第三章平面与空间直线

－30－第三章平面与空间直线教学目的通过本章的学习，使学生掌握空间坐标系下平面、直线方程的各种形式，掌握确定平面与直线的条件，熟练掌握点、平面与空间直线间各种位置关系的解析条件及其几何直观概念.教学重点（1）空间坐标系下平面方程的点位式和点法式、直线方程点向式与标准式；（2）点、平面与空间直线间各种位置关系的解析条件；（3）平面与空间直线各种度量关系的量化公式.教学难点（1）异面直线的公垂线方程；（2）综合运用位置关系的解析条件求平面、空间直线方程.§3.1平面的方程1．由平面上一点与平面的方位向量决定的平面方程（平面的点位式方程）在空间给定了一点M0与两个不共线的向量a，b后，通过点M0且与a，b平行的平面就惟一被确定.向量a，b叫平面的方位向量.任意两个与平行的不共线的向量都可作为平面的方位向量.取标架321,,;eeeO，设点M0的向径0r=0OM=000,,zyx，平面上任意一点M的向径为r=OM={x，y，z}（如图）.点M在平面上的充要条件为向量MM0与向量a，b共面.由于a，b不共线，这个共面的条件可以写成MM0=ua＋vb而MM0=r－r0，所以上式可写成xyzOMMbarreee12300r=r0＋ua＋vb(3.1－1)此方程叫做平面的点位式向量参数方程，其中u，v为参数.若令a={1X，1Y，1Z}，b={2X，2Y，2Z}，则由(3.1－1)可得vZuZzzvYuYyyvXuXxx210210210(3.1－2)此方程叫做平面的点位式坐标参数方程，其中u，v为参数.(3.1－1)式两边与a×b作内积，消去参数u，v得(r－r0，a，b)=0(3.1－3)此即222111000ZYXZYXzzyyxx=0(3.1－4)这是的点位式普通方程.－31－已知平面上三非共线点iM（i=1，2，3）.建立坐标系{O；e1,e2,e3}，设ri=iOM={ix，iy，iz}，i=1，2，3.对动点M，设r=OM={x，y，z}，取21MM和31MM为方位向量，M1为定点，则平面的向量参数方程，坐标参数方程和一般方程依次为r=1r＋u(2r－1r)＋v(3r－r1)(3.1－5))()()()()()(131211312113121zzvzzuzzyyvyyuyyxxvxxuxx(3.1－6)131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx=0(3.1－7)(3.1－5)，(3.1－6)和(3.1－7)统称为平面的三点式方程.特别地，若iM是与三坐标轴的交点，即1M(a，0，0)，2M(0，b，0)，3M(0，0，c)，其中abc≠0，则平面的方程就是cabazyax00=0(3.1－8)即1czbyax(3.1－9)此方程叫平面的截距式方程，其中a，b，c称为在三坐标轴上的截距.2．平面的一般方程在空间任一平面都可用其上一点M0(x0，y0，z0)和两个方位向量a={1X，1Y，1Z}，b={2X，2Y，2Z}确定，因而任一平面都可用方程将其方程(3.1－4)表示.将(3.1－4)展开就可写成Ax＋By＋Cz＋D=0(3.1－10)其中A=2211ZYZY，B=2211XZXZ，C=2211YXYX由于a={1X，1Y，1Z}与b={2X，2Y，2Z}不共线，所以A，B，C不全为零，这说明空间任一平面都可用关于a，b，c的一三元一次方程来表示.反之，任给一三元一次方程(3.1－10)，不妨设A≠0，则(3.1－10)可改写成02ACzAByADxA即000ACABzyADx它显然表示由点M0(－D/A，0，0)和两个不共线的向量{B，－A，0}和{C，0，－A}所决定的平面.于是有定理3.1.1空间中任一平面的方程都可表为一个关于变数x，y，z的三元一次方程；反过来，任一关于变数x，y，z的三元一次方程都表示一个平面.方程(3.1－10)称为平面的一般方程.3．平面的法式方程若给定一点M0和一个非零向量n，则过M0且与n垂直的平面也被惟一地确定.称n为的法向量.在－32－空间坐标系{O；i，j，k}下，设0r=0OM={x0，y0，z0}，n={A，B，C}，且平面上任一点M的向径r=OM={x，y，z}，则因总有MM0⊥n，有n(r－r0)=0(3.1－11)也就是A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)=0(3.1－12)xyzOMMrr00ijkn方程(3.1－11)和(3.1－12)叫平面的点法式方程.(3.1－12)中的系数A，B，C有简明的几何意义，它们就是平面的一个法向量的分量.特别地，取M0为自O向所作垂线的垂足，而n为单位向量.当平面不过原点时，取n为与OP同向的单位向量n0，当平面过原点时取n0的正向为垂直与平面的两个方向中的任一个.设|OP|=p，则OP=pn0，由点P和n0确定的平面的方程为n0(r－pn0)=0式中r是平面的动向径.由于1)(20n，上式可写成n0r－p=0(3.1－13)此方程叫平面的向量式法式方程.若设r={x，y，z}，n0={cos，cos，cos}，则由(3.1－13)得xcos＋ycos＋zcos－p=0(3.1－14)此为平面的坐标法式方程，简称法式方程.平面的坐标法式方程有如下特征：1°一次项系数是单位向量的分量，其平方和等于1；2°常数项－p≤0（意味着p≥0）.3°p是原点到平面的距离.4．