苏州市2014届高三数学寒假作业试题及答案9

2014届高三数学寒假作业九（立体几何）姓名____________学号___________一、填空题1.已知圆锥的母线长为2，高为3，则该圆锥的侧面积是________．2.若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，那么直线a,b的位置关系是3.已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，Al，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，一定成立的是.①AB∥m②AC⊥m③AB∥β④AC⊥β4.已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于________．5.正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD.有以下结论：①AC⊥BD;②△ADC为正三角形;③AB⊥CD.其中不能成立的是（填写序号）6.m，n是空间两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下面有四个命题：①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.其中真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号)[来源:学+科+网]7.现有如下命题：①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；③如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；④如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．则所有真命题的序号是8.在正三棱锥P－ABC中，D、E、M分别是AB、BC、AC的中点，有下列三个结论：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE；④平面PBM⊥平面PDE.则所有正确结论的序号是________．9.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，S为侧棱PC上一点，且PS=13PC,则三棱锥S-BCD与四棱锥P-ABCD的体积之比为.10.已知P为△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的个数是________.11.在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，第5题图DCABCBDAO第8题图第10题图得四边形BFD1E，给出下列结论：①四边形BFD1E有可能为梯形；②四边形BFD1E有可能为菱形；③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D；其中正确的是________.(请写出所有正确结论的序号)12.下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是．13.如图,已知正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为2cm,高为5cm,一质点自A点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为________cm.14.有一个正四面体,它的棱长为a，现用一张圆型的包装纸将其完全包住(不能裁剪纸，但可以折叠)，那么包装纸的最小半径为．]二、解答题15.如图的几何体中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.第13题图第12题图第15题图16.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，CD=2AB，E为PC的中点．(1)求证：BE∥平面PAD；(2)若AB⊥平面PAD，平面PBA⊥平面PBD，求证：PA⊥PD.17.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是平行四边形,且AC⊥CD，PA=AD，M，Q分别是PD，BC的中点．(1)求证：MQ∥平面PAB；(2)若AN⊥PC，垂足为N，求证：MN⊥PD．第16题图PMDCBQAN第17题图18.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB=AC=AA1=3a，BC=2a，D是BC的中点，E为AB的中点，F是C1C上一点，且CF=2a.(1)求证：C1E∥平面ADF；(2)试在BB1上找一点G，使得平面ACG⊥平面ADF；(3)求三棱锥DAB1F的体积．第18题图2014届高三数学寒假作业九（立体几何）参考答案1．2π.[来2．平行或异面3.①②③.[解析]∵m∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l.∵AB∥l，∴AB∥m，故①一定正确．∵AC⊥l，m∥l，∴AC⊥m，从而②一定正确．∵A∈α，AB∥l，l⊂α，∴B∈α，∴AB⊄β，l⊂β.∴AB∥β，故③也正确．∵AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立，故④不一定成立．4．433[解析]正方体外接球的体积是323π，则外接球的半径R=2，正方体的体对角线的长为4，棱长等于433.5．③6．①④7．