第一讲函数极限与连续性(2013基础班第一章)

§1函数一、函数的定义域设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应。那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A其中x叫做自变量，自变量x的取值范围A叫做定义域，与x的值相对应的值y叫做函数值，函数值的集合{f(x)︳x∈A}叫做函数的值域。第一讲函数、极限与连续性二、函数定义域的求法求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的一切自变量的集合注意事项：最终结果要写成区间或集合[a,b](a,b)[a,b)(a,b][a,+∞)(a,+∞)(-∞,b](-∞,b)(-∞,+∞)xx满足的条件常见函数对自变量的要求：1()0nxnx是偶数1()0nxnx是偶数tan2xxklog,ln0axxxcotxxk第一讲函数、极限与连续性三、求函数表达式的方法直接代入法（直接代入法一般都是给出函数的具体解析式，求其他函数的表达式，比较简单）2()2fxx2224()()22fxxx2242(())(2)222ffxxxx(())()fxx对于形如的变量代换函数一般采用法和拼凑法(())(())ftt两种方法利用的原理都是若()()fxx则第一讲函数、极限与连续性四、反函数的求法原函数必须是一一映射才有反函数；单调函数一定有反函数；原函数与反函数关于直线y=x对称；原函数的定义域是反函数的值域；原函数的值域是反函数的定义域。1()yfx()yfx第一讲函数、极限与连续性五、函数的性质1.函数的有界性oyxM-My=f(x)X有界M-MyxoX0x无界则称函数,,0,XxMDX若Mxf)(有成立，f(x)在X上有界.否则称为无界.(2)有界与否是和X有关的.(1)当一个函数有界时，它的界是不唯一的.注意:第一讲函数、极限与连续性2.函数的奇偶性偶函数yx)(xf)(xfyox-x)(xf,Dx设函数f(x)的定义域为D关于原点对称,对于有f(-x)=f(x)恒成立,则称f(x)为偶函数;偶函数的图形关于y轴对称.函数y=cosx是偶函数.第一讲函数、极限与连续性奇函数)(xfyx)(xfox-x)(xfy设函数f(x)的定义域为D关于原点对称,对于,Dx有f(-x)=-f(x)恒成立,则称f(x)为奇函数.奇函数的图形关于原点对称.函数y=sinx是偶函数.函数y=sinx+cosx既非奇函数,又非偶函数.第一讲函数、极限与连续性函数奇偶性常见结论奇*奇=偶偶*偶=偶奇*偶=奇偶*奇=奇()()fxfx一定是偶函数()()fxfx一定是奇函数奇函数导数是偶函数偶函数导数是奇函数导数是奇函数的函数一定是偶函数导数是偶函数的函数不一定是奇函数内层是奇函数，函数奇偶性与外层奇偶性相同内层是偶函数，函数一定是偶函数第一讲函数、极限与连续性3.函数的单调性)(xfy)(1xf)(2xfxyoI及设函数f(x)的定义域为D,区间,DI),()(21xfxf1x如果对于区间I上任意两点,2x当时,恒有21xx则称函数f(x)在区间I上是单调增加的;第一讲函数、极限与连续性)(xfy)(1xf)(2xfxyoI及设函数f(x)的定义域为D,区间,DI),()(21xfxf则称函数f(x)在区间I上是单调减少的;如果对于区间I上任意两点1x,2x21xx当时,恒有第一讲函数、极限与连续性4.函数的周期性2l2l23l23l函数sinx,cosx的周期是.2函数tanx的周期是.（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.)()(xflxf一Dx有,)(Dlx且恒成立,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个正数l,使得对于任第一讲函数、极限与连续性六、初等函数1.复合函数定义:设函数)(ufy的定义域为,1D函数u=g(x)在D上有定义,且,)(1DDg则由下式确定的函数Dxxgfy,)(称为由函数u=g(x)和函数构成的复合函数,它的定义域为D,变量u称为中间变量.)(ufy函数g与函数f构成的复合函数通常记为.gf第一讲函数、极限与连续性2.基本初等函数oxy)1,1(112xyxyxy1xy(1)幂函数Rxy(是常数)第一讲函数、极限与连续性xayxay)1()1(a)1,0((2)指数函数)1,0(aaayxxey第一讲函数、极限与连续性(3)对数函数)1,0(logaaxyaxylnxyalogxya1log)1(a)0,1(第一讲函数、极限与连续性(4)三角函数xysin正弦函数xysin第一讲函数、极限与连续性xycosxycos余弦函数第一讲函数、极限与连续性正切函数xytanxytan第一讲函数、极限与连续性(5)反三角函数xyarcsin反正弦函数[1,1],[,]22xy第一讲函数、极限与连续性xyarccosxyarccos反余弦函数[1,1],[0,]xy第一讲函数、极限与连续性xyarctan反正切函数(,),(,)22xy幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.第一讲函数、极限与连续性3.初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数2xxeeshx双曲正弦2xxeechx双曲余弦xxxxeeeechxshxthx双曲正切第一讲函数、极限与连续性补充内容：数列的极限1.