第三章泊松过程

第三章泊松过程泊松过程是一类较为简单的时间连续状态离散的随机过程。泊松过程在物理学、地质学、生物学、医学、天文学、服务系统和可靠性理论等领域中都有广泛的应用。§３.1泊松过程的定义和例子定义3.1设随机过程{(),0}Ntt满足：()Nt表示到时刻t为止已发生的“事件A”的总数，且()Nt满足下列条件:(1)()0Nt；(2)()Nt取正整数值；(3)若s＜t，则()()NsNt(4)当s＜t时，()()NtNs等于区间(,]st中发生的“事件A”的次数。则称随机过程{(),0}Ntt为计数过程。如果计数过程()Nt在不相重叠的时间间隔内，事件A发生的次数是相互独立的，即若1234tttt，则在12(,]tt内事件A发生的次数21()()NtNt与在34(,]tt内事件A发生的次数43()()NtNt相互独立，此时计数过程()Nt是独立增量过程。若计数过程()Nt在(,]tts内(s＞0)，事件A发生的次数()()NtsNt仅与时间差s有关，而与t无关，则计数过程()Nt是平稳增量过程。定义3.2设计数过程{(),0}Xtt满足下列条件(1)X(0)=0；(2)X(t)是独立增量过程；(3)在任一长度为t的区间中，事件A发生的次数服从参数t＞0的泊松分布，即对任意s,t＞0，有(){()()},(0,1,2,)(3.1)!nttPXstXsnenn则称{(),0}Xtt为具有参数＞0的泊松过程。注意，从条件(3)知泊松过程是平稳增量过程且[()]EXtt。由于，[()]EXtt表示单位时间内事件A发生的平均个数，故称为此过程的速率或强度。从定义3.2中，我们看到，为了判断一个计数过程是泊松过程，必须证明它满足条件(1)，(2)及(3)。条件(1)只是说明事件A的计数是从t=0时开始的。条件(2)通常可从我们对过程了解的情况去验证。然而条件(3)的检验是非常困难的。为此，我们给出泊松过程的另一个定义。定义3.3设计数过程{(),0}Xtt满足下列条件：(1)X(0)=0；(2)X(t)是独立、平稳增量过程；(3)X(t)满足下列两式：{()()1}(),{()()2}()PXthXthohPXthXtoh(3.2)则称{(),0}Xtt为具有参数＞0的泊松过程。定理3.1定义3.2与定义3.3是等价的。证明：先证明定义3.2蕴涵定义3.3。由于定义3.2的条件(3)中蕴涵X(t)为平稳增量过程，故只需证明条件(3)的等价性。由(){()()},(0,1,2,)!nttPXstXsnenn对充分小的h，有0{()()1}{()(0)1}()()/!1!1()()hnnPXthXtPXhXhehhnhhohhoh下面来证明定义3.3蕴涵定义3.2。2{()()2}{()(0)2}()()!nhnPXthXtPXhXheohn故定义3.2蕴涵定义3.3。令(){()}{()(0)}PtPXtnPXtXnn由定义3.3的(2)和(3)，有0(){()0}{()(0)0}{()(0)0,()()0}{()(0)0}{()()0}()[1()]0PthPXthPXthXPXtXXthXtPXtXPXthXtPthoh故000()()()()thtohthhPPP令h→0取极限，得00()()tPtP00()()ttPP取积分0000()()ttduPuduPu00ln()tPtduct（由00(0)1,ln(0)0PP）得0()tPte同理，对于1n有2(){()}{()(0)}{()(0),()()0}{()(0)1,()()1}{()(0),()()}nnjthPXthnPXthXnPXtXnXthXtPXtXnXthXtPXtXnjXthXtjP由定义3.3的(2)和(3)得0111()()()()()()(1)()()()nnnnnPthPtPhPtPhohhPthPtoh于是1()()()()()nnnnthtohtthPPPPh令0h取极限得1()()()nnnPPtPtt所以1()()()ttnnnPPtePtte因此1()()ttnnPPtdetedt当n=1时，10()()ttttPPtdeteeedt即1()()ttcPte由于1(0)0P，代入上式得1()ttPte下面用归纳法证明()()!ntntPten成立。假设11()()1!ntntPten，由前推导知111()()()(1)!()(1)!ttnnnttnPPtdetedtteentn积分得()()!ntnPtetcn由于当1n时，(0){(0)}0nPPXn，代入上式得()()!ntntPten由条件(2)，有(){()()},(0,1,2,)!nttPXstXsnenn即得证定义3.3蕴含定义3.2。定理得证。例3.1考虑某一电话交换机在某段时间接到的呼唤。令X(t)表示电话交换机在[0,t]内收到的呼唤次数。则{(),0}Xtt满足定义3.3的条件，故{(),0}Xtt是一个泊松过程。例3.2考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客。若记X(t)为在时间[0,t]内到达售票窗口的旅客数。则{(),0}Xtt是个泊松过程。例3.3考虑机器在[0,t]内发生故障这一事件。