第三章刚体力学.

第一篇力学第三章刚体力学(6学时)第一篇经典力学描述物体的运动状态——运动学寻求物体具有某种运动状态的原因——动力学万有引力定律质点运动学刚体运动学静力学动力学质点力平衡刚体力矩平衡质点动力学刚体动力学内容结构已学过内容结构第三章刚体力学刚体运动学刚体动力学1.建立物理模型——刚体模型2.引入物理参量——角参量3.刚体运动学规律的应用瞬时效应时间累积空间累积1.保持转动状态的原因2.改变转动状态的原因3.刚体转动定律(相当牛二律)1.冲量矩,角动量冲量矩定理(相当冲量定理)2.角动量定理、角动量守恒(相当动量定理)1.力矩作功、转动动能、势能转动动能定理转动势能定理(与平动对应)2.机械能守恒内容结构请与平动对应章节比较A.将刚体看作刚性连接的特殊质点、质点系，以质点、质点系的运动规律来研究刚体的转动规律。B.将一般刚体运动看作为平动和转动的组合，而转动又看作为绕固定转轴转动的组合。因此，研究刚体的转动，只需要研究绕固定转轴的转动这样简单的情形。C.考虑到前面已反复处理由单质点向质点系过渡方法，本章我们直接按质点系方法处理问题)§3.1力矩的瞬时效应——刚体的转动定律一绕固定转轴的刚体转动定理1.改变物体转动状态的原因——力矩2.绕固定轴转动的刚体转动定理二绕定轴转动的转动定理的应用3.刚体转动惯量的求解研究方案一绕固定转轴的刚体转动定理1.改变物体转动状态的原因——力矩力矩：力与力臂的乘积，称为力矩。FrM或zyxFFFzyxkjiM记讨论：A.力矩是使物体转动状态发生改变的原因(相当于平动问题中的合外力)B.力矩是矢量：大小：方向：按矢积定义，由右手螺旋法则决定运算法则：矢量合成法则，并满足独立性原理。sinFrMLL2.绕固定轴转动的刚体转动定理任意形状刚体绕固定轴转动，如图，将刚体看作质点系。设位矢为ri的质点受到质点j的内力为fij，受到合外力为Fi，由牛顿第二定律：xyzriFiijfijirjiiijiijiiamfFsinsin考虑到刚体绕固定z轴转动iira将上式两边同时乘以ri并利用矢量矢积的定义有：2iijijiiirmfrFr考虑刚体中所有质点、力矩的定义以及内力jijijifrfr上式成为iiiiirmM2当微元趋于无限小时VdmrM2定义转动惯量VdmrI2绕定轴转动的转动定理IM讨论：A.关于转动惯量转动惯量的物理意义：保持刚体原有转动状态的原因，是转动惯性的量度。转动惯量的求法：连续体VdmrM2离散体iiirmI2(ri是质点到转轴的垂直距离，考察推导过程)B.关于绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动定律的地位等同于平动问题中的牛顿第二定律适于研究刚体转动的瞬时效应，对于有固定转轴的刚体转动，转动定理可以写为标量式，此时，外力、位矢应当分解到与转轴垂直的平面内。(仔细考察推导过程)。适用条件：惯性系xyzriFiijfijirji3.刚体转动惯量的求解例：如图，三个质量相等的小球等间距地分布在x-y平面的角平分线上，且绕y轴转动。求：系统的转动惯量xyma解：由iiirmI2得2222222227)322()2()(maaaamrmIii例：(连续体的转动惯量)如图，线密度为、质量为m的均匀细杆与转轴的夹角为.求:其转动惯量。说明：A.本题的目的是要求能正确求解离散体的转动惯量，理解转动惯量中r的物理含义B.简单计算可知，转动惯量依赖质量大小，依赖质量分布。xymdmrl解：由VdmrI2在杆上l处任取微元dm，显然:dldm而杆的总长度：ml0，于是2230231022sin31)(sin)sin(0mlldlldmrIlV说明：求解连续体的转动惯量，关键问题是统一r和dm的积分变量。