第三章量子力学中的力学量_6讲

量子力学与统计物理Quantummechanicsandstatisticalphysics光电信息学院李小飞第三章：量子力学中的力学量第一讲：力学量的算符表示微观粒子具有波粒二象性，其运动状态用波函数描述，那么，如何从波函数求体系的性质？引入薛定谔说：用算符作用于波函数就行了ˆHE比如：对于在势场不显含时间中运动的粒子，其波函数时间t和位置r可分离，用哈密顿算符H作用于定态波函数上，就可以得到粒子的能量。那么，对于其它各种物理量，比如位置、动量等，是否也可以？经典系统与量子系统的区别：经典系统的力学量有确定性，遵守因果论；量子系统由于波粒二象性，一般不具有确定性，但服从统计律，即：虽然每一次测量的值可能不同，但多次测量的统计平均值具有确定性。一、统计平均值与算符的引入（力学量期望值，或理论平均值）例：若已知波函数，按照波函统计解释，利用统计平均方法，可求得粒子坐标的期望值：(,)xtx2*|(,)|(,)(,)xxxtdxxtxxtdx同样，若已知波函数，可求粒子动量的期望值：(,)xcptxp2|(,)|xxxxppcptdp问题：如何在知道波函数的情况下求的期望值？(,)xtxpxxxxxxxxdppcppcdppcpp)()(|)(|21()()2xipxxxxxedxpcpdp1()()2xipxxxxxepcpdxdp1()()()2xipxxxdxiecpdxdpdx1()()[()]2xipxxxdxiecpdpdxdx()()()dxixdxdxˆ()()xxpxpxdx定义算符：ˆxdpidx力学量算符与期望值的关系：*()()xxxxdxˆ()()xxpxpxdxˆHE*ˆ()()ErHrdr*****ˆ()()()()ˆ()()()()ˆ()()1rHrrErrHrrrErHrE*ˆ()()ErHr*ˆ()()rrrrdrˆ()()prprdr对于任意一个力学量A，如果知道它的算符，则它的期望值应为：*ˆA()A()rrdr如果波函数没有归一化，则**ˆ()A()A()()rrdrrrdr算符在量子力学中的重要位置，由此可见一斑因此，先定义出各种力学量算符是必要的定义标积（内积），简化书写ˆˆ(,A)AˆˆA(,A)(,)经典物理学中，一般力学量都是坐标与动量的函数，可以依据如下对应关系定义这些力学量的算符A(,)frp2()ˆˆˆ()2HTUrpHUr二、由经典物理引进量子力学量算符ˆˆ()rrpiixyxLrpˆˆˆˆLrpirˆˆˆA(,)frp22222ˆˆ22pTpT如：再论波函数的作用：1.由Born的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就知道了粒子在空间的概率分布，即ω(r,t)=|ψ(r,t)|22.已知ψ(r,t)，则任意力学量的可能值、相应的概率及它的统计平均值都知道。也就是说，描写粒子状态的一切力学量就都知道了。所以波函数又称为状态波函数或态函数。3.知道体系初始时刻的态函数及其所处的力场，由Schrodinger方程即可确定以后各时刻的态函数。波函数完全描述微粒的状态四、力学量算符是线性厄密算符（Hermitian）1.线性算符的定义11221122ˆˆˆA(cc)cAcA（）（）2.厄密算符的定义三、算符的定义算符：作用于一态函数，把这个态函数变成另一个态函数ˆA满足如下运算法则的算符，称为线性算符满足如下关系式的算符，称为厄密算符**ˆˆΨAψdτ=(AΨ)ψdτˆˆ(,A)(A,)用内积表示：证明：力学量算符是线性算符设ψ1，ψ2是力学量算符F的本征方程的两个解，有：ˆFf11ˆFf1111ˆcFcf22ˆFf2222ˆcFcf根据态叠加原理,c1ψ1+c2ψ2也是本征方程的解：112211221122ˆˆ()cFcFcfcffcc(1)11221122ˆ()()Fccfcc(2)所以：11221122ˆˆˆ()FcccFcF得证：例例证明：力学量算符是厄密算符*ˆAAd力学量A的期望值为取上式的复共轭******ˆˆˆAAAAddd（）（）＝（）＝（）因为可观测力学量的期望值应为实数，即*AA**ˆˆAAdd＝（）得证：因此，我们只需要研究(1)线性算符的运算特点、(2)厄密算符的性质(3)厄密算符的本征值等问题，就可知道所有力学量算符的基本性质结论：所有力学量算符都是线性厄密算符五、线性算符的运算1.算符的和：算符的和运算满足交换律和结合律ˆˆˆˆA+B=B+Aˆˆˆˆˆˆ(A+B)+CA+(B+C)2.算符的积算符的积不一定满足交换律ˆˆˆˆxxxppxi3.算符的对易式,定义：如果：，称两算符对易，否则称不对易ˆˆˆˆ[A,B]=[B,A]六、厄密算符的性质1.两厄米算符之和仍为厄米算符3.无论两厄米算符是否对易，算符及都是厄米算符。12ABBA12ABBAi2.当且仅当两厄米算符和对易时，它们之积才为厄米算符。ABAB4.…七、厄密算符的本征值与本征函数厄密算符的本征值方程ˆA厄密算符作用于一波函数，结果等于这个波函数乘以一个常数，则称是的本征值，为属于的本征函数，此方程称为算符的本征值方程。全部本征值是且仅是相应力学量A的所有可能取值（或测量值）.ˆAˆA{}2.在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符。