苏州大学2014届高考数学考前指导卷【2】及答案

京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班苏州大学2014届高考考前指导卷（2）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡．．．相应位置上．．．．．．1．设全集U＝R，集合A＝{x|x1}，则集合∁UA＝________．2．设复数z满足z(4－3i)＝1，则z的模为________．3．右图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是______．4．抛物线22xy的准线方程为________．5．将参加夏令营的500名学生编号为001,002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，编号从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为________．6.已知函数)(xfy是奇函数，当0x时，2()()fxxaxaR，且6)2(f，则a=．7．一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x＝6cm时，该容器的容积为________cm3．8．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－7n，且满足16＜ak＋ak＋1＜22，则正整数k＝________．9．若x，y满足约束条件21,2,2,xyxyyx目标函数*2()zkxykN仅在点(1,1)处取得最小值，则k的值为_______．10．已知函数f(x)＝sinx＋cosx的定义域为[a，b]，值域为[－1，2]，则b－a的取值范围是________．11．已知△ABC中，3(→CA＋→CB)·→AB＝4→AB2，则tanAtanB＝.12．设平面点集A＝x，yy－xy－1x≥0，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为________．13．设曲线1exyax在点01()Axy，处的切线为1l，曲线1exxy在点02()Bxy，处的切线为2l．若存在030,2x，使得12ll，则实数a的取值范围是．14．若关于x的不等式（组）2*272209921nnxxnN≤对任意恒成立，则所有这样的解x构成的京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班集合是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在△ABC中，45C，D为BC中点，2BC．记锐角ADB．且满足7cos225．（1）求cosCAD；（2）求BC边上高的值．16．如图，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，EF∥BD，AB＝2EF．（1）求证：BF∥平面ACE；（2）求证：BF⊥BD．CBDA京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班17．如图，某城市有一条公路从正西方AO通过市中心O后转向东北方OB，现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，为了市民出行方便与城市环境问题，现要求市中心O到AB的距离为10km，设OAB．（1）试求AB关于角的函数关系式；（2）问把A、B分别设在公路上离市中心O多远处，才能使AB最短，并求其最短距离．18．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上任一点P到两个焦点的距离的和为23，P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为－23．设直线l过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．（1）若OA→·OB→＝4tan∠AOB(O为坐标原点)，求|y1－y2|的值；（2）当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在点Q，使得直线QA，QB的倾斜角互为补角？若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班19．已知函数f(x)＝x3－2x＋1，g(x)＝lnx．（1）求函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调区间和极值；（2）是否存在实常数k和m，使得x0时，f(x)≥kx＋m且g(x)≤kx＋m？若存在，分别求出k和m的值；若不存在，说明理由．20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2＝6，3Sn＝(n＋1)an＋n(n＋1)．（1）求a1，a3；（2）求数列{an}的通项公式；（3）已知数列{bn}的通项公式是bn＝an，cn＝bn+1－bn，试判断数列{cn}是否是单调数列，并证明对任意的正整数n，都有1＜cn≤6－2．京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班苏州大学2014届高考考前指导卷（2）参考答案一、填空题1．{x|x≤1}2．153．274．12y5．16．57．488．89．110．3π4，3π211．712．π213．[312，]14．2{1,}9二、解答题15．解（1）∵27cos22cos125，∴29cos25，∵(0,)2，∴3cos5，4sin5，45CAD，∴2coscos45cossin2CAD7210．（2）由（1）得，∴2sinsin()sincoscossin44410CAD，在ACD中，由正弦定理得：sinsinCDADCADC，∴21sin25sin210CDCADCAD，则高4sin545hADADB．16．证明(1)AC与BD交于O点，连接EO．