第三章4曲线与方程(一).

4.1曲线与方程(一)1.了解曲线和方程的概念.2.理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的含义.学习目标yxbk222()()xaybr为什么?复习回顾:我们研究了直线和圆的方程.1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线L的方程为____________2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是______________3.圆心为C(a,b),半径为r的圆C的方程为_______________________.x-y=0满足关系：（1）、如果00(,)Mxy00(,)Mxy是圆上的点，那么一定是这个方程的解·0xyM·方程表示如图的圆图像上的点M与此方程有什么关系？222()()xaybr222()()xaybr的解，那么以它为坐标的点一定在圆上。00(,)Mxy（2）、如果是方程222()()xaybr思考:(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.定义:1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系;方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形.f(x,y)=00xy一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:说明:2.“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”,阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.由曲线的方程的定义可知:如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么点P0(x0,y0)在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0第一步，设M(x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；归纳:证明已知曲线的方程的方法和步骤第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明点M(x0,y0)在曲线C上.知识梳理小结：曲线的方程、方程的曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)；(2).那么，这个方程叫做；这条曲线叫做.答案方程的曲线曲线上点的坐标都是这个方程的解以这个方程的解为坐标的点都在曲线上曲线的方程例1:判断下列命题是否正确解:(1)不正确，应为x=3,(2)不正确，应为y=±1.(3)正确.(4)不正确,应为x=0(-3≤y≤0).(1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程为︱x︱=3(2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1(3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程为︱xy︱=1(4)△ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)，D为BC中点，则中线AD的方程x=0题型一曲线与方程的概念练习1.下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是()解析对于A，点(0，－1)满足方程，但不在曲线上，排除A；对于B，点(1，－1)满足方程，但不在曲线上，排除B；对于C，曲线上第三象限的点，由于x0，y0，不满足方程，排除C.解析答案12345D练习2：已知坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么()A.曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)＝0B.凡坐标不适合f(x，y)＝0的点都不在曲线C上C.不在曲线C上的点的坐标必不适合f(x，y)＝0D.不在曲线C上的点的坐标有些适合f(x，y)＝0，有些不适合f(x，y)＝0C答案反思与感悟判断方程是不是曲线的方程的两个关键点：一是检验点的坐标是否适合方程；二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上.解析答案反思与感悟例2方程(2x＋3y－5)(x－3－1)＝0表示的曲线是什么？题型二由方程判断其表示的曲线解因为(2x＋3y－5)(x－3－1)＝0，所以可得2x＋3y－5＝0，x－3≥0，或者x－3－1＝0，即2x＋3y－5＝0(x≥3)或者x＝4，故方程表示的曲线为一条射线2x＋3y－5＝0(x≥3)和一条直线x＝4.反思与感悟判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线.解析答案跟踪训练2方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是()A.两个点B.四个点C.两条直线D.四条直线B12345解析由已知得x2－4＝0，y2－4＝0，∴x＝±2，y＝±2即x＝2，y＝2或x＝2，y＝－2或x＝－2，y＝2或x＝－2，y＝－2.选B.解析答案跟踪训练3“(2x＋3y－5)[log2(x＋2y)－3]＝0”，其表示什么曲线？解因为(2x＋3y－5)[log2(x＋2y)－3]＝0，所以可得2x＋3y－5＝0，x＋2y0，或者x＋2y＝8，即2x＋3y－5＝0(x10)或者x＋2y＝8，故方程表示的曲线为一条射线2x＋3y－5＝0(x10)(去除端点)和一条直线x＋2y＝8.题型三曲线与方程关系的应用例3若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求k的取值范围.解∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，∴a2＋a2＋2a＋k＝0.∴k＝－2a2－2a＝－2(a＋12)2＋12.解析答案反思与感悟∴k≤12，∴k的取值范围是(－∞，12].反思与感悟(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上.(2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题.解析答案跟踪训练3(1)已知方程y＝a|x|和y＝x＋a(a0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是()A.a1B.0a1C.0a1或a1D.a∈∅A解析∵a0，∴方程y＝a|x|和y＝x＋a(a0)的图象大致如图，要使方程y＝a|x|和y＝x＋a(a0)所确定的两条曲线有两个交点，则要求y＝a|x|在y轴右侧的斜率大于y＝x＋a的斜率，∴a1.解析答案返回(2)已知直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝1－x2有两个公共点，求b的取值范围.消去x，得到2y2－2by＋b2－1＝0(y≥0).l与C有两个公共点，等价于此方程有两个不等的非负实数解，解由方程组y＝x＋b，y＝1－x2，得y＝x＋b，x2＋y2＝1y≥0.可得Δ＝4b2－8b2－10，y1＋y2＝b0，y1y2＝b2－12≥0，解得1≤b2.所以b的取值范围为[1，2).1.“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2x”的()当堂检测12345解析答案A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件B解析∵y＝－2x≤0，而y2＝4x中y可正可负，∴点M在曲线y2＝4x上时，点M不一定在y＝－2x上.反之，点M在y＝－2x上时，点M一定在y2＝4x上.解析答案2.方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是()A.两个点B.四个点C.两条直线D.四条直线B12345解析由已知得x2－4＝0，y2－4＝0，∴x＝±2，y＝±2即x＝2，y＝2或x＝2，y＝－2或x＝－2，y＝2或x＝－2，y＝－2.选B.3.下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是()解析对于A，点(0，－1)满足方程，但不在曲线上，排除A；对于B，点(1，－1)满足方程，但不在曲线上，排除B；对于C，曲线上第三象限的点，由于x0，y0，不满足方程，排除C.解析答案12345D4.已知0≤α2π，点P(cosα，sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为()解析答案A.π3B.5π3C.π3或5π3D.π3或π6解析由(cosα－2)2＋sin2α＝3，得cosα＝12.又0≤α2π，∴α＝π3或α＝5π3.C12345解析答案123455.过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1与l2分别与x轴，y轴交于A，B两点，则AB中点M的轨迹方程为____________.解析设M(x，y)，如图，由直角三角形的性质可知|PM|＝|MO|，即(x－1)2＋(y－1)2＝x2＋y2，∴x＋y－1＝0.x＋y－1＝0课堂小结1.曲线的方程和方程的曲线必须满足两个条件：曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上.2.点(x0，y0)在曲线C上的充要条件是点(x0，y0)适合曲线C的方程.3.方程表示的曲线的判断步骤：4.判断方程表示曲线的注意事项：(1)方程变形前后要等价，否则变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线.(2)当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想.返回