第一章测量误差数据处理不确定度的评定

-1-第一章实验数据处理的基本方法我们每做一个物理实验，都是先对这个实验中的物理现象进行观察，然后通过相应的测量获得一些实验数据，最后经过对这些数据的处理得到最终的实验结果。除了通过正确的原理和方法进行实验外，用正确的方法对实验数据进行处理，是获得合理的实验结果的关键。本章主要介绍实验数据处理的基本方法。其内容由两部分组成。第一部的主要内容是有效数字及其运算、实验误差的特点及克服方法、不确定度概念及其初步评定方法等。第二部的主要内容是列表法、作图法、逐差法等常用的实验数据处理方法。§1有效数字及其运算一、直接测量和间接测量我们知道，量度物质的属性或描述物质的运动状态所用的各种量值叫做物理量，如长度、速度、热量、功、电流强度等。测量是用实验方法获得物理量量值（测量值）的过程。按照测量值获得方法的不同，测量分为直接测量和间接测量两种。1.直接测量：是指不需要对被测量与其它实测量进行函数关系的辅助计算，直接从仪器或量具上得到被测量值的测量。例如：用直尺测量长度；以秒表计时间；用天平称质量；用电流表测电流等。这些用直接测量得到量值的物理量叫做直接测得量。2.间接测量是指从一个或几个直接测量结果按一定的函数关系计算出来的的过程。而用间接测量得到量值的物理量叫做间接测得量。例如：在伏安法测电阻的实验中，用电流表直接测量流过待测电阻的电流I，用电压表直接测量待测电阻两端的电压U，然后欧姆定律R=U/I计算电阻的阻值R的过程，就是间接测量。在这里，电流I和电压U是直接测得量，而电阻R是间接间接测得量。二、有效数字的定义由于种种原因，用任何实验仪器直接测量的数值都不可避免地含有一定的误差，因此，测得的数据都只能是近似数。由这些近似数通过计算而得到的间接测量值也一定是近似数。显然，几个近似数的运算不可能使运算结果更加准确，而只会使其误差增大。因此近似数的表示和计算都必须遵循一些规则，以便确切地表示和记录运算结果的近似性。这些规则就是有效数字及其运算规则。从仪器上读出的数字，通常都要尽可能估计到仪器最小刻度的下一位。以如图1-1所示的用米尺测量钢棒的长度为例，我们可以读出4.26cm，4.27cm或4.28cm，前二位“4.2”可以从米尺上直接读出来，是准确数字，而第三位数“6”，“7”或“8”是测量者估读出来的，估读的结果因人而异，因此这一位是有疑问的，叫做存疑数字（又叫做不可靠数字）。由于第三位已经存疑，-2-因此已没有必要估计它以后的各位数了。我们把仪器上直接读出的数字和最后一位估读的存疑数字，全部记录下来，叫做有效数字。也就是说，有效数字包括从仪器上直接读出的准确数字和最后一位存疑数字，即有效数字=准确数字+存疑数字而且也只有最后一位数字是存疑数字。结果用并且只用它的有效数字表示。上面所说的钢棒长度的测量值4.26cm，4.27cm或4.28cm包含三位有效数字。也就是说，有效数字的位数等于准确数字的位数加上存疑数字的位数（存疑数字的位数只能为1）。在以下的表述中，存疑数字下面标上下滑线。例：2.365（四位）；0.21008（五位）；0.0024（二位）；0.260（三位）；0.01230（四位）。三、有效数字的特点1.有效数字前面的“0”不是有效数字，而中间和后面的“0”都是有效数字。例：0.0003576，3.005，3.000都是四位有效数字。在上例中的0.01230和本例中的3.000最右边的“0”是有效位数，不可以省略不写。注意：实验中的数字与数学上的数字是不一样的。数学的8.35=8.350=8.3500，实验的8.35≠8.350≠8.3500（小数点后面的0是有意义的）。2.单位换算时，有效数字的位数不变。即有效数字的位数与小数点的位置无关。例：23.56cm=0.2356m=0.0002356km为了避免混淆，并使记录和计算方便，在写有效数字时，通常在小数点前一律取一位有效数字，然后乘上10的幂来表示，即naA10，且1≤a＜10这样写有效数字的方法，叫做科学记数法。