第一讲初等数学在物理竞赛中的应用

北京四中物理竞赛讲义《第六章数学知识》第1页共5页第一讲初等数学在物理竞赛中的应用一、函数1．正比例函数0kkxyk为常数2．反比例函数0kxkyk为常数3．一次函数0b0kbkxyk、b为常数4．二次函数0acbxaxy2a为常数（1）当2abx时，函数有极值4ab4acy2。若a0，函数有极小值；若a0，函数有极大值。（2）函数是否存在y=0的x值，取决于4acb2例题1．质量为M的均匀板AB与水平面呈夹角θ斜靠在墙角，B通过铰链固定在水平地面上，A端与竖直光滑面接触，如图所示。现有一质量为m的小物体（可视为质点）从A端静止释放，小物体与板之间的动摩擦因数为μ（μtanθ）。求A端对竖直墙压力的最大值和最小值。例题2．如图所示，原长L0为100cm的轻质弹簧放置在一光滑的直槽内，弹簧的一端固定在槽的O端，另一端连接一小球。这一装置可从水平位置开始绕O点缓缓地转到竖直位置。设弹簧的形变总是在其弹性限度内。试在下述（a）、（b）两种情况下，分别求出这种装置从原来的水平位置开始缓缓地绕O点转到竖直位置时小球离开原水平面的高度h0。（a）在转动过程中，发现小球距原水平面的高度变化出现极大值，且极大值hm为40cm。（b）在转动过程中，发现小球离原水平的高度不断增大。例题3．甲、乙两物体相距s，同时同向运动。乙在前面作加速度为a1、初速度为零的匀加速运动；甲在后作加速度为a2、初速度为v0的匀加速运动，则()xyo正比例函数k0k0xyo二次函数k0k0xyo一次函数bxyo二次函数a0AB北京四中物理竞赛讲义《第六章数学知识》第2页共5页A．若a1＝a2，只能相遇一次B．若a1＞a2，可能相遇两次C．若a1＜a2，可能相遇两次D．若a1＞a2，不可能不相遇例题4．一辆自行车沿水平直路以速度v匀速前进，车轮半径为R，与地面之间没有相对滑动。如果没有挡泥板，求从车轮上抛出的小泥块上升的最大高度和对应的抛出点的位置。二、不等式1．不等式的基本性质（略）2．均值不等式nnnaaanaa112a1（ai0）(1)若naa21a为定值时，当且仅当a1=a2=…=an时，nnaaa11有最大值(naa21a)/n。(2)若nnaaa11为定值时，当且仅当a1=a2=…=an时，naa21a有最小值nnnaaa11。3．三角不等式1sinθ11cosθ1例题1．如图所示，一堵墙高4m。一水枪喷口与墙角在同一水平面，且距离墙角3m。不计空气阻力，g=10m/s2。求水枪喷出的水能越过墙的最小速度及对应的水枪的仰角。例题2．A、B两个质量都是M的恒星相距L。现有一质量为m的彗星C沿AB的垂直平分线进入A、B的引力作用区域。求彗星的最大加速度。例题3．在美丽的草原上，有一半径为r=10km的湖泊，湖上鸟儿嬉戏，宁静而充满生机，令人神往。在距离湖心d=80km处有一条笔直的公路，一人从公路旁距离湖心s=160km的小镇，开车去湖边。汽车在公路上行驶的速度为v1=80km/h，在草原上行驶的速度为v2=40km/h，问用时最短的行驶路线，并求最短时间。4m3mox80°40°PABCds北京四中物理竞赛讲义《第六章数学知识》第3页共5页例题4．如图所示，斜面底边长为定值b，小物体从斜面顶端A从静止开始自由滑下，小物体与斜面间的动摩擦因数为μ。求斜面的倾角θ=？时，小物体从A滑到B历时最短。三、三角函数和差角公式:二倍角公式：升降幂公式:三倍角公式:半角公式:万能公式:ABb北京四中物理竞赛讲义《第六章数学知识》第4页共5页四、求极值的方法1、代数方法（1）二次函数的极值（2）利用一元二次方程的判别式（3）利用不等式（4）配方例题．如图所示，单位长度质量为m0、总长度为L的链条放在光滑桌面上，链条将自由滑动。求拐角处A点链条的张力的最大值。2、利用三角函数例题1．如图所示，在倾角为θ的斜面正上方有一固定点P，由P点到斜面上任意一点Q搭一根光滑细杆，现从P点由静止释放一套在细杆上的小圆环，请确定小圆环从P点滑到Q点，所用时间最短时，Q点的位置。例题2．在仰角α=π/6的雪坡上举行跳台滑雪比赛，如图所示。运动员从坡上方A点开始下滑，到起跳点O时借助设备和技巧，保持在该点的速率而以与水平成θ角的方向起跳，最后落在坡上B点，坡上OB两点距离L为此项运动的记录。已知A点高于O点h=50m，运动员从坡上方A点滑到起跳点O的速度大小为2gh。忽略各种阻力、摩擦，求最远可跳多少米，此时起跳角为多大？3、利用几何方法例题1．如图所示，地面上有一固定的球面，球的斜上方P处有一小球。现需要确定一条从P到球面的光滑斜直轨道，使小球从静止开始沿轨道滑行到球面上所用时间最短。例题2．某人由A点出发，要与在公路上的一人接头，然后立即赶往B点，设此人一直以恒定的速率运动，要使此过程用时最短，接头地点应选在何处？4、利用物理方法（1）加速度a=0时，物体的速度有极值；（2）同一直线上运动的两个物体速度相等时，距离有极值；APhABθαＯ.PAB公路北京四中物理竞赛讲义《第六章数学知识》第5页共5页五、圆锥曲线在平面解析几何中，把圆、椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线。它们的标准方程分别是：1、圆：22020Ryyxx)()(圆心坐标（x0，y0），半径为R2、椭圆：1byax2222（ab0）中心坐标（0，0），半长轴为a，半短轴为b，半焦距22bac，离心率1ace0，准线方程cax23、双曲线：1byax2222（a0b0）中心坐标（0，0），实轴长为2a，虚轴长为2b，半焦距22bac，离心率1ace，准线方程cax2，渐近线xaby4、抛物线：2pxy2顶点坐标（0，0），焦点坐标（,02p），离心率e=1，准线方程2px圆锥曲线的一般形式为：0FEyDxCyBxyAx22（A、B、C不能同时为0）（1）若04ACB2，对应的曲线为椭圆或圆；（2）若04ACB2，对应的曲线为抛物线；（3）若04ACB2，对应的曲线为双曲线；圆锥曲线还具有以下光学性质：（1）椭圆：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后，汇聚于椭圆的另一个焦点；（2）抛物线：从抛物线的焦点发出的光线经过抛物面反射后，变成平行光线；（3）双曲线：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线面反射后，反向延长线汇聚于双曲线的另一个焦点；例题1、一个礼花弹竖直向上发射，达到最高点时爆炸。爆炸成的各碎片都以相同的速率v0向四面八方炸开。设爆炸点距离地面高H，求碎片散落的面积。例题2、一敌舰正在进入我领海，在敌舰后面留下两道涌浪线，根据卫星观察，发现两道涌浪线为与敌舰前进方向成45o夹角的直线。已知水波的传播速度为v0。试确定敌舰的运动性质。