第三章水动力学基础.

水力学华中科技大学武昌分校第三章水动力学基础本章主要介绍与液体运动有关的基本概念及液体运动所遵循的普遍规律并建立相应的方程式。主要内容：描述液体运动的两种方法欧拉法的若干基本概念恒定一元流的连续性方程式实际液体恒定总流的能量方程式能量方程式的应用举例实际液体恒定总流的动量方程式恒定总流动量方程式的应用举例一、液体最基本特征：液体具有流动性，其静止是相对的，运动才是绝对的。二、水动力学研究内容：1.水动力学研究内容：研究液体的运动规律及其在工程上的应用。2.液体的运动规律：液体在运动状态下，作用于液体上的力和运动要素之间的关系，以及液体运动特性与能量转换规律等。3.运动要素：表征液体运动状态的物理量，如速度、加速度、动水压强、密度、切应力等，这些量统称为运动要素。4.液体运动规律的研究内容：确定各运动要素随时间和空间的变化规律及其相互间的关系。——首要研究速度，其次压强。三、水动力学研究方法：建立运动模型，结合液体三大力学模型（连续性假设、不可压缩液体、理想液体），根据物理学和理论力学的质量守恒定律、动能原理和动量定理等，建立液体三大基本方程。连续性方程能量方程（伯诺里方程）动量方程3.1描述液体运动的两种方法①流体运动一般在固体壁面所限制的空间内进行②流场：流体流动占据的空间称为流场③水动力学重要任务：研究流场中的运动④研究液体流动的两种方法：拉格朗日(J.L.Lagrange)法欧拉(L.Euler)法3.1.1拉格朗日法一、定义：把流场中的液体看做是由无数连续质点所组成的质点系，追踪研究每一质点的运动轨迹并加以数学描述，从而求得整个液体运动规律的方法。引用固体力学中研究质点和质点系的运动方法。二、表达式：设某一质点在某一时刻t0的初始坐标(a,b,c)作为该质点的标志，则在任一时刻，此质点的迹线方程可表示为：x＝x(a,b,c,t)y＝y(a,b,c,t)z＝z(a,b,c,t)其中，a,b,c,t统称为拉格朗日变量，不同初始值(a,b,c)表示流场中不同液体质点的初始位置。三、基本特征：以个别液体运动质点为对象.研究给定质点在整个运动过程中的轨迹.各个质点运动状态总和构成整个液体运动.点—线—面运动轨迹运动要素四、局限性：液体质点运动轨迹非常复杂，实用上不需要知道某一质点的运动轨迹，因此水力学上不常采用此方法。3.1.2欧拉法一、定义：直接从流场中每一固定空间点的流速分布入手，建立速度、加速度等运动要素的数学表达式，来获得整个流场的运动特性。•欧拉法——以考察不同液体质点通过固定的空间点的运动情况作为基础，综合所有空间点上的运动情况，构成整个液体的运动。•速度分量x，y，z，t称为欧拉变数。x，y，z是液体质点在t时刻的运动坐标ux＝ux(x,y,z,t)uy＝uy(x,y,z,t)uz＝uz(x,y,z,t)p＝p(x,y,z,t)ρ＝ρ(x,y,z,t))()()(zuuyuuxuutudtduazuuyuuxuutudtduazuuyuuxuutudtduazzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxx对同一质点来说，坐标x，y，z不是独立的，而是时间t的函数，因此，加速度的三个坐标分量需要通过相对应的三个速度分量复合求导得到：三、含义：1.等号右边第一项表示通过某固定点的液体质点，其速度随时间变化而形成的加速度，称为当地加速度.2.等号右边括号内项表示同一时刻因地点变化而形成的加速度，称为迁移加速度。∴液体运动质点加速度＝当地加速度＋迁移加速度)()()(zuuyuuxuutudtduazuuyuuxuutudtduazuuyuuxuutudtduazzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxx)(zuuyuuxuutudtduaxzxyxxxxx3.2欧拉法的基本概念3.2.1恒定流与非恒定流液体运动可分为两类：恒定流非恒定流恒定流：流场中所有空间点上一切运动要素不随时间改变，这种流动称为恒定流。