定义:设{nx}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正整数N,使得当Nn时，不等式axn都成立,那么就称常数a是数列{nx}的极限,或者称数列{nx}收敛于a,记为,limaxnn或).(naxn一、数列极限的概念与性质2.性质存在性惟一性有界性第一讲函数、极限与连续性二、数列极限的计算方法1.无穷大分裂法——分子分母同除以分母的最高次幂分子次数高结果为无穷大（极限不存在）分母次数高结果为零分子分母次数相同结果为最高次数系数比2.利用等差、等比数列求和公式1()2nnaanS1(1)(1)1nnaqSqq第一讲函数、极限与连续性3.裂项消项法4.夹逼法专门解决和式数列的方法第一讲函数、极限与连续性22212lim()nnnnn例1.解：原式=222(1)12limlim22nnnnnnnn111lim[...]1223(1)nnnn例2.解：原式=11111lim[(1)()...()]2231nnnn1lim(1)1nnnlim()1nnne1e第一讲函数、极限与连续性22233312lim()12nnnnnn例3.解：放大222222333333121212nnnnnnnnn3(1)(21)6nnnn3(1)(21)6nnnn3(1)(21)1lim63nnnnn于是，缩小222222333333121212nnnnnnnnnnnn3(1)(21)6nnnnn3(1)(21)6()nnnnn第一讲函数、极限与连续性3(1)(21)1lim6()3nnnnnn于是，综上，有222333121lim()123nnnnnn【注1】通过以上例题，我们可以发现，上述三种方法都是解决含有“和式”的数列极限。【注2】数列本身就是一种函数，因此对于x→∞时的所有函数极限的计算方法（后面学习的各种方法）都适用于数列极限。以上三种方法是专门针对于数列极限计算的方法。§2函数的极限无穷大与无穷小一、函数极限的概念自变量变化过程的六种形式:0xlim()xfxAlim()xfxAlim()xfxA0lim()xxfxA0lim()xxfxA0lim()xxfxA第一讲函数、极限与连续性0x1A2A0x0()fx00lim()()xxfxfx0x1A2A01lim()xxfxA02lim()xxfxA0()fx00lim()lim()xxxxfxfxA0xA0x1A2A0012lim()lim()xxxxfxAfxA第一讲函数、极限与连续性0x1A0x1A2AA001lim()lim()xxxxfxAfx00lim()lim()xxxxfxfx21lim()lim()xxfxAfxAlim()lim()0xxfxfxlim()lim()xxfxfxA第一讲函数、极限与连续性二、函数极限的性质1.唯一性0lim()xxfx若存在，则其极限值是唯一的2.局部有界性00lim()()xxfxfxx若存在，则在的某邻域0,0x设与是两个实数且。0,x点叫做这邻域的中心.叫做这邻域的半径00(,){}Uxxxx00{}xxxx数集称为点的,邻域0(,)Ux记作000(,){}Uxxxxx),(aax0x0x0x00,Ux（）有界空心邻域（不含）0x3.局部保号性000lim()0(0),,()0(()0xxfxAAAUxfxfx若，且或则在（）有或)4.无穷小量乘有界量仍是无穷小量5.有限个无穷小量的和、差、积是无穷小量第一讲函数、极限与连续性三、无穷小的概念及其阶的比较时,函数(或)x则称函数为1.定义若(或)x则时的无穷小0lim()0xxfx0lim()0xxfxlim()0xfxlim()0xfxlim()0xfx0lim()0xxfx2.无穷小阶的比较20lim03xxx203limxxx0sinlim1xxxlim()0lim()0xx00()lim0()1xxcx　　　　　称是比高阶无穷小，记=（）称是比低阶无穷小，记=（）称与是同阶无穷小，称与是等价无穷小，记　　第一讲函数、极限与连续性第一讲函数、极限与连续性四、极限运算法则lim(),lim(),(1)lim[()()]lim()lim();(2)lim[()()]lim()lim();()lim()(3)lim,0.()lim()fxAgxBfxgxfxgxABfxgxfxgxABfxfxABgxgxB设则其中推论1lim(),,lim[()]lim().fxccfxcfx如果存在而为常数则lim(),,lim[()][lim()].nnfxnfxfx如果存在而是正整数则推论2复合函数的极限运算法则设函数y=f[g(x)]是由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成,f[g(x)]在点的某去心领域内有定义,若0x,)(lim,)(lim000AxfuxgxxxxAufxgfuuxx)(lim)]([lim00则五、函数极限计算的方法不定式（未定式）当分子分母都是无穷小或都是无穷大时，两个函数之比的极限可能存在也可能不存在，即使极限存在也不能用“商的极限等于极限的商”这一运算法则，这种极限称为不定式极限。0,00常见的不定式有：0001求函数极限时，贯穿始终的思想是直接代入，而大多数函数是不可以的，原因是它们都是不定式，所以我们就必须利用各种方法将原函数变成可以直接代入的函数（定式）第一讲函数、极限与连续性1.无穷大分裂法2.无穷小分裂法比较分子、分母的