第七章差分方程模型

第7章差分方程模型7.1市场经济中的蛛网模型7.3差分形式的阻滞增长模型7.4按年龄分组的种群增长§7.1市场经济中的蛛网模型例1蛛网模型问题[问题的提出]蛛网模型现象供大于求-价格下降-减少产量↑数量与价格在振荡↓增加产量-价格上涨-供不应求提出的问题1.描述商品数量与价格的变化规律2.商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定3.当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定[模型分析与假设]蛛网模型设kx~第k时段商品数量；ky~第k时段商品价格消费者的需求关系→需求函数)(kkxfy→减函数生产者的供应关系→供应函数)(1kkyhx→增函数↓)(1kkxgyf与g的交点P0(x0,y0)~平衡点一旦xk=x0，则yk=y0xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0fxy0gx0y0P0方程模型在P0点附近用直线近似曲线)(kkxfy→)0()(00xxyykk)(1kkyhx→)0()(001yyxxkk)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk1)/1(0xxkP0稳定gfKK1)/1(kxP0不稳定gfKK方程模型与蛛网模型的一致fKgK/1[模型的求解]考察α,β的含义xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格)(00xxyykkα~商品数量减少1单位,价格上涨幅度)(001yyxxkkβ~价格上涨1单位,(下时段)供应的增量α~消费者对需求的敏感程度α小,有利于经济稳定β~生产者对价格的敏感程度β小,有利于经济稳定→1经济稳定经济不稳定时政府的干预办法1.使α尽量小，如α=0→需求曲线变为水平→以行政手段控制价格不变2.使β尽量小，如β=0→供应曲线变为竖直→靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0x0gf[模型的推广]生产者管理水平提高)(1kkyhx↓生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。211kkkyyhx设供应函数为]2/)[(0101yyyxxkkk需求函数不变)(00xxyykk→,2,1,)1(22012kxxxxkkk二阶线性常系数差分方程若x0为平衡点研究平衡点稳定，即k,xk→x0的条件012)1(22xxxxkkk方程通解kkkccx2211(c1,c2由初始条件确定)2,1~特征根，即方程2**+αβ+αβ=0的根平衡点稳定，即k,xk→x0的条件:12,148)(22,1→22,1平衡点稳定条件2比原来的条件1放宽了7.3差分形式的阻滞增长模型连续形式的阻滞增长模型(Logistic模型)x(t)~某种群t时刻的数量(人口))1()(Nxrxtxt,x→N,x=N是稳定平衡点(与r大小无关)离散形式yk~某种群第k代的数量(人口),2,1),1(1kNyryyykkkk若yk=N,则yk+1,yk+2,…=Ny*=N是平衡点讨论平衡点的稳定性，即k,yk→N？离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性)1()1(1Nyryyykkkk→kkkyNrryry)1(1)1(1↓变量代换kkyNrrx)1()2()1(1kkkxbxx1rb记一阶(非线性)差分方程(1)的平衡点y*=N--(2)的平衡点brrx111*讨论x*的稳定性一阶非线性差分方程)1()(1kkxfx的平衡点及稳定性(1)的平衡点x*——代数方程x=f(x)的根(1)的近似线性方程)2())(()(***1xxxfxfxkk稳定性判断x*也是(2)的平衡点1)(*xfx*是(2)和(1)的稳定平衡点1)(*xfx*是(2)和(1)的不稳定平衡点)1(1kkkxbxx的平衡点及其稳定性1rb平衡点)1()(xbxxfx→bx11*另一平衡点为x=0稳定性)21()(**xbxfb21)(*xf--31b--x*稳定1)0(bf不稳定)1)((3*xfb--x*不稳定21)1(b→2/1/11*bx*xxk（单调增）)1(1kkkxbxx的平衡点及其稳定性32)2(b→2/1/11*bx3)3(b*xxk（振荡地）*xxk（不）Kb=1.7b=2.6b=3.3b=3.45b=3.5500.20000.20000.20000.20000.200010.27200.41600.52800.55200.5680数值计算结果)1(1kkkxbxx初值x0=0.2b3,x→bx11*b=3.3,x→两个极限点b=3.45,x→4个极限点b=3.55,x→8个极限点倍周期收敛——x*不稳定情况的进一步讨论3.3b*xxk（不）*212*12,xxxxkk子序列单周期不收敛2倍周期收敛)(1kkxfx(*))())(()()2(12kkkkxfxffxfx))((xffx)]1(1)[1(xbxxbxb)1()(xbxxf(*)的平衡点bx11*bbbbx23212*2,1)(),(*1*2*2*1xfxxfx10*2**1xxxx*不稳定，研究x1*,x2*的稳定性倍周期收敛bbbbx23212*2,1的稳定性20.33660.63170.82240.85320.871130.37960.60490.48200.43220.3987………………930.41180.61540.47940.44740.5405940.41180.61540.82360.85300.8817950.41180.61540.47940.43270.3703960.41180.61540.82360.84690.8278970.41180.61540.47940.44740.5060980.41180.61540.82360.85300.8874990.41180.61540.47940.43270.35481000.41180.61540.82360.84690.81272)2()]([])([xfxf)()())(())((*2*1)2()2(*2*1xfxfxfxfxxxx)21()(xbxf)21)(21())((*2*12,)2(*2*1xxbxfxxx1))((*2,1)2(xf→449.361b*212*12,xxxxkk倍周期收敛的进一步讨论1))'((45.3*2,1)2(xfb→x1*,x2*(及x*)不稳定出现4个收敛子序列x4k,x4k+1,x4k+2,x4k+3平衡点及其稳定性需研究)()4(4kkxfx1))'((45.3*2,1)2(xfb544.3449.3b时有4个稳定平衡点→4倍周期收敛2n倍周期收敛,n=1,2,…bn~2n倍周期收敛的上界b0=3,b1=3.449,b2=3.544,…n,bn→3.57b3.57,不存在任何收敛子序列→混沌现象)1(1kkkxbxx的收敛、分岔及混沌现象7.4按年龄分组的种群增长不同年龄组的繁殖率和死亡率不同以雌性个体数量为对象x1*x2*x*b=3.4y=f(2)(x)y=xx0b建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律[假设与建模]种群按年龄大小等分为n个年龄组，记i=1,2,…,n时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,…第i年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi第i年龄组在1时段内的死亡率为di,存活率为si=1-dixi(k)~时段k第i年龄组的种群数量)()1(11kxbkxinii(设至少1个bi0)000000121121nnnsssbbbbL~Leslie矩阵(L矩阵)Tnkxkxkxkx)](),(),([)(21~按年龄组的分布向量)()1(kLxkx)0()(xLkxk预测任意时段种群按年龄组的分布[数学知识的分析]L1，nkk,3,2,1特征向量Tnnssssssx11121212111*,,,,1若L矩阵存在bi,bi+10,则nkk,,3,2,1且*1)(limcxkxkk,c是由bi,si,x(0)决定的常数解释)0()(xLkxkL对角化11)],([PdiagPLn11)],([PdiagPLknkkP的第1列是x*→)0()0,0,1()(lim11xPPdiagkxkk*cx[模型的求解]稳态分析——k充分大种群按年龄组的分布*1)(limcxkxkk*)()1xckxk~种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布,与初始分布无关。)()1()2kxkx→)()1(kxkxii~各年龄组种群数量按同一倍数增减，称固有增长率3）=1时*)()1(cxkxkxTnssssssx121211*,,,1~各年龄组种群数量不变=1时**xLxTnssssssx121211*,,,1↓000000121121nnnsssbbbbL→1121121nnsssbsbb~1个个体在整个存活期内的繁殖数量为1,)()4*xckxkTnssssx],,,,1[1211*→1,,2,1),()(1nikxskxiii~存活率si是同一时段的xi+1与xi之比（与si的定义)()1(1kxskxiii比较）