第三章教育统计的特征量2.

教育统计与测量第三章教育统计的特征量主讲教师：杜杉杉E-mail：[e-mail]本次主要活动集中量及其求法差异量及其求法相关量及其求法集中量及其求法一、集中量的定义集中量：代表一组数据典型水平或集中趋势的量。集中量及其求法二、集中量的种类（一）平均数（二）众数（三）中位数问题1:有一家水果店进了一批水果60斤，其中苹果30斤，桃子30斤。苹果一块钱两斤，桃子一块钱三斤，一天之内这些水果都卖光了。30斤苹果卖了15元，30斤桃子卖了10元，一共卖了25元。第二天，店主又进了60斤水果，同样是苹果30斤，桃子30斤，店主一想，苹果一元2斤，桃子一元3斤，那还不如省点事，把两种水果掺在一起卖，2元5斤。一天下来，60斤水果又全部卖光了，店主一清点，怎么一共卖了24元而不是25元？那一元到哪里去了呢？问题2:一所高中马上要进行高二升高三的期末考试，学校请有教学经验的老师编制了5科试卷，考试结束后学校按照学生的5科成绩的总分进行排名，并按照成绩的高低编入重点班和普通班。请问这种做法科学吗？集中量及其求法二、集中量的种类（一）平均数1、算术平均数2、加权平均数3、几何平均数集中量及其求法二、集中量的种类（一）平均数1、算术平均数（1）定义算术平均数（X）是所有观察值的总和除以观察值总个数所得的商，简称平均数。集中量及其求法二、集中量的种类（一）平均数1、算术平均数（1）定义设一组的每个变量值为x1，x2，…，xn，则算术平均数用公式表示为：NXNxxxxNiin121集中量及其求法二、集中量的种类（一）平均数1、算术平均数（2）计算原始数据法频数分布表法各组组中值乘以各组频数，求其和，再除以总频数，即为这组数据算术平均数的近似值。集中量及其求法二、集中量的种类（一）平均数1、算术平均数（2）计算原始数据法频数分布表法fxNfkfffkxkxfxfx1212211x1、x2、……，xk表示第1组到第k组的组中值；f1、f2、……，fk表示第1组到第k组的频数；N表示原始数据的个数。某班100名学生数学成绩频数分布表分数频数组中值90-89580-108570-107560-306550-205540-124530-53520-22510-2150-15频数×组中值76085075019501100540175503056210求和100集中量及其求法二、集中量的种类（一）平均数1、算术平均数（3）性质算术平均数的数学性质有哪些？集中量及其求法二、集中量的种类（一）平均数1、算术平均数（3）性质观察值的总和等于算术平均数的N倍，即∑x=Nx；各观察值与其算术平均数之差的总和等于0。∑（x-x）=0∑（x+c）∑（xc）N=C+XN=CX问题2:一所高中马上要进行高二升高三的期末考试，学校请有教学经验的老师编制了5科试卷，考试结束后学校按照学生的5科成绩的总分进行排名，并按照成绩的高低编入重点班和普通班。请问这种做法科学吗？平时看起来老实巴交的老刘开了一家小工厂,生产一种小型电子玩具。工厂里的管理人员都是老刘的亲朋好友,共8人。工作人员由5个领工和10个工人组成。工厂经营得很顺利,现在需要一个新工人。于是,老刘来到了人才市场,与前来求职的青年小胡谈工作问题。老刘说:“我们这里报酬不错,平均薪金是每周450元。你在学徒期间每周得100元,不过很快就可以加工资。”小胡上了几天班以后,要求和厂长老刘谈谈。小胡说:“你骗我!我已经找其他工人核对过了,没有一个人的工资超过每周150元。平均工资怎么可能是一周450元呢?”老刘回答:“小胡,不要激动嘛。平均工资确实是450元,不信你可以自己算一算。”老刘拿出了一张表,说道:“这是我每周付出的酬金。我得3600元,我弟弟得1500元,我的六个亲戚每人得375元,五个领工每人得300元,10个工人每人150元。总共是每周10350元,付给23个人,平均工资是每周450元。”集中量及其求法二、集中量的种类（一）平均数2、加权平均数（1）定义加权平均数是不同比重数据（或平均数）的平均数。用表示。WX集中量及其求法二、集中量的种类（一）平均数2、加权平均数（1）定义WWX表示加权平均数；W表示各观察值的权数；X表示具有不同比重的观察值。WX集中量及其求法二、集中量的种类（一）平均数2、加权平均数（2）计算原始数据法频数分布表法任务：某生平时数学成绩为80分，期中考试为90分，期末考试成绩为95分。按学校规定平时成绩占20％，期中考试成绩占30％，期末考试成绩占50％。问该生学期总评成绩应为多少分？集中量及其求法二、集中量的种类（一）平均数2、加权平均数（2）计算原始数据法频数分布表法NXNNNNXNXNXNXkkkW212211任务：某年级4个班的学生人数分别为32人、40人、36人，期末考试各班的平均成绩分别为72.6、80.2、75。求全年级的平均分？集中量及其求法二、集中量的种类（一）平均数3、几何平均数（1）定义几何平均数是N个数据连乘的N次方根。用表示。GXNNGXXXX21集中量及其求法二、集中量的种类（一）平均数3、几何平均数（1）定义几何平均数是N个数据连乘的N次方根。用表示。GXNlgXiXglg集中量及其求法二、集中量的种类（一）平均数3、几何平均数（2）应用数据按一定的比例关系变化，如求平均增长率或对心理、物理学中的等距或等比量表实验的数据处理；当一组数据中存在极端数据例：近几年某地区职业学校在校学生人数如下表，求：（1）这4年在校学生的平均数年份2007200820092010人数（人）50080016003200集中量及其求法二、集中量的种类（一）平均数优点：反应灵敏；计算简单、严密；受抽样变动的影响小；适于进一步用代数方法演变。缺点：易受极端数据的影响；若出现模糊的数据，无法计算。