第三章误差分析与处理

试验设计与分析1第三章误差分析与处理任何试验总是不可避免地存在误差，为提高测量精度，必须尽可能消除或减小误差，因此有必要对多种误差的性质、出现规律、产生原因，发现与消除或减小它们的主要方法以及测量结果的评定等方面作研究。误差的定义：绝对误差＝实测值－真值相对误差＝绝对误差/真值≈绝对误差/实测值误差的来源：测量装置误差（如标准量具、仪器、附件等）环境误差（如温度、湿度、气压、振动、照明、重力场、电磁场等）方法误差人员误差误差分类：系统误差随机误差粗大误差§3-1.随机误差同一测量值在等精度情况下的多次重复，有可能会得一系列不同的测量值，每个值均有一定的误差，且无规律（但有一定的统计规律），这样的误差称为随机误差。产生原因：测量装置（精度、器件性能不稳定等）环境方面（湿度、温度、电压、光照、磁场等）人为因素：（素质、技能）随机误差一般不能消除，但通过统计平均可以减小，大多情况认为随机误差符合正态分布情况，即：221()exp()(2)2fddssp=-s――标准差（均方根误差），s越小，精度就越高s的大小只说明在一定条件下，等精度测量值的随机误差的概率分布情况。经n次等精度测量后的均方差为:222212()/()/ninn（3－1）i是第i次测量的误差。0iilLil是第i次测量值，0L是真值。当真值为未知时，应该说上式不能求得标准差。在有限次测量情况下，可用残余误差iv代替真值误差。iivlx,x是测量平均值,()/ixln.iv是il的残余误差。我们将0iilLd=-作一些变形替换，并令，试验设计与分析2展开：100innlxxLlxxL令0xxL为算术平均值的误差=0iivlnx（当ilxn代入时）上式又为11xnnxvv(3－2)所有项相加：iixvn11xiivnn其中：=0iv/0iiiivlnxlnln，（）1xin即算术平均值的误差将（3－2）式平方后相加（2222iiixxvvddd=++）222222iixxiixvnvvn（3－3）将式1xin的两边平方2222111()(2)xiiijijnn当n足够大时，ij认为趋于零，将2221xin，代入（3－3）式2221iiivn由（3－1）式可知22in222inv2()(1)ivn（3－4）式（3－4）称为Bessel公式，由残余误差求得单次测量的标准差的估计值。试验设计与分析3（根据我国《通用计量名词及定义》，对一列有限次n个测量值，应视为测量总体的取样，所求得的标准差估计值用代号s表示，以区别于总体标准差。这里对标准差估计值仍用，对实际测量时计算有限次测量值的标准差，则用代号s.）不等精度测量时，其随机误差的表达方式是不一样的，一般采用加权处理的方法，应让可靠程度大的测量结果在最后结果中占的比重大一些，可靠程度低的比重小一些。在等精度测量中各个测得值认为同样可靠，并取所有测得值的算术平均值作为最后测量结果。权值取法：重复次数多的，一般可靠程度高，则用次数来确定权的大小。§3-2.系统误差一．原因同上。二．特点：在同一条件下，多次测量同一量值时，按一定规律变化的误差。如：不变的系统误差：符号和大小固定不变的系统误差，如量块10mm，实测为10.001mm,则0.001始终存在，用它去作连续测量，误差将是线性变化。又如周期变化：指针式仪表指针的回转中心与刻度量中心有偏值时，sinlejD=。三．系统误差的发现1．实验比对法采用不同条件或不同的测量方法，可发现不变的系统误差。如量块用更高等级精度量具进行比对测量。2．残余误差观察法若测量列：12,nlll系统误差：12,nlll不含系统误差的值：12,nlll则有iiilll（i＝1，2，，n）其算术平均值：xxx这里：'',111,iiixlxlxlnnn试验设计与分析4其残余误差：iivlxiivlx，将两式相减()iiivvlx（3－5）（iiivvlxlx），（,iiilllxxx）若系统误差显著大于随机误差，iv（不含系统误差的残差）可予忽略，则得到：iivlx=D-D说明测量值残余误差，近视等于系统误差与测量值系统的平均值之差。也可将测量列的残余误差列表或作图，直观判断有无系统误差。若残余误差大体上是正负相间，则无根据怀疑有系统误差若残余误差值有规律地递增或递减，且在测量开始和结束是符号相反，则存在系统误差。若残余误差符号循环交替变化，则存在周期性系统误差。若存在图所示的变化规律时，则应怀疑同时存在线性系统误差和周期性系统误差。残余误差观察法只能发现有规律变化的系统误差，若系统误差是一个不变值，用残余误差法是发现不了的。3．残余误差校核法a.用于发现线性误差取测量列中k个残余误差相加，再取()nk-个残余误差相加，（当n为偶数时，取/2kn；当n为奇数时，取(1)2nk+=。然后两式相减1kiiv1-njjkv（3－6）将（3－5）代入1111()()knknijijiikiiklxlxvv试验设计与分析5当n足够大时，0knijvv，（这是因为,iivlx是不含系统误差的测量值与其本身的平均值之差，只有随机误差，但随机误差的均值随着测量次数的增加而趋于零。）121()()knijklxlx若两部分差值显著不为零，则有理由认为存在线性系统误差，这种方法又叫马利科夫准则。