第一章常用经济函数与极限(校本教材).

应用数学主讲：何涛电话：[phone]邮箱：[e-mail]第一章常用经济函数与极限第一节常用经济函数模型一、单利与复利假如你有5万元准备进行投资现有两种投资方案：1.年利率12%,一年计息一次;2.年利率12%,一年均分12次计息,按复利计息.你选择哪种投资方案？1.单利计算方法(本金p,利率r))1(1rpprps1(1)spprpr第一个计息期末本利和第二个计息期末本利和第t个计息期末本利和：2(1)(12)sprprpr(1)tsptr2.复利计算方法(本金p,利率r))1(1rpprps1(1)spprpr第一个计息期末本利和第二个计息期末本利和第t个计息期末本利和：22(1)(1)(1)sprprrpr(1)nttrspn(1)ttspr若计息期内均匀分n次计息，第t个计息期末本利和：假设你是银行职员，客户杨先生向你寻求帮助:他打算向银行申请住房按揭贷款30万，还款期限20年，有的朋友建议他选择等额本息还款方式，有的朋友建议他选择等额本金还款方式，两种方式银行的月利率均为5.66‰.杨先生想知道两种还款方式下，每月还款额、还款总额、所付利息总额各是多少？按揭房贷计算二、贴现为了保障孩子将来的教育经费，小王夫妇在儿子出生时向银行存入一笔钱作为家庭教育基金.他们希望儿子18岁后这笔资金价值8万元.家庭教育基金投资如果银行以年复利8%、每年支付2次利息的方式支付利息，请你帮小王夫妇计算一下，现在他们应投资多少？2.复利计算方法(本金p,利率r))1(1rpprps1(1)spprpr第一个计息期末本利和第二个计息期末本利和第t个计息期末本利和：22(1)(1)(1)sprprrpr(1)nttrspn(1)ttspr若计息期内均匀分n次计息，第t个计息期末本利和：贴现值(1)ttspr=(1)ttspr贴现率(1)nttrspn(1)tntsprn票据转让吴东手中有三张票据，一年后到期的票据面额为5000元，两年后到期的票据面额为10000元，五年后到期的票据面额是20000元.因家里急于用钱，他决定将三张票据向银行做一次性转让，已知银行的贴现率为6%，三张票据银行都是以一年为1期贴现，那么银行所付给他的贴现金额是多少？三、需求函数价格大战京东CEO刘强东率先在微博上称：京东大家电三年内零毛利,所有大家电保证比国美苏宁连锁店便宜10%以上.2012年8月14日苏宁易购执行副总裁李斌下午4点回应：苏宁易购所有产品价格必然低于京东,任何网友发现苏宁易购价格高于京东,会即时调价并赔付.国美副总裁何阳青晚上10点表示：国美不回避任何形式价格战,从8月15日9点开始,国美电器网上商城全线商品价格将比京东商城低5%.需求函数()Qfp“需求量”是指在一定价格条件下,消费者愿意购买且有支付能力购买某一商品的数量.“需求价格”是指消费者对所需要的一定量的商品所愿支付的价格.一般来说,需求函数是减函数,商品价格低,需求量大;商品价格高,需求量小.四、供给函数揭秘囤积房源截至今年4月30日,北京市可售的期房项目共计1512个,其中未售住宅109106套,面积为1541.39万平方米;已取得房屋所有权证的现房销售项目855个,其中未签约住宅17815套,面积为289.14万平方米,两者相加待售房面积达到1830万平方米,占全部可售房面积的60%.新华网北京2006年5月5日电在楼市供不应求的火爆面纱下,北京有“占待销房总面积六成的住宅尚未卖出”这令普通买房人大惑不解:不是一直在说房子不多么,怎么一下子冒出“十几万套住宅没卖”呢?供给函数“供给量”是指在一定时期内,生产者在一定价格条件下，愿意并可能出售的产品数量.“供给价格”是指生产者为提供一定量商品所愿意接受的价格.()Qp一般来说,供给函数是单调增加的,即商品价格越高,厂商越愿意供给商品;价格太低,厂商不会供给商品.五、成本函数某工厂每天最多生产150台计算机，工厂维持生产的日固定费用为6万元，生产一台计算机的直接费用（含材料费和劳务费）为3300元，试建立该厂台计算机的总费用函数.生产费用问题成本函数总成本函数()CCQ01()CCQ平均成本函数01()()CCQCCQQQ引例（生产费用）某工厂每天最多生产150台计算机，工厂维持生产的日固定费用为6万元，生产一台计算机的直接费用（含材料费和劳务费）为3300元，试建立该厂台计算机的总费用函数.生产费用问题()600003300CCQQ{,0150}QNQ六、收益函数你负责公司的移动硬盘销售工作.公司规定：对于不超过100个的订购合同，每个移动硬盘售价为500元；对于超出100个的订购合同，超过100个的部分，每个移动硬盘按八折销售.请你建立公司销售移动硬盘获得的总收益与售出移动硬盘个数的函数关系.