一个是近似计算，特别是自变量增量越小，因变量增量计算越精准。二是用来估计误差。其公式是：'()ydxAxyAxox就是就是与无关2、多元函数f(x,y…)增量的几个概念①偏增量：多元函数某一自变量增加△，其它自变量不变，因变量增加的△f是偏增量②全增量：多元函数所有自变量都增加△，因变量增加的△f是全增量3、二元函数全微分的定义（其它多元都类似）二元函数(,)zfxy则全增量(,)(,)zfxxyyfxy（注：这是全增量，不是全微分）和一元函数类似，二元函数中，上式的△z如果可以表示为22()xyzAxByo（注：这是全增量，不是全微分）形式，则称z=f(x,y)是可微的，把△z的线性主部部分叫做z=f(x,y)在(x,y)点处的全微分。用dz表示，即有：dzAxBy（注：这个是全微分）4、二元函数全微分与连续、可偏导之间的关系①首先复习一下一元函数中连续的定义（下面列4种+语言，共五种定义）00000lim0lim()()lim()()lim[()()]0xxxxxyfxfxfxxfxfxxfx导数的实质：增量比的极限一元可微可导连续②可微一定连续。只要证000lim0xyz即（连续的定义）即可。而0000limlim[()]0xyzAxByo即，因此可微一定连续③可微一定可导（全微分里面的A，B就是偏导数，因此可微必须可导，见下面定理一的证明）④总结和扩展：可偏导多元函数可微连续偏导数连续（注不是函数连续）函数可微但函数可微不能推出偏导数连续其余关系均不成立。只要记住：多元函数中可微才是最牛b的，能推出连续和可偏导。除此之外，可偏导，连续什么都推不出来，除非可偏导且偏导数自身还要连续才能可微。5、可微，可导，连续的关系的证明和公式定理1：（必要条件）若f(x,y)在(x,y)处可微，那么一定存在偏导数zzxy、，且全微分zzABxy、即zzdzxyxy定理1的证明：因为已知可微，因此存在公式()zAxByo，先求关于x的偏增量，有(,)(,)zfxxyfxyx0()yAxox即令Alim0zzxxAxxx为求得，上下同除以即A是导数的形式，因此，=zAx。同理zBy，因此偏导数必须存在。公式亦得证。定理2：（可微的充分条件）不证：若z=f(x,y)的偏导数x，y点是连续的，那么该点一定可微。该定理给出了判断函数可微的定理，但是如果偏导函数在该点不连续，仍然不一定不可微。6、多元全微分的推广公式类似二元，三元函数u=f(x,y,z)的全微分是uuuduuxyz，多元函数类似。第四节多元复合函数的求导法则要分清函数到底是隐函数还是多元函数？z=f(x,y)是一个二元函数，而F(x,y,z)=0也是二元函数，只有F(x,y,z)或者u=F(x,y,z)才是一个三元函数.因此施光燕教授也讲到，只要涉及到计算偏导数，一定要弄清函数关系。1引语一元复合函数求导时，是“层层剥笋”法。而多元复合函数的求导法则是“链式”法则。有诗云：分段用乘，分叉相加；单路全导，岔路偏导。注：下面几种复合情况的前提条件是：假设在所求点偏导数均连续（即可微）2、第一种复合形式的求导方法（一元函数和多元函数复合）当复合函数实质是一元时，要用dzdt形式表示推广：①多元时：若(,,),(),(),()zfuvwutvtwt，则dzzduzdvzddtudtvdtdt②混元时：若(,),()zfutut，则=dzzdtzduzzdudttdtudttudt3、第二种复合形式求导方法（多元函数和多元函数复合）当复合函数实质是多元时，要用zx偏导形式表示注意：1、多元复合求导一定要用树杈图列式！树形图还麻烦，就依据法则（如乘法，就用算乘法的导数拆解法则）拆解成多个小单元，每个单元再单独画树形图。