第9章第12节

第九章随机振动简介当系统的振动情况不可能用一个明确的函数表达式来描述，并且根据以往的数据也无法确切地预测将来的振动情况，只有用概率统计方法来研究的这种非重现性机械或结构系统的特性时，这种振动称为随机振动。严格地说，自然界和工程中大量的实际问题都是随机的。随机振动虽不具有确定性，但仍可利用概率统计的方法研究其规律性。随机振动的数学描述为随机过程。本章将首先简略地讨论随机过程的统计特性。对激励与响应的统计特性之间相互关系的研究是随机振动的重要内容。在介绍工程中几种典型随机振动问题之后，本章着重讨论线性多自由度系统和连续系统在单个和多个随机激励下的响应，主要采用功率谱密度方法在频率域内进行。9.1随机过程的统计特性1．平稳过程和遍历过程随机过程是大量现象的数学抽象，理论上是由无限多个无限长的样本组成的集合。在同样条件下重复同样的试验，因各种因素的变化与不同，或并未全面考虑其影响因素等原因，一般试验结果各不相同。例如在同样道路同样车速条件下进行n次汽车道路试验,记录下汽车司机的铅垂加速度的一系列时间历程xk(t)(）。每次记录称为一个样本函数，样本的数目n必须很大。随机过程是所有样本函数的集合,记为X(t)(图9.1-1)。nk,,2,1在任一采样时刻t1，随机过程的各个样本值都不相同，构成一个随机变量X(t1)。各个xk(t1)值之所以不同，是由于路面的不规则性等许多不确定因素影响的结果，对于随机过程的研究兴趣不在于样本函数本身，而在于总体的统计特性。图9.1-1nkknxtxntXt11111limE(9.1-1)例如随机过程X(t)在t1瞬时的集合平均x(t1)，或简称为均值，也称为数学期望，定义为式中以符号E表示集合平均。X(t)在t1和t1+时刻构成两个随机变量X(t1)和X(t1+)，对各样本Xk(t1)和Xk(t1+)的乘积取集合平均，得到称为随机过程X(t)在t1和t1+时刻的自相关函数。11,ttRxnkkknxtxtxntXtXttR11111111limE,(9.1-2)随机过程可以根据其统计特性是否随采样时间(或随时间轴起点的选取)而变化来进行分类。②统计特性不依赖于采样时刻的过程，称为平稳过程(亦称定常过程)。平稳过程又有(弱)平稳过程和(强)平稳过程，并且不区分二者而简单称为平稳过程。①统计特性依赖于采样时刻的过程，称为非平稳过程(亦称非定常过程)。当遍及随机过程X(t)的所有可能的平均都与采样时刻t1无关时，则称随机过程为(强)平稳过程。如果随机过程X(t)的均值和自相关函数与采样时刻t1无关，则称随机过程为(弱)平稳过程，对于(弱)平稳过程，均值为常数xxt(9.1-3)而自相关函数仅依赖时间差xxRt,tR11(9.1-4)在很多实际应用中，如果弱平稳性成立，就可假设其强平稳性成立，有鉴于此，以后将不区分二者，而简单地称为平稳过程。在特殊的情况下，可能从各个样本得出的统计特性都是等同的，这时，从任何一个样本得出的时间平均特性就等于集合平均特性，既集合平均与时间平均相等。可见，如果平稳随机过程的均值和自相关函数可以用任何一个充分长的样本函数的时间平均值来计算，即则称此平稳过程为遍历过程。ttxTTTkTxd1lim22(9.1-5)ttxtxTRTTkkTxd1lim22(9.1-6)应该指出，任何遍历过程一定是平稳过程，但是平稳过程则未必是遍历过程。随机过程的遍历性对于工程计算十分重要，因为它为根据实测的少量样本函数来估计此随机过程的统计特性提供了理论依据。但要在实践中验证遍历性条件十分困难，只能根据过程的物理性质，先假定有遍历性，待有了足够的数据以后再去检验假定的正确性。(1)一维概率密度函数图9.1-2])([xtXPr一个平稳随机过程X(t)，当时间t为给定值时就成为随机变量，利用各样本函数的集合{计算此随机变量不大于某个特定值x的概率，记为txk2．概率密度函数xtXPxPr(9.1-7)当x值变化时可定义函数称为概率分布函数，如图9.1-2（a）所示。P(x)为单调升函数，具有下列性质1100P,xP,P(9.1-8)定义一维概率密度函数为txPxxPxxPxpxddlim0(9.1-9)在几何上，p(x)表示概率分布函数P(x)的切线斜率。X(t)的值在和之间的概率可用概率密度函数表示为(图9.1-2（b）)1x2x2121dxxrxxpxxxP(9.1-10)概率密度函数具有下列性质：-0,lim0,d1xpxpxpxx(9.1-12)从式(9.1-8)和图9.1-2得出，p(x)曲线与x轴之间的、对应于幅度增量x的面积等于对应于相同增量的P(x)的变化。概率分布函数也可定义为xxxpxPd(9.1-11)从随机变量的概率分布出发，可以确定一系列统计特性。考虑随机变量X(t)的一个单值连续函数g(x)，根据定义g(x)的均值为-dExxpxgxgxgg(9.1-13)-dExxxpXXx(9.1-14)在g(x)=X的特殊情况下，X的数学期望可以用概率密度函数p(x)定义为Xx即随机变量X(t)的一次矩，其几何意义为p(x)曲线与x轴所围面积形心的x坐标(图9.1-2b)。-222dxxpxXEx(9.1-15)即随机变量X(t)的二次矩，而将称为均方根值。