第三章存储模型森林救火易拉罐的最优设计

第三章简单的优化模型3.1存贮模型3.2森林救火3.3易拉罐的最优设计经济、管理科学近几十年获得了飞速发展，并取得丰硕的成果。这些成果的重要标志之一就是更加数学化和定量化。简单优化模型下面介绍供应链与物流管理中的一个典型模型：存储模型存储模型•允许缺货的存储模型•不允许缺货的存储模型注：本章介绍的简单优化问题是人们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中常见的一类问题，它可归结为微积分中的函数极值问题。3.1存贮模型问题配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。要求不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。问题分析与思考•每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元。日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元。•10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100=4500元，准备费5000元，总计9500元。•50天生产一次，每次5000件，贮存费4900+4800+…+100=122500元，准备费5000元，总计127500元。平均每天费用950元平均每天费用2550元10天生产一次平均每天费用最小吗?每天费用5000元•这是一个优化问题，关键在建立目标函数。显然不能用一个周期的总费用作为目标函数目标函数——每天总费用的平均值•周期短，产量小•周期长，产量大问题分析与思考贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小模型假设1.产品每天的需求量为常数r；2.每次生产准备费为c1,每天每件产品贮存费为c2；3.T天生产一次（周期）,每次生产Q件，当贮存量为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；建模目的设r,c1,c2已知，求T,Q使每天总费用的平均值最小。4.为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。模型建立0tq贮存量表示为时间的函数q(t)TQrt=0生产Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r递减，q(T)=0.一周期总费用TQccC2~21每天总费用平均值（目标函数）2~)(21rTcTcTCTC离散问题连续化AcdttqcT202)(一周期贮存费为A=QT/22221rTccrTQ模型求解Min2)(21rTcTcTC求T使0dTdC212crcrTQ212rccT模型分析QTc,1QTc,2QTr,模型应用c1=5000,c2=1，r=100T=10(天),Q=1000(件),C=1000(元)•回答问题•经济批量订货公式（EOQ公式）212rccT212crcrTQ每天需求量r，每次订货费c1,每天每件贮存费c2，用于订货、供应、存贮情形不允许缺货的存贮模型•问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？T天订货一次(周期),每次订货Q件，当贮存量降到零时，Q件立即到货。允许缺货的存贮模型AB0qQrT1t当贮存量降到零时仍有需求r,出现缺货，造成损失原模型假设：贮存量降到零时Q件立即生产出来(或立即到货)现假设：允许缺货,每天每件缺货损失费c3,缺货需补足T1rTQAcdttqcT2021)(一周期贮存费BcdttqcTT331)(一周期缺货费周期T,t=T1贮存量降到零2)(2213121TTrcQTccC一周期总费用rTQrTcrTQcTcTCQTC2)(2),(232210,0QCTC每天总费用平均值（目标函数）213121)(2121TTrcQTccC一周期总费用Min),(QTC求T,Q使332212cccrccT323212ccccrcQ为与不允许缺货的存贮模型相比，T记作T’,Q记作Q’212rccT212crcrTQ不允许缺货模型QQTT,332ccc记1QQTT','13cQQTT,332212'cccrccT323212'ccccrcQ允许缺货模型不允许缺货3c332212cccrccT323212ccccrcQ允许缺货模型0qQrT1tT注意：缺货需补足Q~每周期初的存贮量R每周期的生产量R（或订货量）332212ccccrcTrRQ~不允许缺货时的产量(或订货量)QQR例有一酒类批发商，以每天150瓶的速度供应零售商，存储费用为每天每瓶0.05元，根据合同如缺货，每瓶每天须向零售商赔偿0.2元。若批发一次的费用为300元，试确定批发商的最佳批发周期、进货量和缺货时间。3.2森林救火森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。问题分析问题记队员人数x,失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,时刻t森林烧毁面积B(t).•损失费f1(x)是x的减函数,由烧毁面积B(t2)决定.•救援费f2(x)是x的增函数,由队员人数和救火时间决定.存在恰当的x，使f1(x),f2(x)之和最小•关键是对B(t)作出合理的简化假设.问题分析失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,画出时刻t森林烧毁面积B(t)的大致图形t1t20tBB(t2)分析B(t)比较困难,转而讨论森林烧毁速度dB/dt.