第一章矢量分析.

电磁场与电磁波聊城大学物理科学与信息工程学院第1章矢量分析1第1章矢量分析电磁场与电磁波聊城大学物理科学与信息工程学院第1章矢量分析2本章内容1.1矢量代数1.2三种常用的正交曲线坐标系1.3标量场的梯度1.4矢量场的通量与散度1.5矢量场的环流和旋度1.6无旋场与无散场1.7拉普拉斯运算与格林定理1.8亥姆霍兹定理电磁场与电磁波聊城大学物理科学与信息工程学院第1章矢量分析31.标量和矢量矢量的大小或模：AA矢量的单位矢量：标量：大小AAeA矢量的代数表示：AeAeAAA1.1矢量代数矢量：大小方向矢量的几何表示：注意：单位矢量不一定是常矢量。A矢量的几何表示常矢量：大小和方向均不变的矢量。电磁场与电磁波聊城大学物理科学与信息工程学院第1章矢量分析4（1）矢量的加减法)()()(zzzyyyxxxBAeBAeBAeBA两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线,如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律2.矢量的代数运算矢量的加法BAAB矢量的减法BAABB在直角坐标系中两矢量的加法和减法：结合律()()ABCABCABBA交换律电磁场与电磁波聊城大学物理科学与信息工程学院第1章矢量分析5（2）标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）zzyyxxkAekAekAeAkcosABBAABBA——矢量的标积符合交换律1zzyyxxeeeeee0xzzyyxeeeeeeAB矢量与的夹角ABABAB0BA//ABABzzyyxxBABABABA电磁场与电磁波聊城大学物理科学与信息工程学院第1章矢量分析6（4）矢量的矢积（叉积）sinABeBAn)()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAeBAzyxzyxzyxBBBAAAeeeBAABBAsinABBABA矢量与的叉积AB用坐标分量表示为写成行列式形式为BAABBA若，则BA//0BA若，则xeyeze电磁场与电磁波聊城大学物理科学与信息工程学院第1章矢量分析7（5）矢量的混合运算CBCACBA)(CBCACBA)()()()(BACACBCBACBABCACBA)()()(——分配律——分配律——标量三重积——矢量三重积电磁场与电磁波聊城大学物理科学与信息工程学院第1章矢量分析8三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。1.2三种常用的正交曲线坐标系三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。电磁场与电磁波聊城大学物理科学与信息工程学院第1章矢量分析91.直角坐标系（1）三维空间中一点p(x,y,z),其矢径为rzeyexerzyxxeyezezyeeyzeexyeezezexeyxee1zzyyxxeeeeee0zyzxyxeeeeeexe（2）单位矢量间的运算规则线元矢量zeyexerzyxddddroxyzxyz),,(zyxpxeyeze点P(x0,y0,z0)0yy（平面）oxyz0xx（平面）0zz（平面）Pxezeye电磁场与电磁波聊城大学物理科学与信息工程学院第1章矢量分析10以p点为参考点，沿取微元zyxeee,,dzdydx,,组成六面体面积元为：xxedydzsd)e(x垂直与yedxdzsdy)e(y垂直与zzedxdysd)e(z垂直与体积元为：dxdydzd（3）直角坐标系下面积元和体积元xyzodzdydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd电磁场与电磁波聊城大学物理科学与信息工程学院第1章矢量分析112.柱坐标系（2）单位矢量间的运算规则zeeRz（1）eezezeeeezeeeeez1zzeeeeee0zzeeeeee（3）柱坐标与直角坐标关系zzyxsincosxyzeezeR),,(zPzzeeeRzdddd线元矢量电磁场与电磁波聊城大学物理科学与信息工程学院第1章矢量分析12（4）柱坐标与直角坐标单位矢量的变换关系xxePyoyeeeyxeeesincosyxeeecossin类似，求出eeeeeeyxcossinsincos电磁场与电磁波聊城大学物理科学与信息工程学院第1章矢量分析13微分体元:微分面元:zedddseddzdseddzdsz（5）面积元和体积元dzdddzddd电磁场与电磁波聊城大学物理科学与信息工程学院第1章矢量分析143.球坐标系reRr（1）（2）单位矢量间的运算规则reeeeeerreeeeree1eeeeeerr（3）柱坐标与直角坐标关系cossinsincossinrzryrxyxzyxzyxreeeeeeeeeeecossinsinsincoscoscoscossinsincossin（注意：各坐标取值范围）rexyezRe),,(rp线元矢量dsindddrerereRr电磁场与电磁波聊城大学物理科学与信息工程学院第1章矢量分析15ddrdrdrdrrddsinsin2（4）面积元和体积元微分面元:微分体元:edrrddsedrdrdserdrdsrsinddsinrdsinr2电磁场与电磁波聊城大学物理科学与信息工程学院第1章矢量分析161.3标量场的梯度如果物理量是标量，称该场为标量场。