第七章玻耳兹曼统计教案

热力学与统计物理课程教案主讲教师：11热力学与统计物理课程教案授课内容(教学章节):第七章玻耳兹曼统计主讲教师：授课地点授课班级教材分析:本章根据玻耳兹曼分布讨论了玻色系统和费米系统的热力学性质。用统计物理学的方法研究了麦克斯韦速度分布律和能量均分定理，理想气体的内能和热容量，理想气体的熵等。并且展示了热力学与统计物理的一些应用，如顺磁性固体；和前沿问题如负温度状态的实现等等。因此，本章在阐述基本理论的同时，有意识的培养学生的科研探究能力，激发他们对前沿领域的兴趣，为将来的学习和工作奠定基础。教学目标:知道热力学量的统计表达式，能应用玻耳兹曼统计讨论理想气体的物态方程，理解麦克斯韦速度分布律和能量均分定理，知道理想气体的内能和热容量以及理想气体的熵，知道固体热容量的爱因斯坦理论、负温度状态等前沿科学。教学重点与教学难点:教学重点：热力学量的统计表达式，麦克斯韦速度分布律，能量均分定理的统计意义，固体热容量的爱因斯坦理论，负温度状态。教学难点：理热力学量的统计表达式，想气体的内能和热容量，负温度状态。教学内容7.1热力学量的统计表达式7.2理想气体的物态方程7.3麦克斯韦速度分布律7.4能量均分定理7.5理想气体的内能和热容量7.6理想气体的熵7.7固体热容量的爱因斯坦理论7.8顺磁性固体7.9负温度状态教学方法与手段以讲授为主，结合多媒体教学，其中麦克斯韦速度分布律和能量均分定理采用热学和统计方法对比的方法进行教学，负温度状态采用讨论法展开教学。课后作业：P2867.17.27.47.57.87.97.117.127.137.147.167.20小论文1、负温度的物理意义以及如何实现负温度状态的？2、根据经典统计的能量均分定理讨论理想气体的热容量，所得结果与实验结果不符合的几个问题如何解释？教材与参考资料教材：热力学与统计物理汪志诚高等教育出版社热力学与统计物理课程教案主讲教师：22第七章玻耳兹曼统计7.1热力学量的统计表达式一、定域系统的内能、广义力和熵统计表达式在§6.8说过,定域系统和满足经典极限条件的玻色系统都遵从玻耳兹曼分布。本章根据玻耳兹曼分布讨论这两类系统的热力学性质。本节首先推导热力学量的统计表达式。内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均值.所以lβεαlllllleωεεaU①引入函数1Z:lβεlleεZ1②名为粒子配分函数。由式lβεαlleωN②，得：1ZeeωeNαlβεlαl③上式给出参量与N和1Z的关系,可以利用它消去式①中的。经过简单的运算,可得：11lnZβZNeωβeeωεeUlβεlαlβεllαll④式④是内能的统计表达式。在热力学中讲过,系统在程中可以通过功和热量两种方法与外界交换能量。在无穷小过程中，系统在过程前后内能的变化dU等于在过程中外界对系统所作的功Wd及系统从外界吸收的热量Qd之和：QdWddU。如果过程是准静态的,Wd可以表达为Ydy的形式,其中dy是外参量的改变量,Y是外参量y相应的外界对系统的广义作用力。粒子的能量是外参量的函数。由于外参量的改变,外界施于处于能级lε的一个粒子的力为yεl。因此，外界对系统的广义作用力Y为：11ln11ZyβNZyβeeωyβeeωyεayεYαlβεlαβεαllllllll⑤热力学与统计物理课程教案主讲教师：33式⑤是广义作用力的统计表达式。它的一个重要例子是：1lnZVβNP在无穷小的准静态过程中,当外参量有dy的改变时,外界对系统所作的功是：llllllεdaayεdyYdy将内能lllεaU求全微分,有：lllllldaεεdadU上式指出,内能的改变可以分成两项，第一项是粒子分布不变时由于能级改变而引起的内能变化，第二项是粒子能级不变时由于粒子分布改变所引起的内能变化。