第三章数值积分.

一、数值求积的基本思想)()()(aFbFdxxfba积分只要找到被积函数f(x)原函数F(x)，便有牛顿—莱布尼兹(Newton—Leibniz)公式baxxfId)(实际困难：大量的被积函数（,sinx2等）,找不到用初等函数表示的原函数；另外,f(x)是（测量或数值计算出的）一张数据表时，牛顿—莱布尼兹公式也不能直接运用。xxsin积分中值定理：在[a,b]内存在一点，有f()成立。)(d)(abxxfba§1引言第三章数值积分(NumericalIntegration)就是说,底为b-a而高为f()的矩形面积恰等于所求曲边梯形的面积.问题在于点ζ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出f()的值．我们将f()称为区间[a,b]上的平均高度．这样,只要对平均高度f()提供一种算法,相应地便获得一种数值求积方法．如果用两端点的“高度”f(a)与f(b)的算术平均作为平均高度f()的近似值，这样导出的求积公式:便是我们所熟悉的梯形公式(trapezoidalrule).)]()([2bfafabT2)(bafabR2bac而如果改用区间中点的“高度”f(c)近似地取代平均高度f()，则又可导出所谓中矩形公式(今后简称矩形公式)：(1.1)(1.2)更一般地，我们可以在区间[a，b]上适当选取某些节点xk，然后用f(xk)加权平均得到平均高度f(ζ)的近似值，这样构造出的求积公式具有下列形式式中xk称为求积节点；Ak称为求积系数，亦称为伴随节点xk的权．权Ak仅仅与节点xk的选取有关，而不依赖于被积函数f(x)的具体形式．ban0kkkxfAdxxf)()(使积分公式具有通用性这类数值积分方法通常称作机械求积，其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿——莱布尼兹公式需要寻求原函数的困难．(1.3)二、代数精度的概念数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积公式能对“尽可能多”的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精度的概念．定义1如果某个求积公式对于次数≤m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不一定准确，则称该求积公式具有m次代数精度．一般地，欲使求积公式具有m次代数精度，只要令它对于f(x)=1，x，…，xm都能准确成立，这就要求bankkkxfAxxf0)(d)(.)(11;)(21;1122mmmkkkkkabmxAabxAabA例1：考察其代数精度。f(x)abf(a)f(b)梯形公式解：逐次检查公式是否精确成立代入P0=1：baabdx1]11[2ab=代入P1=x：=代入P2=x2：222abbadxx][2baab3233abbadxx][222baab代数精度=1)]()([2)(bfafabdxxfba例2试构造形如f(x)dxA0f(0)+A1f(h)+A2f(2h)的数值求积公式,使其代数精度尽可能高,并指出其代数精度的阶数.3h0解:令公式对f(x)=1,x,x2均准确成立,则有3h=A0+A1+A2h2=0+A1h+A22h9h3=0+A1h2+A24h229故求积公式的形式为解之得A0=h,A1=0,A2=h.9434f(x)dxf(0)+f(2h)3h49h43h0由公式的构造知,公式至少具有2次代数精度;而当f(x)=x3时,公式的左边=h4,右边=18h4,公式的左边右边,说明此公式对f(x)=x3不能准确成立.因此,公式只具有2次代数精度.814三、求积公式的收敛性与稳定性定理3表明，只要求积系数Ak＞0(k＝0,1,…,n)，就能保证计算的稳定性．定义2在求积公式中，若其中，则称求积公式是收敛的．由于计算f(xk)可能有误差,实际得到定义3对任给e＞0，若≤δ(k=0,1,…,n),就有,则称求积公式是稳定的.bankkkxfAxxf0)(d)(e|ˆ)(|00nkkknkkkfAxfA)(max11iinixxhkkfxf~)(0，只要.~)(,~kkkkfxff即bankkkhnxxfxfAd)()(lim00定理3若求积公式(1．3)中系数Ak＞0(k＝0，1，…，n)，则此求积公式是稳定的．近似计算badxxfI)(思路利用插值多项式则积分易算。)()(xfxPn在[a,b]上取ax0x1…xnb，做f的n次插值多项式，即得到nkkknxlxfxL0)()()(babaknkkdxxlxfdxxf)()()(0AkbakjxxxxkdxAjkj)()(由决定，与无关。节点f(x)插值型积分公式InterpolatoryquadraturebankkxnbanbanbankkkdxxxnfdxxRdxxLxfxfAdxxffR0)1(0)()!1()()()]()([)()(][误差bandxxP)(§2插值型的求积公式与Newton-Cotes公式关键是f(x)如果求积公式是插值型的,按余项式,对于次数≤n的多项式f(x)，其余项R[f]等于0，因而这时求积公式至少具有n次代数精度．定理1：形如的求积公式至少有n次代数精度该公式为插值型（即：）nkkkxfA0)(bakkdxxlA)(为便于计算，一般取等距离节点得到近似公式:一、Newton-Cotes公式2、把[a,b]二等分，作2次插值，有)]()(4)([)(66bffafdxxfbaabba此公式称为辛普森（Simpson）公式。