非恒定流：流场中空间点上运动要素随时间改变，这种流动称为非恒定流。恒定流：ux＝ux(x,y,z)uy＝uy(x,y,z)uz＝uz(x,y,z)即恒定流中，当地加速度为零，但迁移加速度可以不为零。3.2.2一元流、二元流、三元流一元流：运动要素是一个坐标的函数，称为一元流二元流：运动要素是两个坐标的函数，称为二元流三元流：运动要素是三个坐标的函数，称为三元流——液体一般在三元空间中流动，属于三元流动。简化问题，在一元空间流动——一元流动——一元分析法（流束理论）3.2.3流线与迹线一、流线1.定义：流线是同一时刻由液流中许多质点组成的线，线上任一点的流速方向与该线在该点相切。流线上任一点的切线方向就代表该点的流速方向，则整个液流的瞬时流线图就形象地描绘出该瞬时整个液流的运动趋势。3.2.3流线与迹线一、流线流线微分方程式：vvdluxuydxdyxydtdzudyudxuzyx12.流线特性：(1)流线不能相交或转折，否则在交点或转折处必然存在两个切线方向，即同一质点同时具有两个运动方向，这显然是不可能的，因此流线只能是互不相交的光滑曲线(2)流线只能是一条光滑曲线。(液体为连续介质）(3)流线分布的疏密程度反映了该时刻流场中各点的速度大小。流线越密，流速越大；流线越疏，流速越小二、迹线流线：同时刻连续液体质点的流动方向线。迹线：同一质点在连续时间内的流动轨迹线。流管、元流、总流和过流断面流管——由流线构成的一个封闭的管状曲面dA元流——充满以流管为边界的一束液流总流——在一定边界内具有一定大小尺寸的实际流动的水流，它是由无数多个元流组成过流断面——与元流或总流的流线正交的横断面过水断面的形状可以是平面也可以是曲面。3.2.4一元流动模型五、流量流量是单位时间内通过某一过水断面的液体体积，用Q表示．流量是衡量过水断面过水能力大小的一个物理量。元流流量：dQ＝udA总流流量等于所有元流流量之和。六、断面平均流速vAQvdAuAvQA3.2.5均匀流与非均匀流均匀流：各流线为平行直线。过水断面是平面，位于同一流线上的各质点的流速的大小和方向均相等，迁移加速度为零。)(ZZ2211仅限于同一过水断面均匀流：pp非均匀流：各流线不是平行直线。渐变流急变流3.2.5均匀流与非均匀流渐变流：各流线接近于平行直线的流动。近似认为符合均匀流压强分布特性。急变流：非均匀流中除渐变流以外的流动。不符合均匀流压强分布特性。上述流速沿程变化情况的分类，不是针对流动的全体，而是指总流中的某一段。一般来说，流动的均匀与不均匀、渐变与急变是交替的出现于总流中。3.3恒定总流连续性方程一、定义：恒定总流连续性方程：反映断面平均流速和过水断面面积之间的关系式。它是质量守恒定律在水力学中的具体表现。二、推导：1.基本条件：从总流中任取一段，如图，其进口过水断面1-1面积为A1，出口过水断面2-2面积为A2；再从中任取一束元流，其进出口面积为dA1及dA2，流速u1及u2。11A11dA1uu2dA2222A总流元流图3-12总流的质量守恒2.三个前提条件：(1)在恒定流条件下，元流的形状及位置不随时间改变；(2)不可能有液体经元流侧面流进或流出；(3)液流为连续介质，元流内部不存在空隙。3.恒定元流连续性方程：根据质量守恒定律，单位时间内流进dA1的质量等于流出dA2的质量：ρ1u1dA1＝ρ2u2dA2＝常数对于不可压缩液体，ρ1＝ρ2＝常数，则有：u1dA1＝u2dA2＝dQ＝常数恒定元流连续性方程4.