第三章一维扩散方程

第三章一维扩散方程本章讨论一维扩散方程。首先，从随机过程中的一维扩散方程的讨论可直接得到扩散方程的解。然后对非齐次和各类边值问题相应的扩散方程作了讨论。讨论的方程类型（1）直线上的齐次和非齐次扩散方程：2,,0(,0)()txxucuxtuxx；（利用随机过程的理论得到结论，再直接验证）(,),,0(,0)()txxukufxtxtuxx；（算子方法，与常微分方程类比）（2）半直线上的扩散方程0,0,0(,0)(),(0,)0txxukuxtuxxut；（其它非齐次边界等）对扩散方程理论方面的探讨：最大（最小）值原理。由此证明方程解的唯一性和稳定性。§3.1全直线上的扩散方程首先讨论随机过程中的扩散过程。设想粒子在一维直线上作连续随机游动（Brown运动），满足性质：在t时间内位移转移概率为均值为0，方差为2t的正态分布。在时刻t处于x的概率密度记为(,)Pr(())uxtdxXtxdx。则22()21(,)(,)2xytuxtteuytdyt，或221(,)(,)2yuxtteuxtytdy222211[(,)(,))(,)()]22yxxxeuxtuxttyuxttyotdy21(,)(,)()2xxuxtuxttot因此，22txxuu。可见：一维Brown运动的状态概率密度满足扩散方程。从随机过程的角度，可直接写出状态概率密度：22()21(,)(,0)2yxtuxteuydyt。所以，有如下定理。定理扩散方程2,,0(,0)()txxucuxtuxx的解为22()41(,)()2yxctuxteydyct。证由222()4211(,)()(2)22yxyctuxteydyextcydyct，易知初始条件成立：(,0)()uxx。且对函数22()41(,)yxctfxtet，直接计算，有22()4222()()(,)(,)24yxctxyxyxfxtefxtctctt，222()1(,)(,)(,)22xxyxfxtfxtfxtctct，2222()()224422221()1()(,)(,)(,)2424yxyxctcttyxyxfxteefxtfxttctttctt，所以，20txxfcf。即但u与f只差常数倍，故20txxucu。【end】对具有源的扩散方程(,),,0(,0)()txxukufxtxtuxx，可用常微分方程的结果类比得到。常微分方程0duAudtu的解为tAue。可以把tAe理解为一个算子：把初始函数变换为一个新的函数。而齐次方程的解也可这样理解：2()41(,)()()[]2yxktuxteydytktL[，定义了算子()tL[。只不过常微分方程中()AtteL[，直接可用一个函数给出该算子。非齐次常微分方程duAufdtu的解为()00()()[]()()ttAttsAueefsdsttsfsdsL[L[，这里，为类比得到偏微分方程的结果，用算子形式表示了结论。由此得到结论定理直线上的非齐次扩散方程的解为22()()4()4011(,)()(,)22()yxtyxktsktuxteydyefxsdydsktkts。证直接验证结论。前一项显然满足齐次方程，即22()()244211()()022yxyxktkteydykeydytxktkt，而后一项，22222200111(2(),)(,)(2(),)222ttyyyefxktssdydsefxtdyefxktssdydstt2201(,)(2(),)2tyfxtefxktssdydst2()4()01(,)(,)2()yxtktsfxtefxsdydstkts2()24()201(,)(,)2()yxtktsfxtkefxsdydsxkts2()24()201(,)(,)2()yxtktsfxtkefxsdydsxkts即22()()24()4()20011(,)(,)(,)2()2()yxyxttktsktsefxsdydskefxsdydsfxttxktskts所以，(,)uxt满足方程。初始条件显然也满足：221(,0)()()2yuxexdyx。因此，定理成立。【end】该方法是处理非齐次方程的一般方法。这里，来说明如何用于非齐次波动方程2(,)(,0),(,0)()ttxxtucufxtuxuxx的求解。由于波动方程关于时间是两次的，所以不能直接用。但是注意到1(,)()2xctxctvxtsdsc是下面波动方程20(,0)0,(,0)()ttxxtvcvvxvxx，的解，故定义算子1()[]()()2xctxcttxsdscL[，那么原来齐次波动方程的解为(,)()[]()[]uxtttL[L[，则非齐次的波动方程的解为0(,)()[]()[]()(,)tuxttttsfxtsdsL[L[L[。注意到()00()11()(,)(,)(,)22xctsttxctstsfxtsdsftsddsfsddsccL[，即得结论。