它能有效地发现线性系统误差。有时系统误差有，但零系统误差的平均值等于，此时也为零，所以对这种情况要注意。b.用于发现周期性误差1).若有残余误差12,,,nvvv，其残余误差差值1()iivv+-符号出现周期性正负号变化，则为周期性系统误差。2).统计准则判别这种方法只有当周期性系统误差是整个测量误差的主要成分时，才有实用效果。否则，差值的符号变化将主要取决于随机误差，而不能判断出周期性系统误差。此时，可采用下列判断准则令122311nniiuvvvvvvvv若21uns-（2211ivn）则认为含有周期性系统误差。这种校核方法又称阿碑－赫梅特准则。还有一些校核方法：如标准差比较法、数据比较法、秩和检验法、t检验法等。四．系统误差的减小和消除1．从根源上消除要分析测量系统的各个环节，最好测量前就将误差从根源上加以消除。如仪器的零位在测量开始和结束时都要检查。如果误差是有外界条件引起的，则应在外界条件稳定时再测量。2．用修正方法消除。已知误差表或误差曲线，可取与误差数值大小相同而符号相反的值作为修正值。§3-3.粗大误差特征：数值比较大，对测量值产生显著的歪曲，一般应予以剃除。判定准则：一．3s准则对一测量列，若各测得值只含有随机误差，则按随机误差的正态分布规律，其残余误差落在3s±之外的概率为0.3%，即在370次测量中只有一次的残余误差3ivs，因此3ivs即认为是粗大误差。试验设计与分析6例：已知进行了15次等精度测量值如表所示，测量值中已消除了系统误差，试判别测量列中是否含有粗大误差的测量值。15次等精度测量值序号lvv²(*10-³)v′v′²(*10-³)120.420.0160.2450.0090.081220.430.0260.6760.0190.361320.40-0.0040.016-0.0110.121420.430.0260.6760.0190.361520.420.0160.2560.0090.081620.430.0260.6760.0190.361720.390.0140.196-0.0210.441820.30-0.1041.0816----920.40-0.0040.016-0.0110.1211020.430.0260.6760.0190.3611120.420.0160.2560.0090.0811220.410.0060.036-0.0010.0011320.39-0.0140.196-0.0210.4411420.39-0.0140.196-0.0210.4411520.40-0.0040.016-0.0110.12115120.404iilxn1510iiv15210.01496iiv15'210.003374iv由计算得到试验设计与分析72120.404/10.01496/140.033niixvn根据3准则，第八列测量值的残余误差∣8v∣＝0.1043＝0.099即它含有粗大误差，故可剔除。再根据剩下的14个测试值重新计算，得'14''21'20.411/(1)0.003374/130.016330.0160.048iixvn因此说明，剩下的14个测得值的残余误差均满足∣'iv∣3'二．t分布检验设已测数据序列12,,,nxxx，若可疑jx为可疑数据，将其剔除后计算平均值（不含jx）111niiijxxn并计算标准差（也不含jjvxx=-），21(2)niivn根据测量次数n和选取置信度a，查t分布的检验系数(,)Kna(,)jxxKn则认为jx为粗大误差，剔除jx是正确的，否则应予以保留。上例中，首先怀疑第八测试值含有粗大误差，若将其剔除，将剩下的14个测量值计算平均值和方差，得20.4110.016x选取显著度0.05,已知n=15,查表得(15,0.05)2.24k，则2.240.0160.036k试验设计与分析8820.3020.4110.1110.036xx故第八个测量值中含有粗大误差，应予以剔除。§3-4.函数误差的合成一．函数误差（间接测量误差）1．函数系统误差间接量是由若干直接测量的结果综合而成，函数关系已知：12(,,,)nyfxxx(3-7)这是一个多元函数，其增量的全微分为：1212nnfffdydxdxdxxxx(3-8)当直接量的系统误差1nxx均较小时，可用以替代微分量1`2,......ndxdxdx则上式可近似为1212nnfffyxxxxxx――函数系统误差公式2．函数的随机误差函数的一般形式：12(,,,)nyfxxx为求得多个测量值ix的标准差，假设均进行了N次等精度测量，其随机误差分别为：11112122122212:,,,:,,,:,,,nnnnnnnxxxxxxxxxxxx按上式(3-8)有111211121212nnnnnnnnfffyxxxxxxfffyxxxxxx(3-9)将(3-9)两边平方：试验设计与分析9222222211121111112222222212112()()()2()()()2nnijijnijnnnnnninjnijnijfffffyxxxxxxxxxxfffffyxxxxxxxxxx(3-10)将(3-10)式全部相加，整理222222211121212()()()()innffyxxxxxx