在热力学中讲过,系统在过程中从外界吸收的热量与过程有关，因此Qd不是全微分而只是一个无穷小量。根据热力学第二定律可以证明,Qd有积分因子T1,用T1乘Qd后得到完整微分dS：dSYdydUTQdT11代入热力学基本方程，可得：dyyZNZdNYdydUQd11lnln因为配分函数1Z是yβ、的函数，1lnZ的全微分为：dyyZβdβZZd111lnlnln因此，得：11lnlnZββZNdYdydUβ既然β和T1都是Qd的积分因子，可以令：kTβ1根据微分方程关于积分因子的理论,当微分方程有一个积分因子时,它就有无穷多个积分因子,任意两个积分因子之比是S的函数。由11lnlnZββZNkddS积分可得：11lnlnZββZNkS讨论熵的统计意义。将③式取对数，得：αNZlnln1代入可得：lllaβεαNNkUβNαNNkSlnln热力学与统计物理课程教案主讲教师：44而由玻耳兹曼分布lβεαlleωa可得：lllaωβεαln所以S可以表为：llllllaaωaNNkSlnlnln比较可得：lnkS上式称为玻耳兹曼关系。玻耳兹曼关系给熵函数以明确的统计意义。某个宏观状态的熵等于玻尔兹曼常量k乘以相应微观状态数的对数。在热力学部分曾经说过，熵是混乱程度的量度，就是指上式而言的。某个宏观状态对应的微观状态数越多，它的混乱程度就愈大，熵也愈大。二、满足经典极限条件的玻色(费米)系统热力学量的统计表达式上述熵的表达式适用于粒子可分辨的系统（定域系统）。对于满足经典极限条件的玻色（费米）系统，由玻耳兹曼分布直接导出的内能和广义力的统计表达式仍适用。由于这些系统的微观状态数为!/..NBM，如果要求玻耳兹曼关系仍成立，熵的表达式应改为：!ln..NkSBM。综上所述可以知道，如果求得配分函数1Z，就可以求得基本热力学函数内能、物态方程和熵，从而确定系统的全部平衡性质。因此1lnZ是以yβ、为变量的特性函数。在热力学部分讲过，以VT、为变量的特性函数是自由能TSUF。代入可得：1111lnlnlnlnZNkTZββZNkTZβNF或!lnln1NkTZNkTF两式分别适用于定域系统和满足经典极限条件的玻色（费米）系统。讨论经典统计理论中热力学函数的表达式。配分函数为：lrlβεhωeZl01。取lω足够小，上式的求和可化为积分：rrrqpβεrlβεhdpdpdpdqdqdqehωdeZl02121,01热力学与统计物理课程教案主讲教师：55只要将配分函数改为上式，内能、物态方程和熵的统计表达式将保持不变。7.2理想气体的物态方程一、用玻耳兹曼分布推导理想气体的物态方程作为玻耳兹曼统计最简单的应用，本节讨论理想气体的物态方程。在§6.8说过，一般气体满足经典极限条件，遵从玻耳兹曼分布，我们将本节结束前对此详细加以分析。为明确起见，考虑单原子分子理想气体。后面将说明，所得结果对双原子分子或多原子分子理想气体是同样适用的。在一定近似下，可以把单原子分子看作没有外场时，可以把单原子分子理想气体中分子的运动看作粒子在容器内的自由运动。其能量表达式为22221zyxpppmε①。其中zyxppp、、的可能值由式给出。不过在宏观大小的容器内，动量值和能量值实际上是连续的。在zyxdpdpdxdydzdp范围内，分子可能的微观状态数为：3hdpdpdxdydzdpzyx配分函数为：zyxpppmβdpdpdxdydzdpehZzyx2222311②积分可得：2/3212βhmπVZ其中dxdydzV是气体的体积。