原则：同质性原则；平均数和个体数值相结合的原则；平均数和标准差、方差相结合的原则。集中量及其求法二、集中量的种类（二）众数1、定义众数（M0）：在一批数据中，出现次数最多的那个数据。任务：请说出下面两组数据的众数是多少？例1：60、85、73、83、75、86、70、68、91，89例2：1，5，4，5，6，5，7，8，5，9，6，11集中量及其求法二、集中量的种类（二）众数2、计算（1）观察法在频数分布表中，频数最多的一组的组中值就是众数。在曲线图上，曲线的最高点所对应得横轴上的数值，就是众数。集中量及其求法二、集中量的种类（二）众数2、计算（2）公式法皮尔逊公式法XMMdO23集中量及其求法二、集中量的种类（二）众数2、计算（2）公式法金氏插补法Mo=Lb+fa×i/(fa+fb)Lb：含众数这一区间的精确下限；fa：高于众数所在组一个组距那一分组区间的次数；fb：低于众数所在组一个组距那一分组区间的次数；i：组距。66个学生作文分数的众数计算分数频数32-35-38-41-44-47-50-53-56-49201475421总和66集中量及其求法二、集中量的种类（二）众数特点：容易理解；但易受分组影响；反映不灵敏；不能做进一步代数运算。不是一个优良的集中量数，应用不广泛。应用：当需要快速而粗略地寻求一组数据的代表值；表示典型情况；当次数分布有极端的数目，除了用中数外，有时也用众数。集中量及其求法二、集中量的种类（三）中位数1、定义中位数是位于依一定大小顺序，排列后的一组数据中央位置的数值（有一半数据大于这个数值，有一半数据小于这个数值）。用Md表示。例1：求92、80、85、91、83、87、90的中位数。例2：求3，5，7，9，13，15，16，19的中位数。集中量及其求法二、集中量的种类（三）中位数2、计算（1）原始数据法（2）内插法由小向大的计算公式为Md=Lb+(N/2-Fb)×i/fMdLb为中数所在分组区间的精确下限Fb为该组以下各组次数的累加次数N总频数i频数分布表上的组距fMd中位数所在组的频数由大向小的计算公式为Md=La-(N/2-Fa)×i/fMdLa为中数所在分组区间的精确上限Fa为该组以上各组次数的累加次数按零件数分组频数（人）频率（%）105-110110-115115-120120-125125-130130-135135-140358141064610162820128合计50100分数频数累积频数45-50-55-60-65-70-75-80-85-90-95-1202387775613358162330374248指标特征中位数年龄（岁）老年系数（%）60岁及以上人口所占比例少儿系数（%）14岁及以下人口所占比例老年型30岁以上10以上30以下成年型30-2010-530-40年轻型20以下5以下40以上反映人口年龄特征的几个指标普查指标一（1952年）二（1964年）三（1980年）四（1990年）五（2000年）年龄中位数（岁）22.7020．2022.9125.2630.77少儿系数（%）36.2740.3033.5927.6922.90老年系数（%）7.326.077.638.5810.46我国历次人口普查时的年龄特征集中量及其求法二、集中量的种类（三）中位数特点：计算简单、容易理解，但反应不灵敏；不能做进一步代数运算；在一般情况下，中数不被普遍应用。应用：有极端值出现；资料有不确定数值；当需要快速估计一组数据的代表值时，也会用中数。集中量及其求法三、总结在以上几种集中量中，平均数（尤其是算术平均数）集中代表性较好，其次是中位数，然后是众数。集中量及其求法三、总结工资频数45000150001000057005000370030002000112134112总和25某工厂工人工资的情况表观察这两组数据有什么特征？甲组：54、63、72、74、82、88、99乙组：67、71、73、76、79、82、84差异量及其求法一、差异量的定义表示一组数据变异程度或离散程度的量称为差异量。差异量及其求法二、差异量的种类（一）全距（二）平均差（三）方差（四）标准差（五）差异系数差异量及其求法二、差异量的种类（一）全距1、定义一组数据中最大值与最小值的差，用R表示。minXXRMAX差异量及其求法二、差异量的种类（一）全距2、计算原始数据法频数分布法最大一组与最小一组组中值之差，或者是最大一组与最小一组下限之差。某镇农民家庭年人均纯收入资料情况如表：农民家庭按年人均纯收入分组（元）农民家庭数（户）800-12001200-16001600-20002000-24002400-28002800-32003200-38003800-420014028045060087051012030合计3000差异量及其求法二、差异量的种类（二）平均差1、定义平均差（Md）：每一个数据与该组数据的算术平均数之差的绝对值的算术平均数。XXNMd1XXN是数据个数；为平均数。X是离差差异量及其求法二、差异量的种类（二）平均差2、计算原始数据法频数分布法NXXfMOdf为各组频数；Xo为各组组中值。差异量及其求法二、差异量的种类（三）方差1、定义一组数据离差平方的算术平均数。NXXSX22具体地说，就是一组数据中每个数据与该组平均数之差，平方之，求其和，再除以数据的个数。差异量及其求法二、差异量的种类（四）标准差1、定义标准差是方差的平方根NXXSX2差异量及其求法二、差异量的种类（四）标准差2、计算原始数据法频数分布法22NfXNfXSX，X表示各组组中值；f表示各组频数。分数XffXfX270-7465-6960-6455-5950-547267625752259861443355584563121036822445345962599216224某校高二年级语文进行统考，1班平均分75