自控第三章练习题

3-1a系统结构图如图3-1所示。（1）当r(t)=t，n(t)=t时，试求系统总稳态误差；（2）当r(t)=1(t)，n(t)=0)时，试求σp，tp。C(s)图3-1N(s)4s(2s+1)解：1.令2111100200222201N(s)=0R(s)=()1()1()1()()1()1lim()lim()1()11(21)11limlim4(21)441(21)1R(s)=0N(s)=()1()1()lim()ssssssssssEsRsGsEsRsGsesEssRsGsssssssssssEsRsGsesEs012111lim1()40ssssssssGsseee2．2222212()()42()1()(21)422221120.177242%100%56.8%2.26()1nnnnnpnCsGssRsGssssssets3-4a某控制系统如图3-5所示。其中控制器采用增益为Kp的比例控制器，即Gc(s)=Kp试确定使系统稳定的Kp值范围。C(s)R(s)图3-51s(0.1s+1)(0.2s+1)Gc(s)解：系统的闭环传递函数为GB(s)=)()12.0)(11.0()()()(sGssssGSRSCcc系统的闭环特征方程为32()(0.11)(0.21)230100100DssssKpsssKp列劳斯列阵32021003010030100210030100ssKpKpssKp若要使系统稳定，其充要条件是劳斯列表的第一列均为正数，得稳定条件为100Kp0030100*2100*30pK求得Kp取值范围：0Kp153-6b设单位反馈系统的开环传递函数为()(1)(1)36KGssss，若要求闭环特征方程根的实部均小于－1，试问K应在什么范围取值？如果要求实部均小于－2，情况又如何？解系统的闭环传递函数()BGs：()(1)(1)36BKGssssK系统的闭环特征方程为32()(1)(1)36918180ssDssKsssK1）要求Re(Si)-1求K取值范围，令s=Z-1代入特征方程32(Z-1)9(Z-1)18(Z-1)180K32Z6Z318100ZK显然，若新的特征方程的实部小于0，则特征方程的实部小于-1。劳斯列阵：320Z13Z618102818Z6Z1810KKK要求Re(Si)-1根据劳斯判据，令劳斯列表的第一列为正数，则有1810K059K281806K149K所以要求Re(Si)-1，51499K2）求Re(Si)-2，令s=Z-2代入特征方程3232(Z-2)9(Z-2)18(Z-2)18Z3Z61880KZK劳斯列阵:320Z16Z31881810Z3Z188KKK818K，有2根在新虚轴－2的右边，即稳定裕度不到2。3-8b设单位反馈系统的开环传递函数为(1)()(1)(21)KsGssTss，试确定参数K和T的稳定域。解由1＋G（s）=0可得系统的特征方程为322(2)(1)0TsTsKsK于是可构造劳斯列阵如下320S21S22(2)S2STKTKTKTTK根据劳斯判据，要使系统稳定其劳斯表的第一列元素必须全为正的，即T0K0T+2-K(T-2)0故系统稳定时参数K和T的取值范围为202TKT2T相应的K和T的稳定域，如图3-10所示。图3-103-10b系统方框图如图3-12所示。希望所有特征根位于s平面上s=-2+jw的左侧，且ξ≥0.5。用阴影线表示出特征根在s平面上的分布范围，并求出相对应的K、T取值范围。C(s)R(s)图3-12Ks(Ts+1)解：令ξ=0.5，则arctan(21)/ξ=arctan3=60。。特征根的分布范围见例图3-13。φ(s)=C(s)/R(s)=K/(Ts2+s+K)=(K/T)/(s2+s/T+K/T)可得wn=√K/Tξ=1/2√K/T令ξ≥0.5，得KT≤1K≤1/T(3-5)由特征方程Ts2+s+K=0知，系统稳定的条件是K0T0(3-6)特征根的实部是-1/(2T)，令-1/(2T)-2，得T1/4(3-7)由式（3-5-3-7）可绘出所要求的参数范围，如例图3-14所示。-260o0ImRe[S]图3-1324K12T1/4图3-143-11b设控制系统的结构图如图3-15所示，其输入信号为单位斜坡函数（即r(t)=t）.要求：(1)当=0和11K时，计算系统的暂态性能（超调量p和调节时间st）以及稳态误差；（2）若要求系统的单位阶跃相应的超调量p％＝16.3，峰值时间pt＝1s，求参数1K和的值。以及这时系统的跟踪稳态误差；（3）若要求超调量p＝16.3％和当输入信号以1.5度/秒均匀变化时跟踪稳态误差sse＝0.1度，系统参数1K和的值应如何调整？解：由结构图可得，系统的开，闭环传递函数为111010110()(110)[1]110kKKGsssss212221()10()1()(110)102knknnGsKsGsssKss（3-8）可见它时一个二阶规范系统，系统的开环增益为K＝Kv＝110110K（1）当K1=0和=0（即局部反馈回路断开）时由3-8式可得这时系统的闭环传递函数为21122111()2nnnsss式中1103.16/nrads111/(2)0.16n。于是由二阶系统性能指标表达式，则可求得系统的性能为211/11100%60.1%pe11136snts11110.110ssveKK（2）当p％＝16.3和pt＝1s时由二阶规范系统的暂态性能指标表达式可得11163.02221/222nptep从而解得628.35.0)]/1[ln()/1ln(2222npp而由（式3-8）得2121013.16nK2211023.628n从而可得系统的参数为图3-15K1＝1.316τ＝0.263系统跟踪单位斜坡输入信号的稳态误差为esr2=1/Kv=1/K=(1+10τ)/(10K1)=0.28（3）当p＝16.3％和esr＝0.1度时，由超调量p＝16.3％可求得对应的阻尼比为ξ3=0.5，根据题意r(t)＝1.5t。于是由式3-8可得1.0)10/()101(5.1/5.11012101333123KKeKvsrnn113)101(5.110101KKn联立求解，则可求得这时参数的值为：K1=22.5τ=1.43-12b图3-16所示的位置随动系数为1型的，当输入信号为斜坡函数时存在稳态误差。为了使该系统跟踪斜坡信号无稳态误差，可采用复合控制的方式，如图3-17所示。试确定其前馈补偿装置的传递函数Gc(s)。解由结构图可得，系统的误差传递函数为（缺图3-16）1Gc(s)(1)(1)Gc(s)()()()(1)1(1)mmemmKsTssTsKEssKRssTsKsTs于是在斜坡输入信号r(t)=Rt作用下，系统的跟踪稳态误差为2000(1)Gc(s)()lim()()limlim(1)(1)mcsesssmsTsKGsRRessRssKsTsKsKs令0se则可求得跟踪斜坡信号无稳态误差时，所应引入的前馈补偿装置的传递函数为()csGsK图3-173-13b系统如图3-18所示，其中扰动信号n(t)=1(t)。仅仅改变K1的值，能否使系统在扰动信号作用下的误差终值为-0.099?C(s)R(s)图3-18K110(0.1s+1)(0.2s+1)(0.5s+1)N(s)E(s)解：110)15.0)(12.0)(11.0(10)()(KssssNsE若N(s)=1/s，则由终值定理知，若系统稳定，则稳态误差终值为essn(∞)=110010110110)15.0)(12.0)(11.0(10lim)(limKsKssssssEss设essn(∞)=-0.099，可得K1=10。系统的特征方程式是s3+17s2+80s+100+1000K1=0列劳斯表s3180s217100+1000K1s117100010013601Ks0100+1000K1系统稳定的条件是-0.1K11.26。当K1=10时，系统不稳定，可见仅改变K1值，不能使误差终值为-0.099。