第九章欧几里德空间

91第九章欧几里德空间§1基本知识§1.1基本概念1、欧式空间：2、向量的长度：3、向量之间的夹角：4、单位向量：5、向量的正交：6、度量矩阵：7、正交向量组：8、正交基与标准正交基：9、正交矩阵：10、欧式空间的同构：11、正交变换：12、子空间、子空间的正交与正交补：13、内射影或正射影：14、对称变换：15、向量之间的距离：16、最小二乘法：§1.2基本定理定理1（正交组的性质定理）正交向量组一定是线性无关组.定理2（标准正交基的存在性定理）对于n维欧式空间中任意一组基n,,,21，都可以找到一组标准正交基n,,,21，使得：nrLLrr,,2,1),,,,(),,,(2121定理3（有限维欧式空间同构的条件）两个有限维欧式空间同构的充分必要条件是：它们的维数相等.定理4（正交变换的等价条件）设是n维欧式空间V的一个线性变换，则如下条件等价（1）是正交变换；（2）保持向量的长度不变，即：V|,||)(|；（3）如果n,,,21是V的一组标准正交基，则)(,),(),(21n也是V的一组标准正交基；（4）在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。定理5如果子空间sVVV,,,21两两正交，那么：sVVV21是直和。92定理6（正交补存在性定理）n维欧式空间V的任何一个子空间1V都有唯一的正交补。定理7（实对称矩阵的性质定理）对于任意一个n阶实对称矩阵A，都存在一个n阶正交矩阵P，使得：APPT为对角矩阵。§1.3基本性质1、欧式空间的性质：（1）零向量且仅有零向量与任何向量的内积为零；（2）对任何RaV,,,，有：),(),(),(；),(),(aa；（3）sjriRbaVjiji,,2,1;,,2,1,,,,，有：risjjijijsjjiriibaba1111),(),(；（4）V,，有：),)(,(),(2，当且仅当,线性相关时，等号成立。2、度量矩阵的性质：（1）度量矩阵是实对称矩阵；（2）n维欧式空间V的不同基的度量矩阵是合同矩阵；（3）度量矩阵是正定矩阵；3、标准正交基的性质：设n,,,21是n维欧式空间V的一个标准正交基，则（1）V中向量关于n,,,21的第i个坐标等于与i的内积；（2）V中任意两个向量的内积等于它们关于标准正交基的对应坐标的乘积之和；（3）V中任意向量的长度等于它关于标准正交基的坐标平方和之算术平方根；4、正交矩阵的性质：（1）度量矩阵是实对称矩阵；（2）V中任意两个向量的内积等于它们关于标准正交基的对应坐标的乘积之和；（3）V中任意两个向量的内积等于它们关于标准正交基的对应坐标的乘积之和；§1.4基本运算93§2基本题型及其常用解题方法§2.1欧式空间的判定与证明例9.1（北大教材，P393，1）§2.2夹角、长度与距离的计算例9.2（北大教材，P393，2）例9.3（北大教材，P393，3）例9.4（北大教材，P393，4）§2.3度量矩阵的计算利用定义例9.5（北大教材，P394，11）§2.4标准正交基的计算与判定1、利用定义例9.6（北大教材，P393，6）2、利用过渡矩阵例9.7（北大教材，P393，6）3、利用施密特正交化方法例9.8（北大教材，P394，9）§2.5正交变换的判定与证明1、利用定义例9.9（北大教材，P395，15）2、利用长度不变形例9.10（北大教材，P395，15）3、利用标准正交基下的矩阵例9.11（北大教材，P395，15）§2.6正交补、不变子空间的判定与证明例9.12（北大教材，P394，10）例9.13（北大教材，P396，24）例9.14（北大教材，P396，26）94§3例题选讲§3.1矩阵可逆的判定与证明和逆矩阵的计算的例题例4.14（97，5分）设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为.B（1）证明B可逆；（2）求1.AB例4.15（北大教材，P201，22）设000000000000121nnaaaaX，其中),2,1(0niai，求1X.例4.16若BA、为n阶矩阵，证明：若ABI可逆，则BAI也可逆，其中I为n阶单位矩阵.§3.2矩阵运算的例题例4.17（北大教材，P199，6）例4.18（北大教材，P199，7）例4.19（北大教材，P204，8）§3.3矩阵的初等变换与初等矩阵关系的例题例4.20（04，4分）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再将B的第2列加到第3列得C，则满足AQC的可逆矩阵Q为（A）010100101(B)010101001(C)010100011(D)011100001例4.21（05，4分）设A是(2)nn阶可逆矩阵，交换A的第1行与第二行得矩阵B，,AB分别是,AB的伴随矩阵，则95（A）交换A的第1列与第2列得矩阵B.（B）交换A的第1行与第2行得矩阵B.（C）交换A的第1列与第2列得矩阵B.（D）交换A的第1行与第2行得矩阵B.