2、求解后要把中间变量代换成最基本的元组合。4、全微分形式不变性一元中，如果()yft,则'()dyftdt但是如果令2tx也可以有22'()dyfxdx这说明，t无论是不是复合函数都在式子中都是成立的。多元中也是，已知公式是zzdzdxdyxy，那么如果x,y是其他自变量的复合函数，此公式仍然成立。这就给我们求dz一个新思路，比如求z=ln(2t+3r)的dz。可以把2t+3r看成一个整体x，x是复合函数，反正不变。故dz=1/(2t+3r)d(2t+3r)=(2dt+3dr)/(2t+3r)故223zttr5、抽象函数和一些注意的例子第五节隐函数的求导公式记住实质：f(x,y,z)若求zx则把分母看成是关于其它量的函数另外要分清函数到底是隐函数还是多元函数？z=f(x,y)是一个二元函数，而F(x,y,z)=0也是二元函数，只有F(x,y,z)或者u=F(x,y,z)才是一个三元函数.因此施光燕教授也讲到，只要涉及到计算偏导数，一定要弄清函数关系。一、一个方程的情况1二元函数的隐函数存在定理（二元函数f(x,y)=0，求yx显见，y只不过本是一个和x地位相同的自变量，但是既然放在分母上了，就要担当因变量的责任，因此要把y当成关于x的函数，这是隐函数求导本节课内容的精髓所在）设方程F(x,y)在点P(x0,y0)处的邻域内则在该点邻域内存在一个连续导数的(一元的)函数y=f(x)满足y0=f(x0)，且有公式：FdyxdxFy（这种方法虽然运算过程和上半年的算的方法不一样，不过结果是一致的）公式的证明：设y=f(x)为F(x,y)=0所确定的隐函数，则F(x,y)可看成多元复合函数F(x,f(x))=0，则两边同时对x求导，有2、二元隐函数函数的二阶导数自己推导，不要背3、三元以及上的隐函数存在定理（三元函数f(x,y,z)如果求得,zzxy）设方程F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)处的邻域内则在该点邻域内存在一个连续导数的(二元的)函数z=f(x,y)满足z0=f(x0,y0)，且有公式：,FFzzyxxFyFzz（函数是谁，它的偏导就放在分母上；对谁求偏导，谁的偏导就放在分子上）公式的证明：由于(,)zfxy是(,,)0Fxyz确定的隐函数，因此代入就成了F(x,y,f(x,y))=0的复合函数，对这个复合函数求相对于x，y的偏导数，显然有做题就简单明白了，为什么要把F(x,y,z)中的z看成z=f(x,y)?是因为让你求zx啊，那只能把函数看成是xy关于z的函数啦！课本都是这么明说了，就不用再怀疑什么z是与x，y无关的量了，其实呢，确实本来是无关的，但是如果把z放在方程=0的这边，那么实质就是z是xy的函数。二、方程组的情况对于方程组类型（4元的）(,,,)0(,,,)0FxyuvGxyuv如果题目要求你求,,uvxxuvyy（题目要这么求，就只能当成两元x，y是自变量了）四种，如何求？就是下面介绍的方法。方程组的隐函数存在定理设(,,,)0(,,,)0FxyuvGxyuv满足如下条件：①在点P(x0,y0,u0,v0)附近具有连续偏导数②00000000(,,,)0(,,,)0FxyuvGxyuv③雅克比行列式(,)0(,)uvuvFFFGJGGuv则存在,,uvxxuvyy一坨的偏导数。其值为：(,)(,)xvxvuvuvFFGGuFGFFxJxvGG(,)(,)uxuxuvuvFFGGvFGFFxJuxGG(,)(,)yvyvuvuvFFGGuFGFFyJyvGG(,)(,)uyuyuvuvFFGGvFGFFyJuyGG证明公式的由来：和之前一样，v是x，y的函数，u是x