可求理想气体的压强为：VNkTZVβNP1ln③上式是理想气体的物态方程。玻耳兹曼常量的数值就是将上式与实验测得的物态方程相比较而求得的。对于双原子或多原子分子，分子的能量除式①给出的平动能量外，还包括转动、振动等能量。由于计及转动、振动能量后不改变分函数1Z对V的依赖关系，热力学与统计物理课程教案主讲教师：66根据式求物态方程仍将得到式③。如果应用经典统计理论求理想气体的物态方程，应将分子平动能量的经典表达式代入配分函数式，积分后得到的配分函数与式②相同，只有的hh0的差别，由此得到的物态方程与式③完全相同。所以在这问题上，由量子统计理论和由经典统计理论得到的结果是相同的。值得注意，在这问题上，除了玻耳兹曼分布适用外，能量ε是准连续的变量。二、经典极限条件最后作一简略的估计，说明一般气体满足经典极限条件1αe。由于NZeα/1。将式②的1Z代入，可将经典极限条件表为：122/32hmkTπNVeα由上式可知，如果（1）VN/愈小，即气体愈稀薄；（2）温度愈高；（3）分子的质量m愈大，经典极限条件愈易得到满足。经典极限条件1αe也往往采用另一方式表述。将上改写为：1212/1mkTπhNV分子的德布罗意波长为εmhphλ2。如果将ε理解为分子热运动的平均能量，估计为kTπ，则上式右方可以理解为德布罗意波的平均热波长。左方是气体中分子的平均距离，所以经典极限条件也往往表述为气体中分子间的平均距离远大于德布罗意波的热波长。以VNn表分子的数密度，则上式也可表达为：13λn。7.3麦克斯韦速度分布律一、推导麦克斯韦速度分布律本节根据玻耳兹曼分布研究气体分子质心的平移运动，导出气体分子的速度分布律。设气体含有N个分子，体积为V。在§7.2已经说明，气体满足经典极限条热力学与统计物理课程教案主讲教师：77件，遵从玻耳兹曼分布，而且在宏观大小的容器内，分子的平动能可以看作准连续的变量。因此在这问题上，量子统计理论和经典统计理论给出相同的结果（0h的数值对结果没有影响）。为明确起见，在本节中我们用经典统计理论进行讨论。玻耳兹曼分布的经典表达式是：rlβεαlhωeal0①在没有外场时，分子质心运动能量的经典表达式为22221zyxpppmε在体积V内，在zyxdpdpdp的动量范围内，分子质心平动的状态数为：30hdpdpVdpzyx因此，在体积V内，质心平动动量在zyxdpdpdp范围内的分子数为zyxpppmβαdpdpdpehVzyx222230②参数由总分子数为N的条件定出：NdpdpdpehVzyxpppmβαzyx222230③将积分求出，整理后可得：2/3202mkTπhVNeα④将式④代入式②，即可得质心动量在zyxdpdpdp范围内的分子数为：zyxpppmkTdpdpdpemkTπNazyx222212/321⑤这结果与0h数值的大小无关。如果用速度作变量，以zyxvxv、、代表速度的三个分量：zzyyxxmvpmvpmvp,,代入式⑤便可得在zyxdvdxdv范围内的分子数为：热力学与统计物理课程教案主讲教师：88zyxvvvkTmdvdvdvekTπmNazyx22222/32⑥以VNn表单位体积内的分子数，则在单位体积内，速度在zyxdvdxdv内的分子数为：zyxvvvkTmzyxzyxdvdvdvekTπmndvdvdvvvvfzyx22222/32,,⑦函数zyxvvvf,,满足条件：ndvdvdvvvvfzyxzyx,,⑧式⑦就是熟知的麦克斯韦速度分布律。引入速度空间中的球极坐标φθv,,,以球极坐标的体积元φdθdvdθvsin2代替直角坐标的体积元zyxdvdvdv，对φθ,积分后可得，在单位体积内，速率在dv范围内的分子数为