化一般方程为法式方程在直角坐标系下，若已知的一般方程为Ax＋By＋Cz＋D=0，则n={A，B，C}是的法向量，Ax＋By＋Cz＋D=0可写为nr＋D=0(3.1－15)与(3.1－13)比较可知，只要以2221||1CBAn去乘(3.1－15)就可得法式方程Ax＋By＋Cz＋D=0(3.1－16)其中正负号的选取，当D≠0时应使(3.1－16)的常数项为负，D＝0时可任意选.－33－以上过程称为平面方程的法式化，而将2221CBA叫做法化因子.讲解P107～P108的例3和例4.§3.2平面与点的相关位置平面与点的位置关系，有两种情形，就是点在平面上和点不在平面上.前者的条件是点的坐标满足平面方程.点不在平面上时，一般要求点到平面的距离，并用离差反映点在曲面的哪一侧.1．点到平面的距离定义3.2.1自点M0向平面引垂线，垂足为Q.向量0QM在平面的单位法向量n0上的射影叫做M0与平面之间的离差，记作=射影n00QM(3.2－1)显然=射影n00QM=0QM·n0=∣0QM∣cos∠(0QM，n0)=±∣0QM∣当0QM与n0同向时，离差0；当0QM与n0反向时，离差0.当且仅当M0在平面上时，离差=0.xyzOMr00nPQR0qxyzOMr00nPQR0q显然，离差的绝对值就是点M0到平面的距离.定理3.2.1点M0与平面（3.1－13）之间的离差为=n0r0－p(3.2－2)推论1若平面的法式方程为0coscoscospzyx，则),,(0000zyxM与间的离差pzyxcoscoscos000(3.2－3)推论2点),,(0000zyxM与平面Ax＋By＋Cz＋D=0间的距离为2220000,CBADCzByAxMd(3.2－4)2．平面划分空间问题三元一次不等式的几何意义设平面的一般方程为Ax＋By＋Cz＋D=0则空间中任一点M（x，y，z）与间的离差为pzyxcoscoscos=(Ax＋By＋Cz＋D)式中为平面的法化因子，由此有－34－Ax＋By＋Cz＋D=1(3.2－5)对于平面同侧的点，的符号相同；对于在平面的异侧的点，有不同的符号，而一经取定，符号就是固定的.因此，平面：Ax＋By＋Cz＋D=0把空间划分为两部分，对于某一部分的点M(x，y，z)Ax＋By＋Cz＋D0；而对于另一部分的点，则有Ax＋By＋Cz＋D0，在平面上的点有Ax＋By＋Cz＋D=0.P112习题1，2，5，8§3.3两平面的相关位置空间两平面的相关位置有3种情形，即相交、平行和重合.设两平面1与2的方程分别是1：11110AxByCzD(1)2：22220AxByCzD(2)则两平面1与2相交、平行或是重合，就决定于由方程（1）与（2）构成的方程组是有解还是无解，或无数个解，从而我们可得下面的定理.定理3.3.1两平面（1）与（2）相交的充要条件是111222::::ABCABC(3.3－1)平行的充要条件是11112222ABCDABCD(3.3－2)重合的充要条件是11112222ABCDABCD(3.3－3)由于两平面1与2的法向量分别为11112222{,,},{,,}nABCnABC，当且仅当n1不平行于n2时1与2相交，当且仅当n1∥n2时1与2平行或重合，由此我们同样能得到上面3个条件.下面定义两平面间的夹角.设两平面的法向量间的夹角为，称1与2的二面角∠(1，2)=或－为两平面间的夹角.显然有12cos(,)=±cos=±121212222222111222AABBCCABCABC(3.3－4)定理3.3.2两平面（1）与（2）垂直的充要条件是0212121CCBBAA(3.3－5)例一平面过两点1(1,1,1)M和2(0,1,1)M且垂直于平面x＋y＋z=0，求它的方程.解设所求平面的法向量为n={A，B，C}，由于12{01,11,11}{1,0,2}MM在所求平面上，有12MMn，120MMn，即20AC.－35－又n垂直于平面x＋y＋z=0的法线向量{1，1，1}，故有A＋B＋C=0解方程组20,0,ACABC得2,,ACBC所求平面的方程为2(1)(1)(1)0CxCyCz，约去非零因子C得2(1)(1)(1)0xyz，即2x－y－z=0§3.4空间直线的方程1．直线的点向式方程在空间给定了一点0000(,,)Mxyz与一个非零向量v={X，Y，Z}，则过点M0且平行于向量v的直线l就惟一地被确定.向量v叫直线l的方向向量.显然，任一与直线l上平行的非零向量均可作为直线l的方向向量.下面建立直线l的方程.如图，设M(x，y，z)是直线l上任意一点，其对应的向径是r={x，y，z}，而0000(,,)Mxyz对应的向径是r0，则因MM0//v，有t∈R，MM0=tv.即有r－r0=tv所以得直线l的点向式向量参数方程r=r0＋tv(3.4－1)以诸相关向量的分量代入上式，得ZYXtzyxzyx000xyzMMvOrr00v根据向量加法的性质就得直线l的点向式坐标参数方程为ZtzzYtyyXtxx000－∞t＋∞(3.4－2)消去参数t，就得直线l的点向式对称方程为ZzzYyyXxx000(3.4－3)此方程也叫直线l的标准方程.今后如无特别说明，在作业和考试时所求得的直线方程的结果都应写成对称式.例1设直线L通过空间两点M1(x1，y1，z1)和M2(x2，y2，z2)，则取M1为定点，21MM为方位向量，就得到直线的两点式方程为－36－121121121zzzzyyyyxxxx(3.4－4)根据前面的分析和直线的方程(3.4－1)，可得到||||||||||00vMMvtrr这个式子清楚地给出了直线的参数方程(3.4－1)或(3.4－2)中参数的几何意义：参数t的绝对值等于定点M0到动点M之间的距离与方向向量的模的比值，表明线段M0M的长度是方向向量v的长度的