若X(t)表示位移、速度或电流，则均方值相应地与系统的势能、动能或功率成比例。因此可以认为均方值是平均能量或功率的一种测度。2xx式(9.1-6)定义的自相关函数是描述随机变量在不同时刻之间相关程度的统计量。当=0时，随机过程X(t)与其自身是完全相关的，这时自相关函数称为随机过程的均方值，记为2x)0(xR方差是另一个重要的统计量，定义为-22222dxxxxxxpxXXE(9.1-16)即随机变量X(t)相对于均值的二次中心矩。若X(t)为随机振动过程，则均值表示静态分量，均值的平方表示静态分量的能量，方差表示动态分量的能量。2x2xx当均值为零时，方差等于均方值。称为标准差。2xx(2)联合概率密度函数设有两个随机过程X(t)和Y(t)，在给定时刻t构成两个随机变量。它们同时满足X(t)x和Y(t)y的概率Pr[X(t)x,Y(t)y]称为联合概率分布函数，记为P(x,y)，即ytYxtXPyxPr,,(9.1-17)也可定义联合概率密度函数p(x,y)，使满足xyxyyxpyxPdd,,(9.1-18)22111212,,ddxyrxyPxxxyyypxyyx(9.1-19)和同时成立的概率为21)(xtXx21)(ytYy可用曲面所围成的一部分体积表示(图9.1-3)。图9.1-3联合概率密度函数有以下性质----,0,,dd1,,d,,dpxypxyxypxpxyypypxyx(9.1-20)若p(x,y)可分离变量则称X(t)和Y(t)为统计独立。ypxpy,xp(9.1-21)随机变量X(t)和Y(t)的实连续函数g(x,y)的数学期望或均值可表示为2121dd,,,Exxyyxyyxpyxgyxg(9.1-22)E,ddExyxyxyxyCxyxypxyyxxy(9.1-23)当时，它的期望值称为x和y之间的协方差，记为，为xyC))((),(yxyxyxg两个统计独立的随机变量一定是不相关的，但是不相关的随机变量尽管可以是、却不一定是统计独立的。定义以下标准化的量，称为相关系数，有yxxyxyC(9.1-24)可以证明：11xy(9.1-25)若有EEEXYXY(9.1-26)则称随机变量X和Y是不相关的，这时有0,0xyxyC(9.1-27)(3)正态过程正态分布是随机振动中最常见的一类随机变量的分布，也称为高斯(Gauss)分布，它的一维概率密度函数可以表示为：222e21xxxxxp(9.1-28)图9.1-4式中x为均值，x为标准差。一维概率密度函数p(x)是对称于通过x的垂直轴的一种钟形分布曲线(图9.1-4)。由于标准差x是相对于均值x的分散度的一种度量，因此x愈大曲线愈平坦，x的值在x左右分布愈分散。p(x)在无限域上的积分等于1，但在x的3x邻域内的积分等于0.9973，接近为1，也就是说，正态分布的随机变量在(-3x,3x)区间外取值的概率为0.27。因此工程中常将随机变量在均值附近的变化范围取为±3x。两个随机变量X和Y的二维联合正态概率密度函数为22221212e121,yyyyxxxyxxxyyyxxxyyxyxp(9.1-29)若相关系数，则式(9.1-29)简化为0xyypxpy,xpyyxxyyxx222222e21e21(9.1-30)可见当随机变量X和Y服从二维正态分布时，不相关即意味着统计独立。当随机过程在每个给定时刻的随机变量均为联合正态分布时，就称此随机过程为正态过程或高斯过程。对于正态分布的随机变量，只要给出均值和二次矩，其概率密度函数就可根据式(9.1-28)和(9.1-29)完全确定。正态过程有以下特点:1.许多自然现象可以用正态过程来近似地描述；2.正态过程的线性变换仍然是正态过程；3.只需要知道正态过程的一次矩与二次矩，就可以确定它的概率密度。这些特点为随机振动的研究带来很大的方便。首先，随机振动的许多激励源都可以视为正态过程。其次对于常参数线性系统，当输入是正态过程时，输出也一定是正态过程。再者，当系统的输入、输出都是正态过程时，确定均值、方差、协方差，就能完全确定它们的统计特性。即正态过程的高次矩可由均值和二次矩导出。设x=0，则有nntxntx22E12531E(9.1-31)3．相关函数121212E,,ddxRXtXtxxpxxxx(9.1-32)设同一随机过程的两个状态对应的随机变量为X(t1)和X(t2)=X(t1+)，其联合概率密度函数为p(x1,x2,)，则自相关函数为图9.1-5可见，自相关函数描述了随机振动的一个时刻的状态与另一个时刻的状态之间的依赖关系，表示两个状态之间的相关程度。自相关函数有以下性质：(4)，自相关函数为时间差的衰减函数，当时趋于均值的平方(图9.1-5)。2limxxR(1)，自相关函数是时间差的偶函数；)()(xxRR(2)Rx(0)=E[x2]=2x，时间差为零时的自相关函数就是均方值；(3)，时间差为零时随机过程的自相关程度最大；)0()(xxRR设有两个平稳随机过程X(t)和Y(t)，它们之间相隔时间差的相关性由互相关函数描述，定义为121212dd,,EyxyxpyxtXtYRyx(9.1-34)式中下标1表示在时刻t的取值，下标2表示在时刻t+的取值。212121dd,,EyxyxpyxtYtXRxy