第七章应力和应变分析.

明德砺志博学笃行§7-1应力状态概述§7-2二向和三向应力状态的实例§7-3二向应力状态分析——解析法§7-4二向应力状态分析——图解法§7-5三向应力状态§7-8广义胡克定律§7-9复杂应力状态的应变能密度§7-10强度理论概论§7-11四种常用强度理论第七章应力和应变分析明德砺志博学笃行§7-1应力状态概述问题的提出:为什么塑性材料拉伸时会出现滑移线？为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？明德砺志博学笃行20coscosp2sin2sin0p单向应力状态明德砺志博学笃行2sin2cos纯剪切应力状态明德砺志博学笃行重要结论不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力；不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。明德砺志博学笃行过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态。应力哪一个截面上？哪一点？指明明德砺志博学笃行应力表示——单元体：dzdydxBCD①dx、dy、dz（微小的正六面体）②单元体某斜截面上的应力就代表了构件内对应点同方位截面上的应力。PABCDB、C——单向受力，τ＝0A——纯剪切，σ＝0D——既有σ，又有τ明德砺志博学笃行主平面——单元体的三个相互垂直的面上都无切应力。主应力——主平面上的正应力（也是单元体内各截面上正应力的极值）。通过结构内一点总可找到三个相互垂直的截面皆为主平面。对应的有三个主应力，相应的用、、来表示，它们按代数值的大小顺序排列，即123321明德砺志博学笃行应力都不等于零）空间应力状态（三个主不等于零的主应力）平面应力状态（有两个—复杂应力状态个不等于零的主应力）单向应力状态（只有一—简单应力状态明德砺志博学笃行§7-2二向和三向应力状态的实例42DpF02plDl0sin2plDdDplFN2pDDpD42明德砺志博学笃行明德砺志博学笃行§7-3二向应力状态分析——解析法平面应力状态的普遍形式：在常见的受力构件中，在两对平面上既有正应力σ又有切应力τ。可将该单元体用平面图形来表示。xxyy明德砺志博学笃行σ、τ正负号规定：σ——拉为正，压为负；τ——以对微单元体内任意一点取矩为顺时针者为正，反之为负；xyx单元体各面上的已知应力分量、和、，确定任一斜截面上的未知应力分量，从而确定该点处的主应力和主平面。yxyxxyy明德砺志博学笃行规定：截面外法线同向为正；a绕研究对象顺时针转为正；逆时针为正。一、任意斜截面上的应力xyOxxyynyxyx明德砺志博学笃行设：斜截面面积为A，由分离体平衡得：Fn00cossinsinsincoscos22AAAAAyxyxyxxyOxxyynyxyx2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx同理：n明德砺志博学笃行02cos22sin:000xyyxdd令二、极值应力yxxy22tg0和两各极值：）、（由此的两个驻点：20101！极值正应力就是主应力00）2222xyyxyxminmax±（明德砺志博学笃行xyxxyyO主单元体max在剪应力相对的项限内，且偏向于x及y大的一侧。0dd:1令xyyx22tg1222xyyxminmax±）（01045,4成即极值剪应力面与主面21明德砺志博学笃行例分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并画其原始单元体求极值应力0yxPxyWT22minmax22xyyxyx）（2xyxyCyxMCxyOxyyx明德砺志博学笃行破坏分析22minmax2xyyx）（321;0;4522tg00yxxy0022tg11xyyxMPa200;MPa240:ss低碳钢MPa300~198;MPa960~640MPa280~98:bybLb灰口铸铁低碳钢铸铁明德砺志博学笃行例图示应力状态（单位：Mpa），求：（1）斜截面上的应力；（2）主应力的大小；（3）主平面方位，并在单元体上绘出主平面位置和主应力方向；（4）最大切应力。解：（1）易知30MPax40MPay20，MPaxy10MPaxyxyx4.262sin2cos)(21)(21MPaxyx66.132cos2sin)(21明德砺志博学笃行（2）主应力大小MPaxyxyx1.444)()(2122maxMPaxyxyx9.154)()(2122minMPaMPaMPa09.151.44321，，故，（3）主平面方位122tan0yxx5.1575.670或法线与x轴夹角为67.5º的主平面上对应的是2。明德砺志博学笃行（4）最大切应力MPa1.22221max明德砺志博学笃行§7-4二向应力状态分析——图解法2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx222222xyyxyx对上述方程消去参数（2），得：xyOxxyynyxyxn明德砺志博学笃行建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）二、应力圆的画法在坐标系内画出点A(x，xy)和B(y，yx)AB与a轴的交点C便是圆心。