正方形ABCD中，2BO＝AB，又因为AB＝2EF，∴BO＝EF，又因为EF∥BD，∴EFBO是平行四边形，∴BF∥EO，又∵BF⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，∴BF∥平面ACE．(2)正方形ABCD中，AC⊥BD，又因为正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，BD⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面ACE＝AC，∴BD⊥平面ACE，∵EO⊂平面ACE，∴BD⊥EO，∵EO∥BF，∴BF⊥BD．17．解（1）如图，作OM垂直AB，垂足为M，则OM=10，由题意135AOB，(0,45)，45OBA．在AOB中，由正弦定理得sin135sinABOB，即22sinOBAB．在MOB中，10sin(45)OB，所以22101522sin2sinsin(45)sinsin(45)OBAB．（2）2102sin(sin45coscos45sin)AB21020sincossinsin2cos21202sin(245)1．因为(0,45)，所以当22.5时有AB的最小值20(21)．此时，1010442sin22.5OAOB．京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班答：A，B都设在公路上离市中心10442km处，才能使AB最短，其最短距离是20(21)km．18．解(1)由椭圆的定义知a＝3，设P(x，y)，则有yx＋3·yx－3＝－23，则y2x2－3＝－23，∴化简得椭圆C的方程是x23＋y22＝1．∵OA→·OB→＝4tan∠AOB，∴|OA→|·|OB→|cos∠AOB＝4tan∠AOB，∴|OA→|·|OB→|sin∠AOB＝4，∴S△AOB＝12|OA→|·|OB→|sin∠AOB＝2，又S△AOB＝12|y1－y2|×1，故|y1－y2|＝4．(2)假设存在一点Q(m,0)，使得直线QA，QB的倾斜角互为补角，依题意可知直线l斜率存在且不为零，直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由y＝kx－1，x23＋y22＝1消去y得(3k2＋2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6k23k2＋2，x1·x2＝3k2－63k2＋2．∵直线QA，QB的倾斜角互为补角，∴kQA＋kQB＝0，即y1x1－m＋y2x2－m＝0，又y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，代入上式可得2x1x2＋2m－(m＋1)(x1＋x2)＝0，∴2×3k2－63k2＋2＋2m－(m＋1)×6k23k2＋2＝0，即2m－6＝0，∴m＝3，∴存在Q(3,0)使得直线QA，QB的倾斜角互为补角．19．解(1)由F(x)＝x3－2x＋1－lnx(x0)，得F′(x)＝3x3－2x－1x(x0)，令F′(x)＝0得x＝1，易知F(x)分别在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，从而F(x)的极小值为F(1)＝0．(2)易知f(x)与g(x)有一个公共点(1,0)，而函数g(x)在点(1,0)处的切线方程为y＝x－1，下面只需验证fx≥x－1gx≤x－1都成立即可．设h(x)＝x3－2x＋1－(x－1)(x0)，则h′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)(x0)．易知h(x)分别在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h(x)的最小值为h(1)＝0，所以f(x)≥x－1恒成立．设k(x)＝lnx－(x－1)，则k′(x)＝1－xx(x0)．易知k(x)分别在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以k(x)的最大值为k(1)＝0，所以g(x)≤x－1恒成立．故存在这样的实常数k＝1和m＝－1，使得x0时，f(x)≥kx＋m且g(x)≤kx＋m．20．解（1）令n＝1得3a1＝2a1＋2，解得a1＝2；令n＝3得3(8＋a3)＝4a2＋12，解得a3＝12．（2）由已知3Sn＝(n＋1)an＋n(n＋1)，①3Sn+1＝(n＋2)an+1＋(n＋1)(n＋2)，②②－①得3an+1＝(n＋2)an+1－(n＋1)an＋2(n＋1)，即(n－1)an+1－(n＋1)an＋2(n＋1)＝0，③所以nan+2－(n＋2)an+1＋2(n＋2)＝0，④④－③得nan+2－(2n＋1)an+1＋(n＋1)an＋2＝0，即n(an+2－an+1)－(n＋1)(an+1－an)＋2＝0，⑤从而(n＋1)(an+3－an+2)－(n＋2)(an+2－an+1)＋2＝0，⑥⑥－⑤得(n＋1)(an+3－an+2)－2(n＋1)(an+2－an+1)＋(n＋1)(an+1－an)＝0，即(an+3－an+2)－2(an+2－an+1)＋(an+1－an)＝0，即(an+3－an+2)－(an+2－an+1)＝(an+2－an+1)－(an+1－an)，⑦所以数列{an+1－an}是等差数列，首项为a2－a1＝4，公差为(a3－a2)－(a2－a1)＝2，所以an+1－an＝4＋2(n－1)＝2n＋2，即an－an-1＝2n，an-1－an-2＝2(n－1)，…a3－a2＝6，a2－a1＝4，a1＝2，相加得an＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)＋2n＝n(n＋1)．（3）数列{cn}是单调递减数列，证明如下：因为cn＝bn+1－bn＝(n＋1)(n＋2)－n(n＋1)＝2n＋1n＋2＋n，所以cn+1＝2n＋2n＋3＋n＋1，要证明cn+1＜cn，等价于证明n＋1n＋2＋n＜n＋2n＋3＋n＋1n＋1＋(n＋1)(n＋3)＞n＋2＋n(n＋2)；(n＋1)(n＋3)－n(n＋2)＞12n＋3(n＋1)(n＋3)＋n(n＋2)＞1；京翰教育北京家教辅导——