badxxL)(21、对于[a,b]上1次插值，有)()()(1bfafxLabaxbabx)]()([)(2221bfafdxxfAAabbaab此即梯形公式。节点等距分布：ninabhhiaxi,...,1,0,,dxxxxxAnxxijjiji0)()(nijinnijdtjtininabdthhjihjt00)()!(!)1)(()()(令htaxCotes系数)(niC注：Cotes系数仅取决于n和i，可查表得到。与f(x)及区间[a,b]均无关。3、把[a,b]n等分，用插值Ln(x)近似f(x)积分，有当n=4时,牛顿-柯特斯公式特别称作柯特斯公式,其形式为)(7)(32)(12)(32)(79043210xfxfxfxfxfabC21,21)1(1)1(0CCn=1:)]()([2)(bfafabdxxfbaTrapezoidalRuledxbxaxffRbax))((!2)(][/*令x=a+th,h=ba,用中值定理*/1,],[,)(1213abhbafh代数精度=1n=2:61,32,61)2(2)2(1)2(0CCC)]()(4)([6)(2bffafabdxxfbabaSimpson’sRule代数精度=32,),(,)(901][)4(5abhbafhfRn=3:Simpson’s3/8-Rule,代数精度=3,)(803][)5(5fhfRn=4:CotesRule,代数精度=5,)(9458][)6(7fhfRn为偶数阶的Newton-Cotes公式至少有n+1次代数精度。二、几种低阶求积公式的余项三、偶阶求积公式的代数精度作为插值型的求积公式，n阶的牛顿-柯特斯公式至少具有n次的插值精度（定理1）。实际的代数精度还可进一步提高，一般地，可以证明下述定理:定理2当阶n为偶数时，牛顿-柯特斯公式至少有n+1次代数精度.nkknknxfCabI0)()()(注：由公式知，当n≥8时，柯特斯系数出现负值，这时，初始数据误差将会引起计算结果误差增大，即计算不稳定。因此，实际计算不用n≥8的牛顿-柯特斯公式.估计截断误差为解用梯形公式计算:=2.1835估计截断误差为=0.6796用Simpson公式计算：=2.0263．例3试分别使用梯形公式和Simpson公式计算积分的近似值，并估计截断误差.=198.4306890.0)(max2880)12()4(2152xfRx=0.06890§3复化求积公式高次插值有Runge现象，故采用分段低次插值分段低次合成的Newton-Cotes复合求积公式。一、复化梯形公式:),...,0(,nkhkaxnabhk在每个上用梯形公式：],[1kkxx11)()(2)(2nkkbfxfafhbankkkxfxfhdxxf11)]()([2)(=Tn),(),()(12)()(12)](12[][21213bafabhnfabhfhfRnkknkk/*中值定理*/nkxfxfxxdxxfkkxxkkkk,...,1,)]()([2)(111二、复化辛普森公式:),...,0(,nkhkaxnabhk)]()(4)([6)(1211kkkxxxfxfxfhdxxfkkkx21kx1kx44444])()(2)(4)([6)(1010121nknkkkbabfxfxfafhdxxf=Sn)(2180][)4(4fhabfR注：为方便编程，可采用另一记法：令n’=2n为偶数，这时，有hkaxhnabhk,2])()(2)(4)([3koddkevenkknbfxfxfafhS三、收敛速度与误差估计：定义若一个积分公式的误差满足且C0，则称该公式是p阶收敛的。ChfRph][lim0)(,)(,)(642hOChOShOTnnn~~~例4：计算dxx10142解：)1()(2)0(161718fxffTkk8kxk其中=3.138988494)1()(2)(4)0(241oddeven4fxfxffSkk8kxk其中=3.141592502运算量基本相同问题:给定精度e，如何取n?例如：要求，如何判断n=？e||nTI)()(12][2fabhfR?nkkhfh12])([12)]()([12)(1222afbfhdxxfhba上述例4中若要求,则610||nTI622106|)0()1(|12|][|hffhfRn00244949.0h即：取n=409通常采取将区间不断对分的方法，即取n=2k上述例4中2k409k=9时，T512=3.14159202注意到区间再次对分时][412)]()([121][22fRhafbffRnn412nnTITI)(3122nnnTTTI可用来判断迭代是否停止。(1)(2)(3)事后误差估计一、梯形法的递推化——逐次分半法上一节介绍的复化求积方法对提高精度是行之有效的，但在使用求积公式之前必须给出合适的步长，步长取得太大精度难以保证，步长太小则会导致计算量的增加，而事先给出一个恰当的步长又往往是困难的．实际计算中常常采用变步长的计算方案，即在步长逐次分半(即步长二分)的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直至所求得的积分值满足精度要求为止．设将求积区间[a，b]分成n等分，则一共有n+1个分点，按梯形公式计算积分值Tn，需要提供n+1个函数值．如果将求积区间再二分一次，则分点增至2n+1个，我们来考察二分前后两个积分值之间的联系．§4龙贝格求积公式逐次分半计算方案的实现:注意到每个子区间[xk，xk+1]经过二分只增加了一个