若机器发生故障，立即修理后继续工作，则在(,]tts内机器发生故障而停止工作的事件数构成一个随机点过程，它可以用泊松过程进行描述。例、到达某商店的顾客组成强度为的Poisson流，每个顾客购买商品的概率为p，且与其他顾客是否购买商品无关，若{(),0}Ytt是购买商品的顾客流。试证明{(),0}Ytt是强度为p的Poisson流。§3.2泊松过程的基本性质一、数字特征设{(),0}Xtt是泊松过程，对任意的,[0,)st，且s＜t，有[()()][()()]()EXtXsDXtXsts由于(0)0X，故2()(())()(())(,)(()())(1)(,)(,)()()XXXXXxXmtEXtttDXttRstEXsXtstBstRstmsmts一般泊松过程的有(,)min(,)XBstst。有特征函数定义，可得泊松过程的特征函数为()()[]exp{(1)}iuXtiuXguEete二、时间间隔与等待时间的分布如果我们用泊松过程来描述服务系统接受服务的顾客数，则顾客到来接受服务的时间间隔、顾客排队的等待时间等分布问题都需要进行研究。下面我们对泊松过程与时间特征有关的分布进行较为详细的讨论。设{(),0}Xtt是泊松过程，令()Xt表示t时刻事件A发生（顾客出现）的次数，12,,WW分别表示第一次，第二次，…事件A发生的时间，(1)nTn表示从第(n-l)次事件A发生到第n次事件A发生的时间间隔（如图3.l所示）。通常，称nW为第n次事件A出现的时刻或第n次事件A的等待时间，nT是第n个时间间隔，它们都是随机变量。定理3.2设{(),0}Xtt是具有参数的泊松过程，(1)nTn是对应的时间间隔序列，则随机变量(1,2,)nTn是独立同分布的均值为1/的指数分布。证1211{}{()0}{}{(,]}{(,]}{()()0}ttPTtPXtePTtTsPsstTsPsstPXstXse在内没有事件发生在内没有事件发生即(){}1ntTnFtPTte所以对任一(1)nTn，其分布是均值为1/的指数分布。对于任意1211,,,,nntsss和，有112211121121{,,,}{()()0}nnnnntPTtTsTsTsPXtsssXssse定理3.2说明，对于任意1,2,n，事件A相继到达的时间间隔nT的分布为1,0(){}0,0ntTnetFtPTtt其概率密度为,0()0,0ntTetftt注意:定理3.2的结论是在平稳独立增量过程的假设前提下得到。该假设的概率意义是指过程在任何时刻都从头开始，即从任何时刻起过程独立于先前已发生的一切（由独立增量），且有与原过样完全一样的分布（由平稳增量）。由于指数分布的无记忆性特征，因此时间间隔的指数分布是预料之中的。例、设1{(),0}Ntt和2{(),0}Ntt分别是强度为1和2的独立Poisson流。试证明：（1）12{()(),0}NtNtt是强度为12的Poisson流；（2）在1{(),0}Ntt的任一到达时间间隔内，2{(),0}Ntt恰有k个时间发生的概率为121212(),0,1,2,...kkpk注：!)1(,)(01nndtetxtx另一个感兴趣的是等待时间nW的分布，即第n次事件A到达的时间分布。因1,(1)nniiWTn由定理3.2知，nW是n个相互独立的指数分布随机变量和，故可以得到如下结论。定理3.3设{,1}nWn是与泊松过程{(),0}Xtt对应的一个等待时间序列，则nW服从参数为n与的分布，其概率密度为1(),0(1)!()0,0nntWtetnftt证注意到第n个事件在时刻t或之前发生当且仅当到时间t已发生的事件数目至少是n，即()nXtnWt因此(){}{()}!jtnintPWtPXtnej对上式求导，得nW的概率密度是1()()()!(1)!njjttWininttfteejj上式又称为爱尔兰分布，它是对n个相互独立且服从指数分布的随机变量之和的概率密度。例、设{(),0}Ntt是Poisson过程，nW和nT分别是{(),0}Ntt的第n个时间的到达时间和点间距距离。试证明：（1）()(),1,2,...nnEWnETn；（2）()(),1,2,...nnDWnDTn。三、到达时间的条件分布性质假设在[0,t]内事件A已经发生一次，则这个事件的到达时间应在[0,t]上服从均匀分布。11{,()1}{()1}{()1}PWsXtPWsXtPXt{()1,()()0}{()1}PXsXtXsPXt(){()1}{()()0}{()1}ststPXsXtXsPXtseestet证明：即分布函数为1()10,0()/,01,WXtsFsststst这个结果可以推广到一般情况。定理3.4设{(),0}Xtt是泊松过程，已知在[0,t]内事件A发生n次，则这n次到达时间12n与相应于n个[0,t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分布。即密度函数为：1212!,0(,,,)0,nnnntttftttt其它证令120nttt，且取ih充分小使得1(1,2,,)iiithtin，则在给定()Xtn的条件下，我们有111111()112{,,()}{[,]1,2,,,[0,]}{()}!()/!nnnnnniiihthhhnntnnPtWthtWthXtnPtthintPXtnheheenhhhetnt