以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆；xxyyxyOnaOaaCA(x,xy)B(y,yx)x2anD(a,a)明德砺志博学笃行三、单元体与应力圆的对应关系面上的应力(，)应力圆上一点(，)面的法线应力圆的半径两面夹角两半径夹角2；且转向一致。xxyyxyOnaOaaCA(x,xy)B(y,yx)x2anD(a,a)明德砺志博学笃行223122xyyxyxROC）（半径四、在应力圆上标出极值应力22minmaxminmax22xyyxR）（半径OCaaA(x,xy)B(y,yx)x2a1minmax2a0123明德砺志博学笃行3080°0.203060°0.60.4-40-40例已知求此单元体在＝30°和＝-40°两斜截面上的应力。，，MPaMPayx2.01，，MPaMPayxxy2.02.0明德砺志博学笃行例：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁件受扭转时的破坏现象。解：1．取单元体ABCD，其中，，这是纯剪切应力状态。,0yxxyPWT明德砺志博学笃行2．作应力圆主应力为，并可确定主平面的法线。31,明德砺志博学笃行3．分析纯剪切应力状态的两个主应力绝对值相等，但一为拉应力，另一为压应力。由于铸铁抗拉强度较低，圆截面铸铁构件扭转时构件将沿倾角为45º的螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。明德砺志博学笃行例求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)4532532595150°明德砺志博学笃行34532532595150°AB12解：主应力坐标系如图AB的垂直平分线与a轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆。012BAC20(MPa)(MPa)O20MPa)325,45(B)325,95(A在坐标系内画出点明德砺志博学笃行主应力及主平面如图02012032130034532532595150°AB12012BAC20(MPa)(MPa)O20MPa明德砺志博学笃行2cos2sin2xyyx4532532595150°解法2—解析法：分析——建立坐标系如图xyyxyMPa325MPa45?x222122xyyxyx）（60°MPa325MPa956060xyO明德砺志博学笃行主单元体：六个平面都是主平面123若三个主应力已知，求任意斜截面上的应力:§7-5三向应力状态明德砺志博学笃行1122333321明德砺志博学笃行123明德砺志博学笃行112233明德砺志博学笃行123明德砺志博学笃行112233明德砺志博学笃行123明德砺志博学笃行123这样，单元体上与主应力之一平行的各个斜截面上的正应力和剪应力，可由三个应力圆圆周上各点的坐标来表示。明德砺志博学笃行123至于与三个主方向都不平行的任意斜截面，弹性力学中已证明，其应力σn和τn可由图中阴影面内某点的坐标来表示。明德砺志博学笃行•在三向应力状态情况下：max1123•τmax作用在与σ2平行且与σ1和σ3的方向成45°角的平面上，以τ1，3表示min3max132明德砺志博学笃行例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力。（应力单位为MPa）。明德砺志博学笃行MPa2.422.524022030220302231解：MPa502max.132472MPa明德砺志博学笃行例求图示应力状态的主应力和最大剪应力（应力单位为MPa）。123MPaMPaMPaMPa50505025013max解：明德砺志博学笃行例试根据图a所示单元体各面上的应力作出应力圆，并求出主应力和最大切应力的值及它们的作用面方位。(a)明德砺志博学笃行解:1.图a所示单元体上正应力z=20MPa的作用面(z截面)上无切应力，因而该正应力为主应力。2.与主平面z截面垂直的各截面上的应力与主应力z无关，故可画出显示与z截面垂直各截面上应力随截面方位角变化的应力圆。(a)明德砺志博学笃行从圆上得出两个主应力46MPa和-26MPa。这样就得到了包括z=20MPa在内的三个主应力。他们按代数值大小排序为1＝46MPa，2＝20MPa，3＝-26MPa。(b)(a)3.依据三个主应力值作出的三个应力圆如图b所示。明德砺志博学笃行2a0＝34˚可知为a0＝17˚且由x截面逆时针转动，如图c中所示。(c)(b)明德砺志博学笃行4.最大切应力max由应力圆上点B的纵座标知为max＝36MPa，作用在由1作用面绕2逆时针45˚的面上(图c)。(c)(b)明德砺志博学笃行§7-8广义胡克定律一、单拉下的应力--应变关系ExxxyExzE二、纯剪的应力--应变关系Gxyxy)0x,y,z(i,jij)(0x,y,zii0zxyzxyzsxxyzxy明德砺志博学笃行三、复杂状态下的应力---应变关系依叠加原理,得:zyxzyxxEEEE1xzyyE1yxzzE1GxyxyGyzyzGzxzxzyxxE1xyzszyxyx明德砺志博学笃行当单元体三个平面皆为主平面时，2133132232111