图1-10cm24315-3-例：在上例中，我们可以这样写：23.56cm=2.356×101cm=2.356×10-1m=2.356×10-4km例：光速c=30km/s。不正确的写法：c=300000km/s；c=30km/s正确的写法：c=3.0×105km/s=3.0×108m/s3.有效数字的位数与被测物的大小和测量仪器的精密度有关。例如在图1-1中测得物体的长度为4.27cm，如果改用千分尺来测，其有效数字的位数有五位。四、直接测得量有效数字的读取直接测得量的有效数字来源于测量时所用的仪器。1.刻度式仪表（米尺、千分尺、读数显微镜、常用的电流表、电压表等），一般读数应读到最小分度，然后再估读一位，如图1-2所示。2.有时读数的估计位，就取在最小分度位。例如，仪器的最小分度值为0.5，则0.1~0.4，0.6~0.9都是估计的，不必估到下一位，如图1-3所示。3.游标类量具（游标卡尺、分光计度盘、大气压计等），读到游标分度值的整数倍。多数情况下不估读，特殊情况估读到游标分度值的一半。如图1-4所示读数：4.7cm图1-30cm24315图1-4读数：15.84mm6537890.02mm0421065374210图1-2读数：18.907mm-4-4.数字式仪表及步进读数仪器（电阻箱、电桥、电位差计、数字电压表等），不需估读。直接读取仪表的示值，如图1-5所示。5.若测量值恰为整数，必须补零，直接补到存疑位，如图1-6所示。6.特殊情况，直读数据的有效数字由仪器的灵敏阈决定。例如在“电表的改装”中，表头串联一个大电阻，改装成电压表时，由于线路灵敏度低，在确定串联电阻时，调节电阻箱上“×1Ω”挡时，表头上的反映已经不太灵敏，尽管最小步进值为“×0.1Ω”，电阻值只记录到“×1Ω”。五、间接测得量有效数字尾数的舍入规则如上所述，在对直接测得量进行测量时，必须用有效数字表示其量值。而要通过对有效数字进行运算得到间接得测量时，不可避免地会遇到间接得测量有效数字尾数的舍入问题。根据国家的相关标准，将运算结果中多余的存疑数字舍去时，本课程采用“4舍6入5凑偶”的方法则。根据这个法则，当要保留n位有效数字时，如果1.第n+1位数字≤4，就把它舍掉；2.第n+1位数字≥6时，则要向第n位数字进1；3.第n+1位数字＝5，并且后面的数字都为0，则第n位数字若为偶数时就把这个5舍掉；第n位数字为奇数时就向前进1；若第n+1位数字=5且后面还有不为0的任何数字时，无论第n位数字是奇数或偶数都进1。例：保留3位有效位数，则9.82462=9.82（∵0.004＜0.005。）7.62671=7.63（∵0.006＞0.005。）9.82500=9.82（5后面的数字都为0，并且它前面的2是偶数。）3.13500=3.14（5后面的数字都为0，并且它前面的3是奇数。）6.32502=6.33（5后面有不为0的数字）六、有效数字的运算1.总的原则：①准确数字与准确数字进行四则运算时，其结果仍为准确数字。图1-5读数：4.20cm图1-60cm24315-5-②准确数字与存疑数字以及存疑数字与存疑数字进行四则运算时，其结果均为存疑数字。③在最后的结果中只保留一位存疑数字，其后多余的存疑数字数字是无意义的，应按有效数字舍入规则截去。2.具体规则：①两数相加、减时，其结果的有效位数的最后（即最右）一位的位置与两数中最后一位位数高者的相同。例如：7.481266.481246.32.4789.4578.454.372.49②两数相乘、除时，其结果的有运算结果的有效位数与两数中有效位数少者相同。例如41099.155.449199.235.8342131467.1135.194.2569③乘方、开方运算最后结果的有效数字位数一般取与底数的有效数字位数相同。例如：66.53)532.7(237.58.32④指数、对数、三角等函数运算结果的有效数字位数由其改变量对应的数位决定。