模型假设3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1(烧毁单位面积损失费）1）0tt1,dB/dt与t成正比，系数(火势蔓延速度）2）t1tt2,降为-x(为队员的平均灭火速度）4）每个队员的单位时间灭火费用c2,一次性费用c3假设1）的解释rB火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径r与t成正比面积B与t2成正比，dB/dt与t成正比.xbtt12202)()(tdttBtB模型建立dtdBb0t1tt2x假设1）,1tbxcttxcxftBcxf31222211)()(),()(目标函数——总费用)()()(21xfxfxC假设3）4）xttt112假设2）)(222212212xttbt0dxdCxcxxtcxtctcxC3122121211)(22)(模型建立目标函数——总费用模型求解求x使C(x)最小231221122ctctcx结果解释•/是火势不继续蔓延的最少队员数dtdBb0t1t2tx其中c1,c2,c3,t1,,为已知参数模型应用c1,c2,c3已知,t1可估计,c2xc1,t1,xc3,x结果解释231221122ctctcxc1~烧毁单位面积损失费,c2~每个队员单位时间灭火费,c3~每个队员一次性费用,t1~开始救火时刻,~火势蔓延速度,~每个队员平均灭火速度.为什么?,可设置一系列数值由模型决定队员数量x3.3易拉罐的最优设计可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的饮料罐(易拉罐)顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比为多少?为什么?它们的形状为什么是这样的?示例:可口可乐饮料罐的形状找一个雪碧饮料罐具体测量一下:它顶盖的直径和从顶盖到底部的高:约为6厘米和12厘米.中间胖的部分的直径约为6.6厘米,胖的部分高约为10.2厘米.可口可乐饮料罐上标明净含量为355毫升(即355立方厘米).根据有关的数据,要求通过数学建模的方法来回答相关的问题.我们先看这样的数学题:•“用铁皮做成一个容积一定的圆柱形的无盖(或有盖)容器，问应当如何设计，才能使用料最省，这时圆柱的直径和高之比为多少?”(一般数学分析或高等数学教材中导数的应用(极值问题)部分的一道例题).•实际上,用几何语言来表述就是:体积给定的圆柱体,其表面积最小的尺寸(半径和高)为多少?表面积用S表示,体积用V表示,则)(222),(22rhrrrhhrShrV2,)(2rVh)2(2))(2(2)(0322VrrrVrrS32VrdrVVVVVrVh228443322323222S即圆柱的直径和高之比为1:1问题分析和模型假设•饮料罐近似看成一个正圆柱是有一定合理性的.要求饮料罐内体积一定时,求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比.•实际上,饮料罐的形状是如下平面图形绕其中轴线旋转而成的立体.模型的建立饮料罐的半径为(因此,直径为),罐的高为.h罐内体积为.V除顶盖外的材料的厚度.b顶盖的厚度为(顶盖就能感觉到更硬)其中,r,h是自变量,所用材料的体积SV是因变量,而b和V是固定参数,是待定参数b322222)1()1(22))1()(2())1()()((bbhbrrbhbhbrbbhrbr3222)1()1(2)1(2),(bbhbrbrrhbhrSVhrhrV2),(饮料罐侧面所用材料的体积罐内体积所用材料的体积3222)1()1(2)1(2),(bbhbrbrrhbhrSV顶盖和底部所用材料•因,所以带,的项可以忽略,所以rb2b,3b这是极其重要的合理假设或简化!brrhbhrShrSV2)1(2),(),(Vhrhrg2),(0).(,0,0..),(minhrghrtshrS其中是S目标函数,是约束条件,V是已知的(即罐内体积一定),即要在体积一定的条件下,求罐的体积最小的r,h和使得r,h和测量结果吻合.这是一个求条件极值的问题.0),(hrg模型的求解•从约束中解出一个变量,化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题•使原问题化为:求使S最小,即,求r使下式最小.0),(2Vhrhrg)(2rVhhd:])1(2[))(,(2rrVbrhrS求临界点:令其导数为零得0])1[(2])1[(2322VrrbrVrbdrdS3)1(Vr2)1()1()1()1(2)1(2323drVVVh测量数据为,即即顶盖厚度是其他材料厚度3倍2dh413本题还可Lagrange乘子法来解(增加一个变量化条件极值问题为多元函数无条件极值问题)模型验证及进一步的分析•有人测量过顶盖的厚度确实为其他材料厚度的3倍.如果易拉罐的半径为3厘米,则其体积为3553.3391232V装不下那么多饮料，为什么？模型到底对不对？•实际上,饮料罐的形状是左平面图形绕其中轴线旋转而成的立体.•可以把饮料罐的体积看成两部分,一是上底半径为3厘米,下底半径为3.3厘米,高为1厘米的锥台,二是半径为3.3厘米,高为10.2厘米的圆柱体.它们的体积分别为31.2立方厘米和349立方厘米总共为380.2立方厘米.测量结果为:未打开罐时饮料罐的重量为370克,倒出来的可乐确实重355克,空的饮料罐重量为15克,装满水的饮料罐重量为380克.这和我们的近似计算380.2立方厘米十分接近！饮料罐不能装满饮料(365克),而是留有10立方厘米的空间余量.进一步讨论•此外,诸如底部的形状,上拱的底面,顶盖实际上也不是平面的,略有上拱,顶盖实际上是半径为3+0.4+0.2=3.6平方厘米的材料冲压而成的,从顶盖到胖的部分的斜率为0.3,这些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合)很牢固,耐压.所有这些都是物理、力学、工程或材料方面的要求,必须要有有关方面的实际工作者或专家来确定.因此,我们也可以体