例如：温度场、电位场、高度场等。如果物理量是矢量，称该场为矢量场。例如：流速场、重力场、电场、磁场等。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：、),,,(tzyxu),,,(tzyxF确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场、),,(zyxu),,(zyxF静态标量场和矢量场可分别表示为：电磁场与电磁波聊城大学物理科学与信息工程学院第1章矢量分析171.标量场的等值面标量场的等值线(面)等值面:标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。Czyxu),,(等值面方程：•常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；•标量场的等值面充满场所在的整个空间；•标量场的等值面互不相交。等值面的特点：意义:形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。电磁场与电磁波聊城大学物理科学与信息工程学院第1章矢量分析18u(M0)lu(M)Δl方向导数的概念2.方向导数意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。00coscoscos|limMluuuuullxyz概念：l0ul•——u(M)沿方向增加；l0ul•——u(M)沿方向减小；l0ul•——u(M)沿方向无变化。xyzo电磁场与电磁波聊城大学物理科学与信息工程学院第1章矢量分析19方向导数的计算公式：00coscoscos|limMluuuuullxyz——的方向余弦。l式中：coscoscos、、dldzzudldyyudldxxulu特点：方向导数既与点M0有关，也与方向有关。l问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？3.标量场的梯度（或）graduu意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向.概念：，其中是场量u变化率最大方向的单位矢量。maxnuegradunne电磁场与电磁波聊城大学物理科学与信息工程学院第1章矢量分析20是等值面上p1点法线方向单位矢量，它指向增长的方向。表示过p2点的任一方向。nˆlˆ1cuu01210121cos,0,0pppppppp时当p1p0p2nˆl等值面等值面1cu2cuθ4、方向导数与梯度的关系：lululnnunuluˆˆgradˆˆcos1cospnu21120)()(lim211pppupuluppP01100)()(limcos01pppupupp该式表明沿某一方向的方向导数就是梯度在该方向上的投影。电磁场与电磁波聊城大学物理科学与信息工程学院第1章矢量分析216、梯度的表达式：zueueueuz1圆柱坐标系ureurerueursin11球坐标系zueyuexueuzyx直角坐标系333222111111uheuheuhe一般坐标系：算符既具有微分性质又具有(矢量)方向性质。标量场梯度等于标量函数沿三个坐标轴的变化率。电磁场与电磁波聊城大学物理科学与信息工程学院第1章矢量分析22•标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。•标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。5、梯度的性质：梯度运算的基本公式：uufufuvvuuvvuvuuCCuC)()()()()(0•标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）电磁场与电磁波聊城大学物理科学与信息工程学院第1章矢量分析23例1.3.1计算及，这里的R为点与点间距离。)1(R)1('R),,(zyxQ)',','(zyxP且0Rzeyexezyx''''zeyexezyx)',','(zyxQ),,(zyxP'rrRyxzo解：222)'()'()'(zzyyxxRR因此同理;)1(3RyyRy这一关系在电磁场的计算中经常用到，称为源点，场点。)',','(zyxQ),,(zyxP32'1)1(RxxxRRRx32''1)1('RxxxRRRx3)1(RzzRz)1(')1(3RRRR)1(R)1)((Rzeyexezyx)1('Ry3Ryy)1('Rz3Rzz电磁场与电磁波聊城大学物理科学与信息工程学院第1章矢量分析241.4矢量场的通量与散度1.矢量线),,(d),,(d),,(dzyxFzzyxFyzyxFxzyx矢量线方程推导：概念矢量线OMFdrrrdrzzyyxxFeFeFeFzeyex