恒定总流连续性方程：因总流是无数元流的集合体，因此,对上式在总流过水断面上积分：引入断面平均流速，可得：Q＝υ1A1＝υ2A2＝常数恒定总流连续性方程★它在形式上与恒定元流连续性方程类似，应注意的是，以断面平均流速v代替点流速u。意义：恒定总流连续性方程是一个不涉及任何作用力的运动学方程，所以，它无论对于理想液体还是实际液体都适用。212211AAdAudAuQ三、连续性方程特例:上述恒定总流的连续性方程是在流量沿程不变的条件下导得的。若沿程有流量流进或流出，则总流的连续性方程在形式上需作相应的修正。其总流的连续性方程可写为：Q1＝Q2＋Q3Q1Q2Q311结论：所有流入液体的流量应等于所有流出液体的流量3.1-3.3小结拉格朗日法欧拉法恒定流（与非恒定流）去掉了时间变量一元流（二元流、三元流）去掉了y、z坐标流线（流管）：推出了元流的概念一元流模型流管元流总流过流断面流量断面平均流速恒定总流连续性方程3.4恒定元流能量方程3.4.1理想液体恒定元流能量方程一、原理：——能量守恒原理。取不可压缩无粘性流体恒定流动这样的力学模型。二、推导：11'22'p2p1u1dtu2dtdA1dA200Z2Z1功能原理：作用于该段元流的外力（除重力外）所作的功，等于流段机械能（动能和势能）的增量。1.外力做功作用于元流侧面上的动水压强与液体运动的方向垂直，不作功。作用在过水断面1-1上的动水压力与液体运动方向相同，作正功；作用在过水断面2-2上的动水压力与液体运动方向相反，作负功.故压力做功为：－＝对于理想液体，μ=0，因此不存在切向力及其作功.2.机械能增量机械能的增量是这段元流移动后位置（1‘-2’）和移动前位置（1-2）所有机械能之差。dtudAp111dtudAp222dQdtpp)(21（1）动能增量：－＝（2）势能增量：－＝2221udtdQ2121udtdQ)22(2122gugudtdQ2zgdtdQ1zgdtdQ)(12zzdtdQ恒定流动：在dt时段前后所共有的1’-2两断面间的液体的质量及位置没有改变，各点流速也不变，因此动能、位能也保持不变。所以，机械能增量等于液体所占据的新位置2-2’的机械能减去原有位置1-1’的机械能。（3）根据功能原理各项除以dt，并按断面分别列入等式两边：——表示全部重量液体的能量平衡方程将上式除以γdQ，得出单位重量液体的能量方程，或简称为单位能量方程：)22()()(21221221gugudtdQzzdtdQdtdQppdQgupzdQgupz)2()2(22222111gupzgupz2222222111（4）伯诺里方程及其意义：在方程的推导过程中，两断面是任意选取的。很容易把这个关系推广到元流的任意断面,即:Z—断面相对于选定基准面的高度，水力学中称为位置水头，表示单位重量液体的位置势能，简称位能。—断面压强作用使液体沿测压管所能上升的高度，水力学中称压强水头，表示压力作功所能提供的单位能量，简称压能。—不计射流本身重量和空气阻力时，以断面流速u为初速的铅直上升射流所能达到的高度，水力学中称流速水头，表示单位重量液体动能。Cgupz22p22ug测压管水头—表示断面测压管水面相对于基准面的高度，表明单位势能，以Hp表示：断面总水头—表明单位总能量，以H表示：意义：理想不可压缩液体恒定元流中，各断面总水头相等，单位重量的总能量保持不变。pzHpgupzH22ghppguuZZgupZgupZABABBABBBAAA220,:2222所以：由于流速水头可用皮托管测定。皮托管前端管口正对河水来流方向，另一端垂直向上，测速管液面与河水水面的高差即是所测点的流速水头。在有压管中，采用测速管与测压管结合测定。测速管液面与测压管液面的高差即是所测点的流速水头。上式表明，只要测量出流体的运动全压和静压水头的差值h，就可以确定流体的流动速度。由于流体的特性，以及皮托管本身对流动的干扰，实际流速比用该式计算出的要小，因此，实际流速为式中ψ—流速修正系数，一般由实