例如：在841567.023.2ln中2.32的存疑数字为0.02，那么我们将它的末位数改变1（即845868.033.2ln）后比较，看出发生改变的位置在小数点后的第三位（千分位）上，就能得知284.023.2ln。⑤常数π、e、1/3、2等常数的有效数字位数可以认为是无限的，应取足够的有效位数参与运算，直接根据计算器上的计算结果取用。⑥有效数字位数不能由数学或物理常数来确定。例如：在公式as2中，υ的计算结果不能由于“2”的存在而只取一位存疑数字，而要根据a和s来决定。以上这些结论，在一般情况下是成立的，有时会有一位的出入。为了防止数字截尾后运算引入新误差，在中间过程中，参与运算的数据可多取1至2有效数字。在当今计算机时代，对参与运算的数和中间运算结果都可不作修约，也可比传统方法估计的位数适当多取几位，只在最后结果表示前再作修约，这样可能更有利于实验效率的提高。-6-§2测量误差和测量不确定度一、测量误差的基本概念物理实验是以测量为基础的，但是测量结果都可能存在误差。可以说任何测量都不可能无限准确。测量误差的主要来源（1）仪器、装置引入的误差；操作读数时的视差影响（2）原理、方法引入的误差；（3）环境、条件引入的误差；（4）实验者引入的误差；误差的定义、分类及简要处理方法测量误差的定义测量结果y和被测量真值Yt之差称误差，记作dy误差dy＝测量值y－真值Yt误差被定义为“测量结果与被测量真值之差。一个量的真值，是在被观测时本身所具有的真实大小，只有完善（由理想测量得到的值）的测量才能得到真值，而实际上任何测量都有缺陷，因此真值是一个理想化的概念。由于其值无法确切地知道，所以误差也无法准确地知道。由于真值的不可知，误差实际上很难计算。有时可以用准确度较高的结果作为约定真值来计算误差。被测值的真值是一个理想的概念，一般说来真值是不知道的。在实际测量中常用准确度高的实际值来作为约定真值，才能计算误差。误差特性普遍性,小量误差的普遍性要求必须重视对测量结果的误差分析和不确定度评定，完整地表示测量结果。完整的测量结果应表示为测量对象，测量对象的量值，测量的不确定度，测量值的单位。（测量的四个要素：1)测量对象；2)测量方法；3)测量单位；4)测量不确定度）表示被测对象的真值落在(y,y)范围内的概率很大，的取值与一定的概率相联。误差主要分为两类：a)随机误差(可以由统计方法评定)；b)系统误差(则要具体问题具体讨论)yY-7-另一类因为读数错误、操作失当等原因造成的明显超出规定条件下预期值的误差，称为粗大误差。测量应避免出现粗大误差.已被谨慎地确定为含有粗大误差的个别数据要剔除。随机误差定义：重复测量中以不可预知方式变化的测量误差分量。例如：电表轴承的摩擦力变动;螺旋测微计测力在一定范围内随机变化;操作读数时的视差影响;数字仪表末位取整数时的随机舍入过程等等，都会产生一定的随机误差分量。如何处理随机误差分量？随机误差分量是测量误差的一部分，其绝对值大小和符号虽然不知道，但在相同条件下对同一量的多次重复测量中，它们的分布常常满足一定的统计规律。简要处理方法算术平均值标准偏差不确定度算术平均值大多数情况下，随机误差具有抵偿性。测量次数足够多时，符号为正的误差和符号为负的误差基本对称，能大致相消。因此，用多次测得值的算术平均值作为被测量的估计值，能减小随机误差的影响。设对同一量作了n次重复测量，测得值为Yi，平均值为：标准偏差随机误差使测得值Yi有分散性，分散性用实验标准偏差s表征，s的值直接体现了随机误差的分布特征。s大表示测得值分散，随机误差分布范围宽，测量精密度低；s小表示测得值密集，随机误差分布范围窄，测量精密度高。s可由贝塞耳公式算出:系统误差定义：重复测量中保持恒定或以可预知方式变化的测量误差分量。系统误差分类已定系统误差niiyny11-8-未定系统误差已定系统误差(必须修正)指符号和绝对值已经确定的误差分量。实验中应尽量消除