苏教版九年级-圆的对称性-知识点及典型例题(附答案)

-1-圆的对称性主要内容：1.圆是轴对称图形，也是中心对称图形。经过圆心的直线是对称轴。圆心是它的对称中心。2.圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。推论：在同一个圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。如图，用几何语言表示如下：⊙O中，（1）∵∠AOB＝∠A'OB'（3）∵AB＝A'B'5.直径垂直于弦的性质（垂径定理）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。如图：几何语言【典型例题】例1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。求AB、AD的长。分析：求AB较简单，求弦长AD可先求AF。解：例2.如图，⊙O中，弦AB＝10cm，P是弦AB上一点，且PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径。分析：⊙O中已知弦长求半径，通常作弦心距构造直角三角形，利用勾股定理求解。解：-2-第8题例3.如图“五段彩虹展翅飞”是某省利用国债资金修建的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，求这个圆拱所在圆的直径。分析：略解：【模拟试题】一.选择题。1.⊙O中，弦AB所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB的距离OC为（）A.B.1C.D.2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果，则AE的长为（）A.2B.3C.4D.53.如图，⊙O的弦AB垂直于直径MN，C为垂足，若OA＝5cm，下面四个结论中可能成立的是（）A.B.C.D.4.下列命题中正确的是（）A.圆只有一条对称轴B.平分弦的直径垂直于弦C.垂直于弦的直径平分这条弦D.相等的圆心角所对的弧相等5.如图，已知AD＝BC，则AB与CD的关系为（）A.AB＞CDB.AB＝CDC.AB＜CDD.不能确定二.填空题。6.半径为6cm的圆中，有一条长的弦，则圆心到此弦的距离为___________cm。7.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为厘米．第5题第11题-3-8.如图，∠A＝30°，则B＝___________。9.过⊙O内一点M的最长的弦为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长为___________。10.⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝12cm，CD＝16cm，则AB和CD的距离为___________。11.⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝60°，则CD＝___________。三.解答题。12.如图，⊙O的直径为4cm，弦AB的长为，你能求出∠OAB的度数吗？写出你的计算过程。13.已知，⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA＝EC。求证：14.如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长是怎么变化的？请说明理由。15.如图，⊙O上有三点A、B、C且AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，求⊙O的半径。-4-16.⊙O的直径AB＝15cm，有一条定长为9cm的动弦，CD在上滑动（点C和A、点D与B不重合），且CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F。（1）求证：AE＝BF；2）在动弦CD滑动过程中，四边形CDFE的面积是否为定值，若是定值，请给出证明，并求这个定值，若不是，请说明理由。17.（12上海）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．-5-【试题答案】一.选择题。1.B2.A3A4.C5.B二.填空题。6.47.108.75°9.10.2cm或14cm11.cm（垂径定理与勾股定理）三.解答题。12解：过点O作OC⊥AB于C，则又∴∠OAB＝30°13证明：连结BC∵AB⊥CD，CD为⊙O的直径∴BC＝AC∴∠CAB＝∠CBA又EA＝EC∴∠CAB＝∠ECA∴∠CBA＝∠ECA∴△AEC∽△ACB即-6-14.解：略15解：连OA∵AB＝AC，∴OA⊥BC于D又∠BAC＝120°∴∠BAD＝∠CAD＝60°，∠B＝∠C＝30°设⊙O的半径为r，则∴r＝616.（1）证明：如图，过O作OG⊥CD于G则G为CD的中点又EC⊥CD，FD⊥CD∴EC∥OG∥FD∴O为EF的中点，即OE＝OF又AB为⊙O的直径∴OA＝OB∴AE＝BF（等式性质）（2）解：四边形CDFE面积是定值证明：∵动弦CD滑动过程中条件EC⊥DC，FD⊥CD不变∴CE∥DF不变∴四边形CDFE为直角梯形，且OG为中位线∴S＝OG·CD连OC，由勾股定理有：-7-又CD＝9cm是定值17、解答：解：（1）如图（1），∵OD⊥BC，∴BD=BC=，∴OD==；（2）如图（2），存在，DE是不变的．连接AB，则AB==2，∵D和E是中点，∴DE=AB=；（3）如图（3），∵BD=x，∴OD=，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=45°，过D作DF⊥OE．∴DF=，EF=x，∴y=DF•OE=（0＜x＜）．-8-