厄米算符的平均值、本征值、本征函数有如下定理：1.厄米算符的本征值为实数。3.厄米算符属于不同本征值的本征函数正交。4.厄米算符的简并的本征函数可以经过重新组合后使它正交归一化。5.厄米算符的本征函数系具有完备性。6.厄米算符的本征函数系具有封闭性。定理1厄密算符的本征值是实数定理2在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符*AAA的平均值是实数ˆˆψAψAψψ（，）＝（，）12令：12121212ˆˆA(((((A，＝，)（))))）12211221(ψψ)+(ψψˆˆˆˆA)ψψAψAAψ+，，＝（，）（，）1122iaibee取：,，代入上式,有()()12122121[(ψψ)-(ψψ)][(ψψ)-(ψψ)]ˆˆˆˆAAAAiabiabee，，＝，，12122121(ψψ)=(ψψ),b,(ψψ)=ˆˆAAˆˆ(ψψ)AAa是任意实，，，数，，证毕定理3厄密算符的任意两个属于不同本征值的本征函数正交.正交归一的表示形式：分立谱:*1**0nnmnmnmnddd*()d连续谱：正交归一系满足以上条件的函数系{ψn}或{ψλ}称为正交归一系。定理4属于同一本征值的多个简并本征函数可经重组后正交归一化：ˆA,(1,2,3,...,)iiaaaif如果对于同一本征值有多个独立的本征函数则称本征值a是f重简并的，这f个函数不一定是彼此正交的，但它们可以重新组合成f个独立而彼此正交的新函数，这些新函数依然是本征值a的本征函数。例1.找正交归一化函数2.看它们是否依然简并定理3厄密算符的任意两个属于不同本征值的本征函数正交.定理4属于同一本征值的多个简并本征函数可经重组后正交归一化由以上两定理，可以认定厄密算符的本函数是彼此正交的定理5厄密算符的本征函数具有完备性，构成完备系.体系的任一态函数都可用在任一力学量的本征函数集上展开，不再需要添加其他任何波函数。...nnnkkkcc定理6厄密算符的本征函数具有封闭性.(,)(,)nmnmmnmnmmccc(,)nnnnnnc求展开系数：展开系数的物理意义（1）：处于本征态的概率nnc(,)()()(,)()()...nnnkkkrtctrrtctr证明：计算力学量A的期望值ˆˆˆ(,A)(,A)(,A)(,)nnnnnnnnnnccca(,)mmnnnmncca**,mnnmnnnnmnnccacca2||nnnca展开系数的物理意义（2）：在态对力学量A进行测量，测得本征值的概率nanc证毕！2||1nnc小结：在任一态（叠加态）下对随意力学量A进行测量，得到的只能是它的本征值之一！测得这个本征值的概率就是展开式中对应本征函数前的系数！证毕！封闭性是完备性的充要条件：()()nnnxcx*()()nncxxdx*()(()())()nnnxxxxdx*()()()nnnxxxx必要条件充分条件((),('))(')nnxxxx*()()()nnnxxxx*()()()nnnxxxx本征函数的封闭性也可看作是函数按本征函数展开，而展开系数恰好是本征函数的复共轭。例例例第二讲：几种基本力学量算符及其本征值问题引入：算符与力学量的关系力学量算符ˆA本征值：（本征值谱)12,,,naaa本征函数：（正交归一完备函数系）,,,21nˆnnnAa当体系处于的本征态时，表示的力学量有确定值，该值就是在态中的本征值nˆAnaˆAnˆA本征态非本征态()()nnnxcx2nn|c|1当体系处于的态(x)不是的本征态，那么这个态总可以展开在由本征函数构成的完备集上。因此测量力学量A所得到的值虽不是确定的，但它必定是算符的某个本征值，测得此本征值的概率为。2ncˆAˆAna总之：（1）各力学量算符的本征值问题，具有重要的物理意义（2）了解常用力学量算符（如坐标、动量、角动量等）的本征值问题，是有必要的（一）坐标算符ˆxx本征值谱为连续谱0(,)x0x本征值为的本征函数00()()xxxx正交归一性00'00(,)(')xxxx完备性((''),('))(''')xxxxxx本征方程000ˆxxxx000ˆ()()xxxxxx任意两个属于不同本征值的本征函数正交封闭性与完备性的充要条件，所以可以这么写（二）动量算符ˆpi本征值谱为连续谱，区间内所有实数(,)本征值为的本征函数p321()(2)iprpre本征方程ppip正交归一性'(,)(')pppp完备性'(('),())(')pprrrrxxipxipxxiepex)(ˆˆ)(ˆˆ)(ˆˆ^^^xyxyzzxzxyyzyzxyxipypxLxzipxpzLzyipzpyL由于角动量平方算符中含有关于x，y，z偏导数的交叉项,所以直角坐标下角动量平方算符的本征方程不能分离变量,为此，我们采用球坐标较为方便.prLriprLˆˆˆ(I)直角坐标系22222222222)()()[()ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(ˆˆˆˆxyzxyzxyzxyzzyxyxxzzypypxpxpzpzpyLLLL角动量平方算符]（三）角动量算符的形式)3(/tan)2(/cos)1(cossinsincossin2222xyrzzyxrrzryrxzyxxxxxfxfxrrfxfiiii,,,,321