第10_4对面积曲面积分

第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算法机动目录上页下页返回结束对面积的曲面积分第十章oxyz一、对面积的曲面积分的概念与性质引例:设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想,采用可得nk1M),,(kkk求质“大化小,常代变,近似和,求极限”的方法,量M.其中,表示n小块曲面的直径的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).机动目录上页下页返回结束SzyxMd),,(定义:设为光滑曲面,“乘积和式极限”都存在,的曲面积分Szyxfd),,(其中f(x,y,z)叫做被积据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为f(x,y,z)是定义在上的一个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面上对面积函数,叫做积分曲面.机动目录上页下页返回结束则对面积的曲面积分存在.•对积分域的可加性.,,21则有Szyxfd),,(1d),,(SzyxfSzyxgkzyxfkd),,(),,(21•线性性质.SzyxgkSzyxfkd),,(d),,(21在光滑曲面上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.•积分的存在性.若是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面机动目录上页下页返回结束oxyz定理:设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,存在,且有Szyxfd),,(yxDyxf),,(二、对面积的曲面积分的计算法则曲面积分证明:由定义知nk10limyxD),,(kkkyxk)(机动目录上页下页返回结束yxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22yxkkkykkxzz)(),(),(122yxkkkykkxzz)(),(),(122yxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),,(22)),(,,(kkkkzf)),(,,(kkkkzfSzyxfd),,(而(光滑)机动目录上页下页返回结束说明:zyDzyzyxx),(),,(zxDzxzxyy),(),,(或可有类似的公式.1)如果曲面方程为2)若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分.(见本节后面的例4,例5)机动目录上页下页返回结束yxD例1.计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解:2222:hayxDyx221yxzzzSd20da0)ln(2122222haraayxDyxayxa222dd22022dhararroxzyha机动目录上页下页返回结束思考:若是球面被平行平面z=±h截出的上下两部分,)(dzS)(dzS0hln4aa则hhoxzy机动目录上页下页返回结束例2.计算其中是由平面坐标面所围成的四面体的表面.ozyx111解:设上的部分,则4321,,,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1(1203与10d3xx4321Szyxd原式=分别表示在平面机动目录上页下页返回结束xozy例3.设2222:azyx计算.d),,(SzyxfI解:锥面22yxz的222yxaz1设,),(22122ayxyxDyx与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分,它在xoy面上的投影域为1yxD则1d)(22SyxI机动目录上页下页返回结束1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxddxozy1yxD机动目录上页下页返回结束思考:若例3中被积函数改为计算结果如何?例4.求半径为R的均匀半球壳的重心.解:设的方程为利用对称性可知重心的坐标,0yx而用球坐标cosRzddsind2RS20032dcossindR2002dsindR思考题:例3是否可用球面坐标计算?例3目录上页下页返回结束例5.计算.:2222Rzyx解:取球面坐标系,则0cos)cosd(2RRR02dcossinRR20d机动目录上页下页返回结束例6.计算其中是球面22yx利用对称性可知SzSySxdddSzyxId)(32222Szyxd)(34Sxd4Sxd4解:显然球心为,)1,1,1(半径为3x利用重心公式SxdSd).(22zyxz机动目录上页下页返回结束zzd例7.计算其中是介于平面之间的圆柱面分析:若将曲面分为前后(或左右)则HzRzRI022d2RHarctan2oHxyz解:取曲面面积元素两片,则计算较繁.机动目录上页下页返回结束oyxzL例8.求椭圆柱面位于xoy面上方及平面z=y下方那部分柱面的侧面积S.解:取SSdszLdttcosdcos45302sdzszSddsyLd机动目录上页下页返回结束例9.设有一颗地球同步轨道通讯卫星,距地面高度h=36000km,机动目录上页下页返回结束运行的角速度与地球自转角速度相同,试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比.(地球半径R=6400km)解:yzxohRR建立坐标系如图,覆盖曲面的半顶角为,利用球坐标系,则ddsind2RS卫星覆盖面积为SAd0202ddsinR)cos1(22RhRRcoshRhR22机动目录上页下页返回结束故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为24RA)(2hRh6610)4.636(21036%5.40由以上结果可知,卫星覆盖了地球31以上的面积,故使用三颗相隔32角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球全表面.说明:此题也可用二重积分求A(见下册P109例2).yzxohRR内容小结1.定义:iiiiSf),,(ni10lim2.计算:设,),(,),(:yxDyxyxzz则yxDyxf,,(),(yxz)221yxzzyxdd(曲面的其他两种情况类似)•注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧.机动目录上页下页返回结束思考与练习P158题1；3；4(1);7解答提示:P158题1.P158题3.yxDyxyxfSzyxfdd),,(d),,(设则0P184题2机动目录上页下页返回结束P158题4(1).oyxz2在xoy面上的投影域为yxzzSyxdd1d22yxDSyxyxSdd)(41d22这是的面积!2xyD机动目录上页下页返回结束P159题7.如图所示,有yxyxyxSzyxDdd1)(21d222235421rt令o21yxDzyx机动目录上页下页返回结束P184题2.设在第为1一卦限中的部分,则有().;d4d)(1SxSyB;d4d)(1SxSzCC(2000考研)机动目录上页下页返回结束作业P1584(3);5(2);6(1),(3),(4);8第五节目录上页下页返回结束备用题1.已知曲面壳求此曲面壳在平面z＝1以上部分的的面密度质量M.解:在xoy面上的投影为,2:22yxDyx故SMdrrrd41d322020)41d(418162202rryxyxyxDdd)(4132213机动目录上页下页返回结束2.设是四面体的表0,0,0,1zyxzyx面,计算解:在四面体的四个面上yxz1yxdd3xyxDyx10,10:1zyx11o0yxzddzxzDxz10,10:同上平面方程Sd投影域机动目录上页下页返回结束yyzzd)1(1d10210xxzzd)1(1d102102ln)13(233yyxxIxd)1(1d)13(10210机动目录上页下页返回结束