并注意r的物理含义。例：(连续体与离散体的混合转动惯量)。将上述两个例题结合起来，设杆上等间距地套上三个质量相等的小球，且杆的质量也与小球质量相等。求：系统的转动惯量解：如果系统中既有连续体，又有离散体，只需要将连续体看作为若干离散体中的一个，再用求离散体的转动惯量的方法就可以求出系统的转动惯量。杆的转动惯量2221sin31mldmrIV三个小球的转动惯量2227marmIii系统的转动惯量22221sin317mlmaIIIlIcIlrcr证明：首先，绕固定轴转动的刚体模型都可以转化为图示模型，因为只有垂直于转轴的作用力才对刚体转动状态的变化有影响。例：转动惯量的平行轴定理：其中，Ic是转轴过质心的转动惯量。l是与过质心转轴相距为l且与之平行的另一转轴。2mlIIc因VVdmrrdmrI)(2VccVccdmlrlrdmlrlr)2())((22VccdmrlmlI22考虑到质心坐标的求解方法dmrrVc且Ic是转轴过质心的转动惯量，于是2mlIIc定理得证例：转动惯量的垂直轴定理：一个平面薄板刚体对垂直于平面的任一转轴的转动惯量，等于刚体对在平面内并与该垂直轴相交的任二正交轴转动惯量之和。yxIIIxyz证明：因VVdmrrdmrI)(2Vdmjyixjyix))((yxVIIdmyx)(22定理得证例：求均匀分布、质量为m的球体绕其直径作定轴转动的I.解：球体的质量密度343RmVm采用球坐标系:drddrdVdmsin2于是drdrddrdrrdmrIVV34222sin2sin)sin(52158)322(52cos)cos1(52255025mRRRdR二绕定轴转动的转动定理的应用刚体转动定律的应用与平动问题中牛顿定律的应用的完全相似主要类型：A.已知刚体所受力力矩求刚体转动状态B.已知刚体转动状态求刚体所受力矩C.已知刚体部分转动状态和部分力矩求解未知力矩和未知转动状态。刚体转动定律应用的解题步骤A.确定研究对象，分析刚体所受力、力矩B.建立坐标系，列转动动力学方程及必要的平动动力学方程C.解算及讨论例：电风扇开启电源时，经t1时间达到额定转速0，关闭电源时经时间t2停止。设电风扇的转动惯量为I，且电机的电磁力矩与摩擦力矩为恒量。求：电机的电磁力矩解：设电风扇的电磁力矩、摩擦力矩分别为M、Mf电风扇开启时受电磁力矩与摩擦力矩的作用，即当电风扇达到额定转速时110t电风扇关闭过程中，只受到摩擦力矩的作用，即1IMMf2IMf达到停止时0220t解此联立方程组，得)11(210ttIM例6-6(p143)：(已知运动状态求力矩)说明：A.如果系统中既有物体平动又有物体转动，那么，对转动物体，存在线量与角量的自然连接条件。B.如果系统中既有物体平动又有物体转动，那么，转动物体与平动物体连接处，存在摩擦力。如本题中，滑轮左右两边绳子的张力不再相等。例6-7(p144)：(已知力矩求运动状态)说明：A.可作定理使用的重要结论：对于有固定转轴的刚体，重力对转轴的力矩，等于将重力集中在质心对转轴所产生的力矩。B.重要的数学技巧dddtddddddtddtdC.熟悉关于转动的运动学公式RMmTmg例：质量为M、半径为R的匀质柱体可绕通过其中心轴线的光滑水平固定轴转动；柱体边缘绕有一根不能伸长的细绳，绳子下端挂一质量为m的物体，如图所示。求：柱体的角加速度及绳中的张力。解：对柱体ImgR该式对吗？错!因：mgT正确的解法是用隔离体法maTmg对m对柱RaITR，　解得])2/[(2RMmmg)2/(MmMmgT求解联立方程，代入数据，可得：T1T1T2mgm1m2mRr12例：质量m1=24kg的匀质圆盘可绕水平光滑轴转动，一轻绳缠绕于盘上，另一端通过质量为m2=5kg的具有水平光滑轴的圆盘形定滑轮后挂有m=10kg的物体。