§3.3半直线上的扩散方程类似于波动方程，利用延拓方法可讨论边值问题的解。对特殊的Dirichlet问题（边界是齐次的）0,0,0(,0)(),(0,)0txxukuxtuxxut，可用奇延拓方法来求解。奇延拓后的系统，0,,0(,0)()txxoddvkvxtvxx其中，(),0()(),00,0oddxxxxxx。该方程的解2()41(,)()4yxktoddvxteydykt，因此，原方程的解，220()()4401(,)[()()]4yxyxktktoddodduxteydyeydykt2222()()()()444400011[()()][]()44yxyxyxyxktktktkteydyeydyeeydyktkt【end】对Neumann问题（边界是齐次的）0,0,0(,0)(),(0,)0txxxukuxtuxxut，为保证函数在原点导数为零，必须使函数为偶函数，所以，采用偶延拓。延拓后的系统0,,0(,0)()txxevenvkvxtvxx，其中，(),0()(),00,0evenxxxxxx。该方程的解，2()41(,)()4yxktevenvxteydykt，因此，原方程的解为220()()4401(,)[()()]4yxyxktktevenevenuxteydyeydykt2222()()()()444400011[()()][]()44yxyxyxyxktktktkteydyeydyeeydyktkt【end】对半直线上的非齐次方程（齐次边界）的Dirichlet问题和Neumann问题，(,),0,0(,0)()(0,)0txxukufxtxtuxxut，(,),0,0(,0)()(0,)0txxxukufxtxtuxxut仍可用奇延拓和偶延拓方法分别解决。对非齐次方程，非齐次边界的Dirichlet问题，(,),0,0(,0)()(0,)()txxukufxtxtuxxutht，则可利用叠加原理和函数变换方法，把问题分解齐次边界的相应问题求解。作函数变换：(,)(,)()vxtuxtht，则(,)(),0,0(,0)()(0)(0,)0txxvkvfxthtxtvxxhvt问题成为其次边界问题。对非齐次方程（非齐次边界）的Neumann问题(,),0,0(,0)()(0,)()txxxukufxtxtuxxutht，则可作变换：(,)(,)()vxtuxtxht，变为齐次边界的Neumann问题，(,)(),0,0(0,)0(,0)()(0)txxxvkvfxtxhtxtvtvxxxh，然后再用偶延拓方法求解。§3.2一维扩散方程最大（最小值）原理和解的唯一性和稳定性若函数(,)uxt满足齐次扩散方程，那么有下面结论。定理（最大值原理）如果txxuku，则在矩形时空区域（0,0xltT）内，函数(,)utx的最大值只能在0t，在边界0x或xl上取得。（最小值原理也类似成立）证这是闭区域上的二元函数的极值问题，极值点可能是区域内点，也可能在边界上。定理结论是说，极值点在特定的边界上取到。极值在区域内部取到是有必要条件的，即该点的一阶导数为零，而二阶导数必须是半正定的。用反证法证明在矩形内部不能取到极值。若(,)uxt在矩形内取到极值，则0txuu，0xxu。此时，如果0xxu，则产生矛盾：00txxuku。故只要证0xxu时，仍会产生矛盾。记边界上函数的最大值是M。构造2(,)(,)vxtuxtx。下证：22(,)(,)vxtuxtxMl（如果证得此结论，则令0即得定理的结果）。由于在边界上，22(,)(,)vxtuxtxMl，所以只要证(,)vxt不能在（1）矩形内部；（2）矩形顶部：tT取得最大值。（1）若在内部有最大值，则0,0,0txxxvvv。但0(,)220txxtxxvkvuxtkukk，矛盾。（2）在矩形顶部，则0,0,0txxxvvv，仍矛盾。所以定理结论成立。【end】利用上述极值原理，可得到Dirichlet问题的唯一性和稳定性。定理如果扩散方程(,),0,0(,0)(),(0,)(),(,)()txxukufxtxltuxxutgtultht解存在，则解必定唯一。证如果u和u都是解，则vuu是方程0,0,0(,0)0,(0,)0,(,)0txxvkvxltvxvtult的解。由最大值原理，在矩形内maxmin0vv，即0v。【end】利用该原理还可得到方程解的稳定性。定理如果扩散方程(,),0,0(,0)(),(0,)(),(,)()txxukufxtxltuxxutgtultht和(,),0,0(,0)(),(0,)(),(,)()txxukufxtxltuxxutgtultht的解分别为u和u，则00max|(,)(,)|max||xlxluxtuxt。证对vuu直接利用极值原理。【end】第三章习题1.对满足扩散方程txxuku的函数2(,)12uxtxkt，在矩形区域{(,)|01,0}xtxtT找出取到最大值和最小值的点和相应的值。解在0x上