第10_1对弧长和曲线积分

第十章积分学定积分二重积分三重积分积分域区间域平面域空间域曲线积分曲线域曲面域曲线积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法机动目录上页下页返回结束对弧长的曲线积分第十章AB一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB,其线密度为“大化小,常代变,近似和,求极限”可得nk1M为计算此构件的质量,ks1kMkM),,(kkk1.引例:曲线形构件的质量采用机动目录上页下页返回结束设是空间中一条有限长的光滑曲线,义在上的一个有界函数,kkkksf),,(都存在,上对弧长的曲线积分,记作szyxfd),,(若通过对的任意分割局部的任意取点,2.定义下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数，称为积分弧段.曲线形构件的质量szyxMd),,(nk10limks1kMkM),,(kkk和对机动目录上页下页返回结束如果L是xoy面上的曲线弧,kknkksf),(lim10Lsyxfd),(如果L是闭曲线,则记为.d),(Lsyxf则定义对弧长的曲线积分为机动目录上页下页返回结束思考:(1)若在L上f(x,y)≡1,?d表示什么问Ls(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否!对弧长的曲线积分要求ds0,但定积分中dx可能为负.3.性质szyxfd),,()1(（k为常数)szyxfd),,()3((由组成)(l为曲线弧的长度)),,(zyxgszyxfd),,(szyxgd),,(21d),,(d),,(szyxfszyxf机动目录上页下页返回结束tttttfsdyxfLd)()()](,)([),(22二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路:计算定积分转化定理:且上的连续函数,证:是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分根据定义kknkksf),(lim10机动目录上页下页返回结束点),(kktttskkttkd)()(122,)()(22kkktnk10lim])(,)([kkf连续注意)()(22tt设各分点对应参数为对应参数为则nk10lim])(,)([kkf机动目录上页下页返回结束xdydsdxyo说明:,0,0)1(kkts因此积分限必须满足!(2)注意到22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述计算公式相当于“换元法”.因此机动目录上页下页返回结束如果曲线L的方程为则有如果方程为极坐标形式:),()(:rrL则)sin)(,cos)((rrf推广:设空间曲线弧的参数方程为)()(,)(),(:ttztytx则szyxfd),,(ttttd)()()(222xxd)(12d)()(22rrbaxxf))(,())(),(,)((tttf机动目录上页下页返回结束例1.计算其中L是抛物线与点B(1,1)之间的一段弧.解:)10(:2xxyL10xxxxd4110210232)41(121x)155(121上点O(0,0)1Lxy2xyo)1,1(B机动目录上页下页返回结束例2.计算半径为R,中心角为的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度=1).解:建立坐标系如图,RxyoLsyILd2d)cos()sin(sin2222RRRdsin23R0342sin22R)cossin(3R则)(sincos:RyRxL机动目录上页下页返回结束例3.计算其中L为双纽线)0()()(222222ayxayx解:在极坐标系下它在第一象限部分为)40(2cos:1arL利用对称性,得4022d)()(cos4rrr402dcos4ayox机动目录上页下页返回结束例4.计算曲线积分其中为螺旋的一段弧.解:szyxd)(222ttkakad][2022222)43(3222222kaka线机动目录上页下页返回结束例5.计算其中为球面被平面所截的圆周.解:由对称性可知sxd2szyxsxd)(31d2222sad312aa2312332asyd2szd2机动目录上页下页返回结束思考:例5中改为计算解:令11zZyYxX0:2222ZYXaZYX,则sXd)1(2332asXd2圆的形心在原点,故0XaX22,如何机动目录上页下页返回结束dds例6.计算其中为球面22yx解:,11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)sin2(18d22920Id2cos221z.1的交线与平面zx292z化为参数方程21cos2xsin2y则机动目录上页下页返回结束例7.有一半圆弧其线密度解:cosdd2RskFxsindd2RskFyRRoxy0dcos2RkFx0dsin2RkFy0cossin2Rk0sincos2Rk故所求引力为),(yx求它对原点处单位质量质点的引力.RkRkF2,4机动目录上页下页返回结束内容小结1.定义szyxfd),,(2.性质Lsyxfd),(szyxgzyxfd),,(),,()1(21d),,(d),,(d),,()2(szyxfszyxfszyxf),(21组成由lsd)3((l曲线弧的长度)),(为常数szyxgLd),,(机动目录上页下页返回结束3.计算•对光滑曲线弧Lsyxfd),(•对光滑曲线弧Lsyxfd),(baxxf))(,(Lsyxfd),()sin)(,cos)((rrf•对光滑曲线弧tttd)()(22xxd)(12d)()(22rr)](),([ttf机动目录上页下页返回结束思考与练习1.已知椭圆134:22yxL周长为a,求syxxyLd)432(22提示:0d2sxyL原式=syxLd)34(1222sLd12a12o22yx3利用对称性sxyLd2sxyLd2上sxyLd2下x2)(2x分析:机动目录上页下页返回结束2.设均匀螺旋形弹簧L的方程为(1)求它关于z轴的转动惯量;zI(2)求它的质心.解:设其密度为ρ(常数).syxILzd)(22202atkad222222kaa(2)L的质量smLd222ka而22kaa20dcostt0(1)机动目录上页下页返回结束22kaa20dsintt022kak20dtt2222kak故重心坐标为),0,0(k作业P1313(3),(4),(6),(7)5第二节目录上页下页返回结束xyo备用题1.设C是由极坐标系下曲线,ar0及4所围区域的边界,求a4xy0yar提示:分段积分机动目录上页下页返回结束2.L为球面2222Rzyx面的交线,求其形心.在第一卦限与三个坐标解:如图所示,交线长度为RozyxRR1L3L2LslLd31423R23R由对称性,形心坐标为321d1LLLsxlxyz321ddd1LLLsxsxsxl1d2Lsxl20dcos2RRl34R机动目录上页下页返回结束