第一章偏微分方程和一阶线性偏微分方程解

第一章偏微分方程和一阶线性偏微分方程解本章介绍典型的几个偏微分方程。给出了最简单的偏微分方程（一阶线性偏微分方程）解的特征线方法。典型的偏微分方程：扩散方程txxuku，tuku；波动方程2ttxxucu，2ttucu。这是本课程讨论的主要两类方程。偏微分方程的各类边值条件也是本章讨论的一个重点。§1.1一维空间中的偏微分方程例1（刚性污染流的方程）假设均匀直线管道中的水流含污染物质的线密度是(,)uxt（即x处在时刻t的污染物的密度）。如果流速是c，问题：(,)uxt满足什么样的方程？解如图，在[,]xxx内的流体，经过时间t，一定处于[,]xctxxct。所含污染物应相同，即(,)(,)xxxxctxxctutduttd，由此(,)(,)uxtuxcttt，从而，0txucu。【End】可见偏微分方程是一个至少为两元的函数及其偏导数所满足的方程。例2（扩散方程）假设水流静止，在t时间内，流经x处的污染物质（不计高阶无穷小）与该处浓度的方向导数（浓度变化）成正比，比例系数为k：()xudmtkdtkudtx，所以，在时间段12[,]tt内，通过12[,]xx的污染物为2121[(,)(,)]txxtkuxtuxtdt。在时刻1t和2t，在12[,]xx内的污染物分别为211(,)xxuxtdx和212(,)xxuxtdx，由物质守恒定律2221112121(,)(,)[(,)(,)]xxtxxxxtuxtdxuxtdxkuxtuxtdt由1t，2t的任意性，2121(,)[(,)(,)]xtxxxuxtdxkuxtuxt，再由1x，2x的任意性，(,)(,)txxuxtkuxt。【end】例3（弦振动方程）假设（1）弦的两端固定（非本质的假设），弦长为l，线密度为；（2）外力作用下在平衡位置附近作微小的垂直振动；（3）弦上各点张力方向与弦的切线方向一致，大小服从Hooke定律。问题：建立(,)uxt满足的方程。解选定弦的一段[,]xxx，（此处0xl），考虑其在时间段[,]ttt内的运动情况。点x处的张力记为(,)Txt。沿水平方向合力为(,)cos(,)cosxxxTxtTxxt；沿垂直方向合力为(,)sin(,)sinxxxTxtTxxt。显然，水平方向合力为零（假设2：弦只在垂直方向有运动），即(,)cos(,)cosxxxTxtTxxt。垂直方向合力为(,)sin(,)sinxxxTxxtTxt[tantan]xxxT(,)(,)[]uxxtuxtTxx22(,)()uxtTxoxx。由牛顿第二运动定理，22(,)(,)()[]uxtuxtTxoxxxtt，因此2222(,)(,)uxtuxtTxt。记2Tc，则得到标准的波动方程，22222(,)(,)0uxtuxtctx。注：如果弦上有外力(,)Fxtx作用，则22(,)(,)(,)()[]uxtuxtTxFxtoxxxtt，记(,)(,)Fxtfxt，则非齐次的波动方程为22222(,)(,)(,)uxtuxtcfxttx。【end】§1.2平面和空间上的偏微分方程例1（三维空间中的扩散方程）假设污染流体充满三维空间的某区域，(,)uxt是其密度。任取简单区域D，相应的边界D。假设，在dt时间内，流出dS的流与密度关于dS处的法向导数成正比，即()udQtkdSdtn，因此在12[,]tt流出曲面D的流量为2211()tttDtDudQtkdSdtn；同时，该区域在12[,]tt的流量变化又可表示为21(.,,)(.,,)DDuxyztdxdydzuxyztdxdydz。利用守恒定律和时间的任意性，(.,,)tDDDuuxyztdxdydzkdSkundSn。由高斯公式推论，()DDDkundSkudxdydzkudxdydz，所以(.,,)tDDuxyztdxdydzkudxdydz。由D的任意性，tuku。【end】热传导方程推导类似。例2（二维膜振动方程）均匀鼓膜上任意截取区域，在平面上的投影为D。作用于的张力的垂直分量uTn近似等于沿D的法向张力uTn。因此垂直方向总合力为DuTdsn。由此，ttDDuTdsudxdyn，由二维的高斯公式，DDuTdsTudxdyn。因此2ttucu，这里Tc。【end】§1.3方程的初始和边界条件对常微分方程，要完全确定方程的解就必须知道初始条件。而对偏微分方程，还必须给定适当的边界条件。以弦振动问题而言，方程是在弦之内部的点满足的条件，边界可能是固定的，也可能自由的，等等。假如边界是0x，xl，则可能的条件：1）(0,)uta，(,)ultb（固定边界）（Dirichlet条件）2）(0,)0utx，(,)0ultx（在端点的垂直方向自由滑动），或更一般(0,)()uttx（Neumann条件）3）(0,)(0,)uTtkutx（弦的一端固定在弹性支承上）（Robin条件）在高维空间，相应的边界条件为1）Dirichlet条件：[(,)(,)]0uxtxt（是边界）2）Neumann条件：[()]0utx3）Robin条件：[(,)]0uuxtx§1.4一阶线性偏微分方程解的特征线方法对一阶齐次线性偏微分方程0txaubu，从几何观点看，如果u满足该方程，则由函数(,)uxt确定的平面上的向量场(,)txuu，与方程系数构成的向量场(,)ab正交。称由向量场(,)ab作为切向所确定的曲线dxbdta为方程的特征线。例如，当a，b为常数，则过任意给定的点00(,)tx的特征线为直线，方程为00xxttba。之所以称其为特征线，是因为沿该直线函数(,)uxt取常数值。以,ab为常数为例，特征线上的任意一点可表示为00xxbsttas，其中s是参数，由此00(,)0xtduxbstasbuauds，即0000(,)(,)uxbstasuxt。利用特征线的该性质，在给定适当的初始或边界条件后就可确定方程的解。例1求解方程3430(,0)txuuuxx。解特征线34dxdt，即003()4xxtt，沿该直线，(,)uxt是常数。所以，300000000333(,)((),)(,0)()444uxtuxtttuxtxt，或写为33(,)()4uxtxt。【end】例2求解方程0(,0)()txuxuuxfx。解特征线方程dxxdt，其解为00ttxxe。所以，00000000(,)(,)(,0)()ttttuxtuxetuxefxe，或(,)()tuxtfxe。【end】例3（流方程的解）考虑一端具有稳定的流速的无限长管道的流，0,(0,0)(,0)(),(0,)()txucutxuxfxutgt解特征线方程dxcdt，过00(,)tx的特征线00()xxctt。所以，1000000(,)((),)(,())uxtuxctttuxtcxx。当00xct时，000000(,)(,0)()uxtuxctfxct；当00xct时，11000000(,)(0,)()uxtutcxgtcx。所以，方程的解为11(,)(,0)(),(,)(0,)().uxtuxctfxctxctuxtutcxgtcxxct。【end】第一章习题1.对平面扩散方程ttuku，若(,,)uxyt的值仅依赖于22rxy和t，证明：(/)trrrukuur。而对空间扩散方程，若(,,)uxyt的值仅依赖于222rxyz和t，证明：(2/)trrrukuur，或22rukrutr。2.求解方程230(,0)sintxuuuxx。3.求解方程30(,0)(),(,0)()txttuuuxfxuxgx。（提示：令tvu）4.求解方程2(1)0txuxu。5.求解方程0txaubucu。6.求解方程2(,0)0xttxuuueux。