求：物体m由静止开始下落h=0.5m时，物体的速度及绳的张力解：各物体受力情况如图所示1211121RmRTm：　22212221rmrTrTm：　maTmgm2：　ahvrRa2221，NTNTsmv5848/221，，　例：一根质量为m、长为l的均匀细棒AB，可绕一水平光滑轴o在竖直平面内转动，o轴离A端的距离为l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕o轴转动求：棒转过角时的角加速度和角速度。ABoCmgcos6lmgMo22291)6(121mllmmlIocos23lgIMoocos23lgdddtddddtd又因解：各物体受力情况如图所示。所以dlgdcos2300完成积分得lgsin3lglg/3090).2(0)2/(30).1(0，时，　　当，时，　当讨论:解：摩擦力分布在整个盘面上，计算摩擦力的力矩时，应将圆盘分为无限多个半径为r、宽为dr的圆环积分。故摩擦力矩：例：一质量为m、半径为R的匀质圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的光滑轴正以o的角速度转动。现将盘置于粗糙的水平桌面上，圆盘与桌面间的摩擦系数为µ求：圆盘经多少时间、转几圈将停下来？rdromgRrdrRmgrMR32202RgIM34于是得：221mRI转动惯量：gRtOo43gRNoo1632222，得：　00t又由，所以停下来前转过的圈数为2202一冲量矩二角动量定理、角动量守恒定律§3.2力矩的时间累积效应——刚体的角动量守恒定律三角动量定理、角动量守恒定理的应用内容结构、请与平动对应章节比较一冲量矩冲量矩：力矩在时间上的累计矢量，称为冲量矩。dtMJd21ttdtMJ或记讨论：冲量矩的讨论完全类似于冲量的讨论，(略，自己补充)二角动量定理、角动量守恒定律推导：这一推导过程类似于由牛顿第二定律推导动量定理由刚体转动定律)()()(IdJdIddtMIMdtId定义角动量IL于是得到角动量定理：微分形式)(IdLdJd积分形式1221LLdtMJtt讨论：A.适用条件：惯性系，所有质点相对于同一参考系；有固定转轴的刚体运动。B.推导过程中，没有强调力矩是内力矩还是外力矩，主要因为在推导刚体转动定律时已经证明刚体内力矩之矢量和为零。角动量定理中的力矩只有外力矩。I是系统的总转动惯量。C.角动量定义的其它表述形式vmrL(因，，右手螺旋法则)2rvr大小sin2mrvmrIL夹角是r与v之间的夹角方向：与角速度方向一致矢量性与独立性：其合成满足矢量合成法则，独立性表现为021xxttxLLdtM021yyttyLLdtM021zzttzLLdtMD.刚体的角动量守恒定律：当时，或210ttdtM0LL0II例：当I=I0时，0，刚体做匀角速度转动当I变化时，，表明转动惯量与刚体转动状态之间的关系(现象解释)00II三角动量定理、角动量守恒定律的应用解：小球所受的力中，重力和桌面的支持力抵消，只有绳的拉力影响小球的运动。这个拉力的作用线通过O点，对O点的力矩为零，故小球在运动中对o点的角动量守恒，于是有例：如图，一细绳穿过光滑水平桌面上的小孔O，绳的一端系有一质量为m的小球并放在桌面上；另一端用力往下拉住。设开始时小球以角速度0绕孔O作半径r的匀速圆周运动,现在向下缓慢拉绳，直到小球作圆周运动的半径为r/2时止求：这一过程中拉力的功。202202222321)2(21mrm