§3.4解矩阵方程的例题例4.22设有方程01QPBPBRPAPATT，其中)1(,10,0010RBA，),0(001aaQ求22211211bbbbP，使得0||,011Pb.§4练习题§4.1北大教材题目P197-P203，习题1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、19、20、21、23、24、25、28、29、30、96P203-P204，习题1、6、8、9、§4.2补充习题1、（88，1分）设矩阵0001001001001000A，则逆矩阵1A2、（91，3分）设4阶方阵5200210000120011A，则A的逆矩阵1A=3、（94，3分）设000000000000121nnaaaaA，其中),,2,1(0niai，则1A=4、（95，3分）设543022001A，A是A的伴随矩阵，则1)(A5、（95，3分）设3阶方阵AB、满足关系式16ABAABA，其中100310041007A则B.6、（99，3分）已知ABAB，其中200010021B，则A7、（01，3分）设矩阵A满足240AAE，其中E是单位矩阵，则1()AE978、（02，3分）设矩阵EAABA23,32112，则1B9、（03，4分）设BA,均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵，已知,2BAAB202040202B，则1()AE10、（03，4分）设n维向量EaaaT,0,),0,,0,(是n阶单位矩阵.,TEATaEB1，其中A的逆矩阵为B，则a.6、（06，4分）设矩阵EA,2112是二阶单位矩阵，矩阵B满足EBBA2，则B.12、（91，3分）设n阶方阵ABC、、满足关系式ABCE，其中E是n阶单位矩阵，则必有（A）ACBE(B)CBAE(C)BACE(D)BCAE13、（92，3分）设11,,,BABABA均为n阶可逆矩阵，则111)(BA等于（A）11BA(B)BA(C)BBAA1)((D)1)(BA14、（96，3分）设n阶矩阵A非奇异An),2(是A的伴随矩阵，则（A）AAAn1||)((B)AAAn1||)((C)AAAn2||)((D)AAAn2||)(15、（05，4分）设CBA,,均为n阶矩阵，E是n阶单位矩阵，若CAACABEB,，则CB为（A）E(B)E(C)A(D)A16、（87，7分）设矩阵A和B满足关系式2ABAB，其中321011324A，求矩阵.B17、（88，6分）已知n阶方阵A满足方程0232EAA，其中A给定，而E是单位矩阵，证明A可逆，并求出1A.9818、（88，6分）已知APPB，其中100100000,210001211BP，求A及5.A19、（89，5分）已知BAXX，其中350211,101111010BA，求矩阵X.20、（90，6分）设4阶矩阵1100213401100213,0011002100010002BC，且矩阵A满足关系式ECBCEATT)(1，其中E是4阶单位矩阵，1C表示C的逆矩阵，TC表示C的转置，将上述关系式化简并求矩阵.A21、（91，5分）设n阶矩阵BA,满足条件ABBA.（1）证明：EA为可逆矩阵，其中E是n阶单位矩阵；（2）已知200012031B，求矩阵A.22、（92，5分）设矩阵101020101A，矩阵X满足XAIAX2，其中I是3阶单位矩阵，试求出矩阵X.23、（93，8分）已知三阶矩阵A的逆矩阵为3111211111A，试求伴随矩阵A的逆矩阵.24、（95，8分）设三阶矩阵A满足)3,2,1(iiAii，其中列向量TT)2,1,2(,)1,2,2(),2,2,1(321试求矩阵A.25、（96，6分）设TAI，其中I是n阶单位矩阵，是n维非零列向量，T是的转置，证明：（1）2AA的充要条件是1T；（2）当1T时，A是不可逆矩阵.9926、（95，3分）设n维向量),0,,0,(2121，矩阵TTIBIA2,，其中I是n阶单位矩阵，则AB等于（A）0(B)I(C)I(D)TI27、（96，3分）设111213212223212223111213313233311132123313,aaaaaaAaaaBaaaaaaaaaaaa12010100100,010001101PP则必有（A）12APPB(B)21APPB(C)12PPAB(D)21PPAB28、（02，3分）设BA,为n阶可逆矩阵，BA,分别为BA,对应的伴随矩阵，分块矩阵BAC00，则C的伴随矩阵C为（A）BBAA||00||(B)AABB||00||(C)ABBA||00||(D)BAAB||00||29、（94，6分）设A为n阶非零实方阵，A是A的伴随矩阵，TA是A的转置矩阵，当TAA时，证明||0.A30、（01，8分）已知3阶矩阵A与3维列向量x，使得向量组2,,xAxAx线性无关，且满足3232.AxAxAx（1）记2(,,)PxAxAx，求3阶矩阵B，使1APBP；（2）计算行列式||.AE100