①③④[解析]①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直，正确；②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行,错误,应该有无数条直线与该平面平行；③如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行，正确，由平面与平面平行的性质定理可得；④如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内，正确，由平面与平面垂直的性质定理可得．8.①②④[解析]连结PM、BM.易得AC⊥PM，AC⊥BM，所以AC⊥平面PMB，从而有AC⊥PB,①正确；AC∥DE，所以AC∥平面PDE，②正确；因为AB与DE不垂直，所以AB与平面PDE也不垂直，③不正确；因为正三棱锥P－ABC，M是AC的中点，AC⊥PM，AC⊥BM，所以AC⊥平面PMB，又因为AC∥DE，所以DE⊥PM，DE⊥BM，所以DE⊥平面PBM，所以平面PBM⊥平面PDE，④正确．9.1310.3个[解析]如图所示．∵PA⊥PC、PA⊥PB，PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC.同理PB⊥AC、PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC.11.②③④[解析]四边形BFD1E为平行四边形，①显然不成立，当E、F分别为AA1、CC1的中点时，②④成立.12．①②[解析]由线面平行的判定定理知图①②可得出AB∥平面MNP.13.13[解析]将正三棱柱ABC－A1B1C1侧面展开，可得到矩形的一边长为AA1=5，另一边长为底面周长的2倍，即为2×3×2=12，所以质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面到达A1点的最短路线的长为矩形的对角线长，即52＋122=13(cm)．14．23a3[解析]本题转化为四面体的侧面展开问题．在解答时，首先要将四面体的三个侧面沿底面展开，观察展开的图形易知包装纸的对角线处在什么位置时，包装纸面积最小，进而获得问题的解答．当以SO为圆的半径时，所需包装纸的半径最小，SO=3a2+3a2×13=23a3，Com]二、解答题15．证明：(1)取CE的中点G，连接FG、BG.∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝12DE.∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB.又AB＝12DE，∴GF＝AB，∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG.∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE.(2)∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD.∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.又CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE.∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.[来源:Z,xx,k.Com]16．证明：(1)(思路1:转化为线线平行，构造一个平行四边形ABEF，其中F为PD的中点)取PD中点F，连接AF、EF，则EF为△PCD的中位线，∴EF∥CD且EF＝12CD.又∵AB∥CD且AB＝12CD，∴EF∥AB且EF=AB，∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF.∵BE⊄面PAD，AF⊂面PAD，∴BE∥面PAD.(思路2:转化为线线平行，延长DA、CB，交于点F，连接PF，易知BE∥PF)(思路3:转化为面面平行，取CD中点F，易证平面BEF∥平面PAD)(2)在平面PBA内作AH⊥PB于H，∵平面PBA⊥平面PBD且平面PBA∩平面PBD＝PB，∴AH⊥平面PBD.∴AH⊥PD.又∵AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD.∵AB∩AH＝A，∴PD⊥平面PBA，∴PA⊥PD.17．解：(1)取PA的中点E，连结EM、BE，∵M是PD的中点，∴ME∥AD且ME=12AD，又∵Q是BC中点，∴BQ=12BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD且BC=AD，可得BQ∥ME且BQ=ME，∴四边形MQBE是平行四边形，可得MQ∥BE，∵BE⊂平面PAB，MQ⊄平面PAB，∴MQ∥平面PAB；(2)∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，PA、AC是平面PAC内的相交直线，∴CD⊥平面PAC，结合AN⊂平面PAC，得AN⊥CD．又∵AN⊥PC，PC、CD是平面PCD内的相交直线，∴AN⊥平面PCD，结合PD⊂平面PCD，可得AN⊥PD，∵PA=AD，M是PD的中点，∴AM⊥PD，…(13分)又∵AM、AN是平面AMN内的相交直线，∴PD⊥平面AMN，∵MN⊂平面AMN，∴MN⊥PD．18.(1)证明：∵AB＝AC，D为BC的中点，又E为AB的中点，连结CE交AD于O，连结FO，易知COCE＝CFCC1＝23，故FO∥C1E.又FO⊂平面AFD，C1E平面AFD，故C1E∥平面AFD.(2)解：在平面C1CBB1内，过C作CG⊥DF，交B1B于G，在Rt△FCD和Rt△CBG中，FC＝CB，∠CFD＝∠BCG，故Rt△FCD≌Rt△CBG.而AD⊥BC，CC1⊥AD且CC1∩CB＝C，故AD⊥平面C1CBB1.而CG⊂平面C1CBB1，故AD⊥CG.又CG⊥DF，AD∩FD＝D，故CG⊥平面ADF.而AG⊂平面ACG，故平面ACG⊥平面ADF此时BG＝CD＝a.(3)解：∵AD⊥平面BCC1B1，∴VD－AB1F＝VA－B1DF＝13·S△B1DF·AD＝13×12B1F·FD·AD＝52a33.