多买优惠问题收益函数总收益函数()RRQPQ平均收益函数()RQRQ你负责公司的移动硬盘销售工作.公司规定：对于不超过100个的订购合同，每个移动硬盘售价为500元；对于超出100个的订购合同，超过100个的部分，每个移动硬盘按八折销售.请你建立公司销售移动硬盘获得的总收益与售出移动硬盘个数的函数关系.多买优惠问题500100500(100)400QRQ，0Q100，Q100养猪场每天投入6元资金（用于饲料、人力、设备等），估计可使60公斤重的生猪体重增加2公斤.目前市场价格为每公斤10元，但是预测每天会降低0.1元.生猪出售时机如果你是养猪场主管,你安排生猪何时出售？利润函数()()()LLQRQCQ养猪场每天投入6元资金（用于饲料、人力、设备等）,估计可使60公斤重的生猪体重增加2公斤.目前市场价格为每公斤10元,但是预测每天会降低0.1元.如果你是养猪场主管,你安排生猪何时出售?解：假设一头猪长到60公斤时所需成本为若目前出售利润为0C06010C若t天出售，生猪体重出售价格收益成本602Wt100.1Pt(100.1)(602)RPWtt06CtC增加的利润20()(600)0.28LtRCCtt20t第二节极限的概念问题《追龟论》观点：假设兔子的速度是龟的10倍，龟在兔子前面100米，两者同时起跑.当兔子跑100米到龟的出发点，龟向前爬了10米，兔子再追10米，龟向前爬了1米，兔子继续跑了1米，龟向前爬了0.1米，再追0.1米，龟又向前爬了0.01米…这样，永远相隔一小段距离，兔子总追不上乌龟。一、数列极限定义:已知无穷数列当时,若通项无限接近于常数A,则称当时数列的极限为A,记作123,,,,naaaanlimnnaAnanan观察下面的无穷数列，判断它们是否有极限.1111,,,,23n2,4,8,2,n（1）（2）（3）（4）123,,,,2341nn1,1,1,(1),n二、函数极限(1)lim()xfxA(2)lim()xfxAlim()xfxAlim()lim()xxfxfxA1limxx01limxx01lim0xxlimarctanxx2limarctanxx2limarctanxx不存在二、函数极限0(3)lim()xxfxA00lim()lim()xxxxfxfxA0(4)lim()xxfxA0lim()xxfxA的左极限的右极限0x0x2lim2xx　42lim2xx　42lim24xx　例通过函数图形求下列极限的值1lim(21)xx（1）（2）（3）0lim3xx2limcosxx第三节极限的运算一、极限运算法则定理1如果极限,则有lim()fxAlim()gxB(1)lim[()()]fxgxAB(2)lim()()fxgxAB()(3)lim(0)()fxABgxBlim[()]lim()CfxCfx（C为常数）定理2如果函数是定义域为D的初等函数，且实数,则有00lim()()xxfxfx0xD（1）（2）（3）例求下列函数的极限33lim(21)xxx3321lim2xxxx2222lim2xxxxx222lim2xxx（4）（1）33lim(21)xxx3333limlim2lim1xxxxx3333(lim)2limlim1xxxxx2033lim(21)xxx3323120或（2）3321lim2xxxx333lim(21)lim(2)xxxxx333333(lim)2limlim1limlim2xxxxxxxx43321lim2xxxx33231432或（3）2222lim2xxxxx2(1)(2)lim(2)xxxxx21limxxx32（4）2(22)(22)lim(2)(22)xxxxx222lim2xxx22lim(2)(22)xxxx21lim22xx14（1）（2）（3）例求下列函数的极限32323lim52xxxxx223lim1xxx21lim23xxx（1）32323lim52xxxxx32132lim25xxxx3213lim2limlim2lim5limxxxxxxxx25（2）223lim1xxx2223lim11xxxx2223limlim1lim1limxxxxxxx0（2）（3）223lim1xxx21lim23xxx0问题《追龟论》观点：假设兔子的速度是龟的10倍，龟在兔子前面100米，两者同时起跑.当兔子跑100米到龟的出发点，龟向前爬了10米，兔子再追10米，龟向前爬了1米，兔子继续跑了1米，龟向前爬了0.1米，再追0.1米，龟又向前爬了0.01米……这样，永远相隔一小段距离，兔子总追不上乌龟。1001010.10.010.001如何求：1001010.10.010.0011100(1)10lim1110nn10001lim(1)910nn10009